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高中数学3.2《复数的四则运算》素材3苏教版选修1-2

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数系的扩充与复数的引入复习指导
『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；
２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法
－类比法．
『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．
『复习过程指导』
在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的
联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复
数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．
在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑
思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：

多项式运算 类比 复数 运算 类比 向量
运算

一．数学思想方法总结
1数学思想方法之一：类比法
（1）复数的运算
复数代数形式的加法、减法运算法则

()()()()abicdiacbdi
复数代数形式的乘法运算运算法则：
()()()()abicdiacbdadbci
显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对
复数的运算以及记忆带来了极大的方便．
（2）复数的几何意义
我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类
似的我们有：

复数集C＝|,abiabR与坐标系中的点集(,)|,abaRbR一一对应．于是：
复数集z＝abi复平面内的点(,)Zab
复数集z＝abi平面向量OZ

例1（2005高考浙江4）．在复平面内，复数1ii＋(1＋3i)2对应的点

实数 运算 类比 数轴上
向量运
算

有理数
运算

转
化

转化
- 2 -

位于 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限

解答：复数1ii＋(1＋3i)2＝112332ii
＝31(23)22i
因为复数31(23)22i对应着直角坐标平面内的点31(,23)22，
故在第二象限，答案为B．
此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．

例2．非零复数12,zz分别对应复平面内向量,OAOB，若12||zz=12||zz
则向量OA与OB的关系必有（ ）
A ．OA=OB B．OAOB C ．OAOB D．OAOB，共线
解答： 由向量的加法及减法可知：

OC

＝ OAOB

AB

＝ OBOA

由复数加法以及减法的几何意义可知：

12
||zz
对应OC的模

12
||zz
对应AB的模

又因为12||zz=12||zz，且非零复数12,zz分别对应复平面内向量
,OAOB


所以四边形OACB是正方形
因此OAOB，故答案选B．
注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义
（3）复数的化简
虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．

例３（2005高考天津卷理(2)）若复数iia213（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的
值为
（A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6

o x
y
图１
A
B
C
- 3 -

解答：由iia213＝(3)(12)(12)(12)aiiii＝226(32)12aai
＝63255aai
因为复数iia213是纯虚数
所以605a且3205a
解得6a
故答案选C．
注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数(12)(12)ii＝５，一般地
（abi）（abi）＝22ab

这也是一个复数与实数转化的过程，即63255aai是纯虚数可得：605a且
3205a

，

2．数学思想方法之二 转化法
我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进
行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．

基础知识：复数abi(0)(0)(0)0)abbiaabibabia实数纯虚数虚数非纯虚数（
例４（2005高考北京卷（9））若 12zai, 234zi，且12zz为纯虚数，则
实数a的值为 ．

解答：12zz＝222(2)(34)3434aiaiii＝38642525aai
因为12zz为纯虚数
所以38025a且64025a．解得83a
- 4 -

例５．（2005高考，吉林、黑龙江、广西（５））设a、b、c、dR，若abicdi为
实数，则，
（A）0bcad（B）0bcad

（C）0bcad（D）0bcad

解答： 由2222abiacbdbcadicdicdcd
因为 abicdi为实数，
所以其虚部220bcadcd，即0bcad
故答案选C．
这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．
类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．
二．解题规律总结

１有关虚数单位i的运算及拓展

虚数i的乘方及其规律：1ii，2i＝－１，3ii，41i，5678,1,,1iiiiii„
4142434,1,,1nnnniiiiii


„（nN）

拓展（1）任何相邻四个数的和为０；
（2）指数成等差的四个数的和为０；

例如：23212123nnnniiii＝０
（3）连续多个数相加的规律．

例6．求101112iii„2006i的值
解答：共有2006－10＋１＝１997项
由于1997＝4499＋1
由于连续4个的和等于0

因此原式＝10i＝－1
2．有关复数的几个常用化简式

22
(1)2,(1)2iiii

，1ii，11,11iiiiii
- 5 -

例7（2005高考重庆2）．20051()1ii （ ）
A．i B．－i C．20052 D．－20052

解答： 2005200545011()()1iiiiii
故答案选A
3．有关复数的综合运算
例７（2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程

iiizzz2
3
)(||
2

（i为虚数单位）

解法一．设(,)zabiabR，则zabi
由于222||()2zzziabai
32ii

＝22(3)(2)21ii＝1i

所以222abai＝1i

根据复数的相等得22121aba
解得13,22ab
因此，1322z即为所求．
解题评注：（1）设复数的代数形式（z(,)abiabR）以代入法解题的一
种基本而常用的方法；（2）复数的相等（abi＝cdi,acbd (,,,abcdR）
是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；
三．高考命题趋势
从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础
知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，
使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．

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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.2 复数的四则运算》

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.2 复数的四则运算》

复数的除法运算教学目标：知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的除法运算法则，熟练进行复数除法的运算。

了解共轭复数的定义及性质 过程与方法目标：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学过程：一、 复习回顾，新课引入：问题1、完成练习：（1） （2） （3）问题2、总结复数加、减、乘法运算法则加法：abi c di a c b d i 减法：abi c di a c b d i 乘法：abi c di ac bd bc ad i 问题3、z a bi 的共轭复数：z a bi 共轭复数性质：2z z a ，2z z bi ，22z z a b二、师生互动、新课讲解：问题4、已知复数z 满足1243i z i ，求z 问题5、复数除法定义：满足0c di x yi a bi cdi 的复数x yi 叫做a bi 除以c di 的商，其中,,,,,a b c d x y 是实数，记为a bi c di 或a bi c di思考：（1312 （2）类比化简无理分式的方法，你能给出问题4中其他的解法吗？22133i i ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()232i i +--+()()324i i -+-问题6、除法法则： 2222a bi c di abi ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ，cdi ≠0 总结：分子分母同乘以分母的共轭复数，即把分母 “实数化”三、 巩固练习 问题7、计算：1234i i练习：（1）1i （2）11i i （3）21i i （4）2534i i （5）211i i （6）414334i i i变式1：已知11123x yi ii ，求实数,x y 变式2：若12z a i ，234z i ，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值 四、 课堂小结本节课你有哪些收获？。

高中数学苏教版选修2-2 第三章 3.2 复数的四则运算课件(共26张PPT)教学课件

高中数学苏教版选修2-2 第三章 3.2 复数的四则运算课件(共26张PPT)教学课件


由于(-i)2 = i2 =-1,可知 i 和 -i 是-1的两个平方
根.或者说，方程 x2 1 0 有两个根 i 和 -i.
负数在复数集内
可以开平方.
同样地，由于(-2i)2 =(2 i)2 =-4,可知 2i 和 -2i
是-4的两个平方根.
当 a 0 时，方程 x2 a 0 的解是什么？
所以
a b
3b 3a
1，解得 3.
a b
5, 4 3. 4
所以z
5 4
3 4
i.
待定系数法，将复数问题转化为实数问题(化归的思想）.
例5 如果方程 x2 (m 2i)x (2 mi）=0有实数解， 求实数 m 的值.
解 设方程的解为 x0 ( x0 R) ，即满足
x02 (m 2i)x0 (2 mi) 0 ,
加法：z1+z2 = a c b d i 减法：z1 z2 = a c b d i
乘法：z1z2 ac ad i bc i bd i2
= ac bd ad bc i
运算满足交换律、结合律、分配律
问题1：复数的除法如何定义？
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定 复数的除法是乘法的逆运算.
我们把满足c di x yi a bic di 0的复 数 x yi x, y R叫做复数 a bi除以复数 c di
原式 = a2 abi abi b2i2 a2 b2i2
a2 b2.
设 x, y R,在复数集内，你能将x2 y2分解因式吗？
解 x2 y2 x2 y2i2 (x yi)(x yi).
例3 在复数范围内分解因式
(1) x4 16 ;
解 原式=(x2 4)(x2 4) [x2 (2i)2 ](x2 4)
【高考一轮复习】高中数学(苏教版选修1-2)配套课件：3.2.2 复数的乘方及除法运算

【高考一轮复习】高中数学(苏教版选修1-2)配套课件：3.2.2 复数的乘方及除法运算


1 3 3 2 ＝ ＋ i＋－ i 4 2 2 1 3 ＝－2＋ 2 i，
1 ∴f － 2＋ 3 3 3 1 4 1 i＝－ ＋ i ＋－ ＋ i2＋1 2 2 2 2 2
1 3 1 3 ＝－ ＋ i－ － i＋1＝0. 2 2 2 2
2 1－i 1 － i 2 2 z ＝－ ＝ ＝－i， 2 2
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－1－i＋1＝－i. 规律方法 复数的乘方运算中，要用到 i 的乘方，注意 i 的幂 的周期性，及常用结论(1± i)2＝± 2i 的应用．
课前探究学习 课堂讲练互动
课前探究学习 课堂讲练互动
题型二 【例 2】 计算： 3＋2i 3－2i (1) － ； 2－3i 2＋3i
2＋2i 2 2 010 (2) . 2＋ 1 ＋ i 1－i
复数的除法运算
[思路探索] 运用除法的运算法则进行计算． 解 3＋2i 3－2i 3＋2i2＋3i－3－2i2－3i (1) － ＝ 2－3i 2＋3i 2－3i2＋3i
n ＝ (zn)m＝ zmn ，(z1z2)n＝ zn 1z2 .
2．复数的除法 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)． ac＋bd＋bc－adi 2 z1 a＋bi 2 ＝ ＝ ( c ＋ d ≠0) ． 2 2 z2 c＋di c ＋d
课前探究学习
课堂讲练互动
试一试：若 x∈C，x3＝1，求复数 x. 提示 设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)3＝1， 即 a3－3ab2＋(3a2b－b3)i＝1 ∴a3－3ab2＝1 且 3a2b－b3＝0 1 3 ∴a＝－2，b＝± 2 或 a＝1，b＝0， 1 3 ∴x＝1 或 x＝－ ± i. 2 2 想一想：两个共轭复数的积是实数，反之成立吗？ 提示 不一定成立，比如 z1＝1＋i，z2＝2－2i 不是共轭复数， 但 z1 · z2＝4 是实数．
苏教版数学高二数学苏教版选修1-2自我小测3.2复数的四则运算

苏教版数学高二数学苏教版选修1-2自我小测3.2复数的四则运算

自我小测1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝__________.2．(2012江苏高考，3)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝117i 12i --(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．3．设a ∈R ，且1i 1i 2a -++是实数，则a ＝__________. 4．已知i 为虚数单位，则 2 0121i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭__________.5．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为__________．6．已知复数22i (1i)z +=+，则z 的共轭复数的虚部为__________． 7．若复数z 满足z －2i ＝1＋z i(i 为虚数单位)，则z ＝______.8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________. ∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋(2＋8)i ＝－1＋10i.9．计算： (1)112i 2i 22⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)(3＋2i)＋－2)i ；(3)(1＋2i)＋(i ＋i 2)＋(3＋4i)；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．10．已知复数2(1i)3(1i)2iz -++=-. (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．参考答案1答案：6－2i 解析：由已知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.2答案：8 解析：∵a ＋b i ＝117i 12i--，∴a ＋b i ＝(117i)(12i)(12i)(12i)-+-+＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8.3答案：－1 解析：1i (1i)1i (1)(1)i 1i 2222a a a a ---+-++=+=+. 则当此复数为实数时，有a ＋1＝0，∴a ＝－1.4答案：1 解析：∵21i (1i)i 1i 2--==-+. ∴ 2 0121i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝(－i)2 012＝i 2 012＝i 4×503＝i 0＝1. 5答案：34解析：z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i] ＝m ＋(m －1)i ＋2m i －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ，由已知得2－m ＝3m －1＞0，解得m ＝34. 6答案：1 解析：∵22i 2i (2i)(i)12i 1i (1i)2i 222z +++--=====-+，∴1i 2z =+，即z 的共轭复数的虚部为1.7答案：13i 22-+ 解析：由已知得z －z i ＝1＋2i ， ∴12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z +++-+===--+ ＝13i 22-+. 8答案：－1＋10i 解析：∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴3526 xy+=⎧⎨-=-⎩，，∴28. xy=⎧⎨=⎩，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i.9答案：解：(1)原式＝1122i22⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝55i 22 -；(2)原式＝3＋(22)i＝3i；(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋(3＋4i)＝(1－1＋3)＋(2＋1＋4)i＝3＋7i；(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.10答案：解：(1)2i33i3i(3i)(2i)1i 2i2i5z-+++++====+--.(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以121a ba+=⎧⎨+=-⎩，，解得34.ab=-⎧⎨=⎩，。