高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理
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圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理
椭圆问题小结论:
1.与椭圆22
221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()2222
21,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22
221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>
或()22
22,0x y b a
λλ+=> 3.(中点弦结论)直线l 与椭圆22
221x y a b
+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点,其中点
(),P x y 为线段AB的中点,则有:2
2AB OP
b K K a
⋅=-;若000(,)P x y 在椭圆
22
221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b
+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时,2
2AB OP a K K b
⋅=-;
4.(切线结论)若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是
00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20
20
b x k a y =-; 5.(切点弦结论)若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为
P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b +=.
6. 椭圆的方程为22
221x y a b
+=(a >b >0),过原点的直线交椭圆于,A B 两点,P 点是椭圆
上异于,A B 两点的任一点,则有2
2PA PB b K K a
=-
7.(焦点弦结论)设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,
则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
||=tan 2
PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处
12F PF θ∠=最大。
10.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2
交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
11.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =(常数). 拓展:过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向,即斜率为定值。
14.O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥. (1)
222
21111
||||OP OQ a b
+=+; (2)|OP|2
+|OQ|2
的最大值为22
22
4a b a b +; (3)OPQ S ∆的最小值是22
22
a b a b +.
15.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2
112a m
n
b
+=
双曲线小结论
1.(1)与22
221x y a b
-=有相同焦点的双曲线方程为
()2222
22
1,0,0,0x y a b a b
λλλλλ-=≠->+>-+ (2)与22
221x y a b
-=有相同焦点的椭圆方程为:
()22
222
2
1,0,0x y a b a b
λλλλλ+=≠+>->+-
(3)与22
221x y a b
+=有相同焦点的双曲线方程为:
()2222
22
1,0,0,0x y a b a b
λλλλλ-=≠->->-- (4)与22
221x y a b
-=有相同离心率的双曲线方程为:
①焦点在x 轴上时:()22
22,0,1x y a b λλλ-=>≠
②焦点在y 轴上时:()22
22,0y x a b
λλ-=>
(5)与22
221x y a b
-=有相同的渐近线方程为:()2222,0,1x y a b λλλ-=≠≠;
2.(中点弦结论)直线y kx m =+与椭圆22
221x y a b
+=相交于()()1122,,,A x y B x y ,其中
点(),P x y 为线段AB 的中点,则22AB OP
b K K a
⋅=,若000(,)P x y 在椭圆22
221
x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b
+=+
若双曲线的焦点在y 轴上时,2
2AB OP a K K b
⋅=。
3.(焦点三角形结论)设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2). 122
tan 2
PF F b S θ∆=
4.AB 是双曲线22
221x y a b -=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则
22OM AB b k k a ⋅=,即20
20
AB b x K a y =。
5. 双曲线的方程为22
221x y a b
-=(a >0,b >0),过原点的直线交双曲线于,A B 两点,P
点是双曲线上异于,A B 两点的任一点,则有2
2PA PB b K K a
=