1高中数学1.4.3正切函数的性质与图象教案新人教A版必修4

想一想：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整 个定义域内的图象？
正切函数的图象（正切曲线）是被互相平行的直线所 隔开的无穷多支相同形状的曲线组成的。
想一想：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 正切函数会不会在某一区间内是减函数？
小结：
１、正切函数的性质和图象
２、数形结合的思想方法 作业：
高中数学必修4 1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数的定义： ta n y k,kZ
x
2
正切函数的几何意义： tanAT
有向线段AT——正切线
y
α的终边
T
1 •P(x, y)
O
A（1,0）x
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的解析式：__y___t_a_nｘ ___ 定义域是 _{x_x__2__k_,_k __Z} 用区间表示为 __( _ _ 2 _ _k _ __ _ _k _ ___ _
思考2：正切函数是周期函数吗？最小正周期 T=_______
正切函数是周期函数，周期是 k（ k Z， k0)
思考3：正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考4：当角x在 (
2
,) 2
内增加时，正切值发生什
么变化?正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
(kk 2
内都是增函数
思考5：当x小于 2 当x大于
且无限接近 且无限接近
2
时, 正切值如何变化？ 时正切值又如何变化？
正切函数有2 没有最大最小值2 ？它的值域是____R___
正切函数y=tanx的性质：
定义域 值域
{xxk,kZ}
2
R
周期性

1.4.3 正切函数的性质与图象A级基础巩固一、选择题1.关于函数y＝tan 2x＋2π3，下列说法正确的是( )A.是奇函数B.在区间π12，7π12上单调递增C.－π12，0为其图象的一个对称中心D.最小正周期为π解析：因为2×(－π12)＋2π3＝π2，所以－π12，0是函数y＝tan2x＋2π3图象的一个对称中心，故选 C.答案：C2.函数y＝tan 2x＋π4的最小正周期为( )A.2πB.πC.π2D.π4解析：根据周期公式计算得T＝πω＝π2，故选 C.答案：C3.函数y＝tan x－π4的定义域是( )A.x x≠π4B.x x≠－π4C.x x≠kπ＋π4，k∈Ｚ D.x x≠kπ＋3π4，k∈Ｚ解析：由x－π4≠kπ＋π2(k∈Ｚ)得x≠kπ＋3π4，k∈Ｚ.答案：D4．函数y＝tan 12x－π3在一个周期内的图象是( )解析：令y＝tan 12x－π3＝0，则有12x－π3＝kπ，x＝2kπ＋2π3，k∈Z，再令k＝0，得x＝2π3，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C、D.令12x－π3＝－π2，得x＝－π3，或令12x－π3＝π2，得x＝5π3.故排除 B.答案：A5.已知函数y＝tan( 2x＋φ)的图象过点π12，0则φ可以是( )A.－π6B.π6C.－π12D.π12解析：因为图象过点π12，0，所以0＝tan2×π12＋φ.所以tan π6＋φ＝0.所以φ＝－π6＋kπ(k∈Ｚ)，所以φ可以是－π6，故选 A.答案：A二、填空题6.函数y＝|tan x|的最小正周期是_________.解析：y＝|tan x|的图象是y＝tan x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期也为π.答案：π7.－tan 6π5与tan－13π5的大小关系是_________.解析：－tan 6π5＝－tanπ5，tan －13π5＝－tan13π5＝－tan3π5.因为0＜π5＜π2＜3π5＜π，所以tan π5＞0，tan3π5＜0，所以－tan π5＜－tan3π5，即－tan 6π5＜tan－13π5.答案：－tan 6π5＜tan－13π58．y＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)．①在0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为x x≠π4＋kπ2，k∈Z.解析：当x∈0，π2，所以y＝tanx2在0，π2上单调递增正确；tan－x2＝－tanx2，故y＝tanx2为奇函数，因此①②正确；T＝πω＝2π，所以③不正确；由x2≠π2＋kπ，k∈Z，得{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．答案：①②三、解答题9．已知函数f(x)＝3tan π6－x4.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f(π)与f 3π2的大小．解：(1)因为f(x)＝3tan π6－x4＝－3tanx4－π6，所以T＝πω＝π14＝4π.由kπ－π2＜x4－π6＜kπ＋π2(k∈Z)，得4kπ－4π3＜x＜4kπ＋8π3(k∈Z)．因为y＝3tan x4－π6在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan x4－π6在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π.单调递减区间为4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)．(2)f(π)＝3tan π6－π4＝3tan－π12＝－3tanπ12，f 3π2＝3tanπ6－3π8＝3tan－5π24＝－3tan5π24，2019因为0＜π12＜5π24＜π2，且y＝tan x在0，π2上单调递增，所以tan π12＜tan5π24，所以f(π)＞f3π2.10．求函数y＝12tan5x＋π4的定义域，单调区间及对称中心．解：由5x＋π4≠kπ＋π2，得x≠kπ5＋π20，k∈Z，函数定义域为x x≠kπ5＋π20，k∈Z.由kπ－π2<5x＋π4<kπ＋π2，得kπ5－3π20<x<kπ5＋π20，k∈Z.函数的单调递增区间是kπ5－3π20，kπ5＋π20，k∈Z，由5x＋π4＝kπ2得x＝kπ10－π20，k∈Z，函数图象的对称中心坐标为kπ10－π20，0，k∈Z.B级能力提升1.若f(n)＝tan nπ3(n∈N *)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝( )A.－ 3B. 3C.0D.－2 3解析：由题意可知，T＝ππ3＝3，f(1)＝3，f(2)＝－3，f(3)＝0?f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，故f(1)＋f(2)＋……＋f(2 017)＝672×0＋f(1)＝ 3.答案：B2．若函数y＝tan3ax－π3(a≠0)的最小正周期为π2，则a＝________．解析：因为π|3a|＝π2，所以|a|＝23，所以a＝±23.答案：±2 33.设函数f(x)＝a sin kx＋π3和φ(x)＝b tan kx－π3，k＞0，若它们的最小正周期之和为3π2，且fπ2＝φπ2，fπ4＝－3φπ4＋1，求f(x)，φ(x)的解析式. 解：因为f(x)的最小正周期为2πk，φ(x)的最小正周期为πk，2019由已知得2πk＋πk＝3π2，所以k＝2.所以f(x)＝a sin2x＋π3，φ(x)＝b tan2x－π3.因为fπ2＝φπ2，fπ4＝－3φπ4＋1，所以a sin4π3＝b tan2π3，a sin5π6＝－3b tanπ6＋1，所以－32a＝－3b，12a＝－b＋1，所以a＝1，b＝12所以f(x)＝sin2x＋π3，φ(x)＝12tan2x－π3.。

3．函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝ π |ω |.
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
[思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1. 在(－π2 ，π2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－π4 ，π4 )． 又 y＝tan x 的周期为π ， 所以所求 x 的范围是 [kπ －π4 ，kπ ＋π4 )，k∈Z. 即为此函数的定义域．
[一点通] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数 本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式 或不等式组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角 函数线．
1．函数 y＝tan(π4 －x)的定义域是
4
[一点通] 求 y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导
π
π
公式把 ω 化为正值，由 kπ－ 2 ＜ωx＋φ＜kπ＋ 2 求得 x 的
范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证两个角在同一
单调区间内．
4．比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小． 解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211° ＝tan(180°＋31°)＝tan 31°， tan 2 012°＝tan 32°， ∵y＝tan x在0°＜x＜90°时是单调增函数， ∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°.
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )， 又∵π2 ＜2＜π ，∴－π2 ＜2－π ＜0. ∵π2 ＜3＜π ，∴－π2 ＜3－π ＜0， 显然－π2 ＜2－π ＜3－π ＜1＜π2 ， 且 y＝tan x 在(－π2 ，π2 )内是增函数， ∴tan(2－π )＜tan(3－π )＜tan 1， 即 tan 2＜tan 3＜tan 1.

正切函数的性质与图象【教学目标】1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题。

【教学重点】正切函数的性质的应用。

【教学难点】灵活应用正切函数的性质解决相关问题。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入： 正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT 。

正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增 余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质： 1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 2．值域：R ，3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y4．周期：π=T 5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减二、讲解范例： 例1：用图象解不等式3tan ≥x解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ 亦可利用单位圆求解。

例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数。