一类有界函数的可积问题探讨

可积函数与不可积函数在数学中，函数的可积性是一个重要的概念。

可积函数是指在给定区间上存在定积分的函数，而不可积函数则是指不存在定积分的函数。

在本文中，我们将探讨可积函数与不可积函数之间的区别和性质。

首先，我们需要明确什么是定积分。

定积分是一种对函数在给定区间上的面积进行计算的工具。

一个函数在闭区间[a, b]上可积的条件是，该函数在该区间上连续或者仅有有限个间断点。

在这种情况下，我们可以通过积分来计算函数在该区间上的面积。

可积函数具有一些重要的性质。

首先，可积函数的积分是唯一的。

也就是说，同一个函数在一个给定区间上的定积分结果是确定的，不会因为采用不同的积分方法而有所变化。

其次，可积函数的积分具有可加性。

这意味着，在给定的区间上，如果我们将一个可积函数分割成多个子区间，那么整个函数在整个区间上的积分等于这些子区间上的积分之和。

在实际应用中，可积函数常常用于计算曲线的长度、质心位置以及物理相关的问题。

通过定积分，我们可以对曲线的某个属性进行精确的计算，并得到准确的结果。

这在工程、物理学、经济学等领域中具有广泛的应用。

然而，并不是所有的函数都是可积的。

不可积函数是指在给定区间上不存在定积分的函数。

这一般是由于函数在给定区间上不满足连续性或者间断点太多所导致的。

不可积函数的存在也是数学中的一个重要概念，它们有着广泛的研究价值。

在实际问题中，我们经常会遇到不可积函数的情况，这就需要采用其他的数值方法来进行计算。

与可积函数不同，不可积函数的性质更加复杂且多样化。

不可积函数可能会出现奇异点、震荡、发散等现象，这使得它们的研究和计算更具挑战性。

在实际应用中，我们需要通过数值计算或者近似方法来处理这些不可积函数。

总结起来，可积函数与不可积函数是数学中的两个重要概念。

可积函数具有连续性和有限间断点的特点，可以通过定积分来计算其在给定区间上的面积。

不可积函数则是指在给定区间上无法进行定积分的函数，其性质更加复杂并且具有多样性。

第九章 定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ， 必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使 积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。

例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知， 在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则 任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积.证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0， 对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上， 就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割， 对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)； 若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且 存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，， 在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个， 设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε， 将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类， 其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε， 又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ， 使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})， 由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而 在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即 存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。

一元函数有界性的探讨作者：刘金魁张利巧来源：《文存阅刊》2019年第10期摘要：有界性是函数的四大性质之一，是初等数学和高等数学中研究函数性态的重要工具之一。

本文主要研究一元函数的局部有界性和整体有界性，总结相关的结论，加深学生对函数有界性的认识和学习。

关键词：函数;有界性1.引言函数是描述客观世界变化规律的重要工具之一，有界函数又是数学分析和高等数学中非常重要的一类函数。

在函数的若干性质中，有界性是函数的一种最基本的性质之一。

函数极限的存在性、连续性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的有界性有着一定联系的，特别是闭区间上连续函数的有界性定理又是最值定理和介值定理等重要定理的理论基础. 因此，函数的有界性具有非常重要的研究意义。

2.函数有界性的定义定义1 [1]：设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有f（x）≤M（f（x）≥L），则称f为D上的有上（下）界函数，M（L）称为f在D上的一个上（下）界。

定义2 [1]：设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D有|f（x）|≤M，则称f为D上的有界函数.注意：函数f在D上有界，则f在D既有上界又有下界，且值域f（D）是一个有界集。

3.函数有界性的若干结论定理1 [1]（局部有界性）若f（x）存在，则f在x0的某空心邻域U°（x0）内有界。

定理2[1]（有界性定理）若f在闭区间[a，b]上连续，则f在闭区间[a，b]上有界。

定理3; 若f在（a，b]上连续，且f（x）存在，则在区间（a，b]上有界。

证明：已知f（x），根据单侧极限的定义及定理1可知，存在一个正数δ<b-a，使得f在（a，a+δ）有界;又f在[a+δ，b]连续，根据定理2可知，f在[a+δ，b]有界。

综上所述，函数f 在区间（a，b]上有界，同理可得下面结论：推论1 若f在（a，b）上连续，且f（x）与f（x）存在，则在区间上有界。

可积判断条件可积判断条件什么是可积判断条件？可积判断条件是指用来判断一个函数或者方程是否是可积的条件。

在数学中，可积性是一个重要的概念，它关注的是一个函数或方程是否可以通过某种方法求出其解析解或近似解。

常见的可积判断条件1.连续性：一个函数或方程在其定义域内是否是连续的，是可积性的基本条件之一。

如果函数或方程的定义域内存在一个或多个间断点，则该函数或方程通常是不可积的。

2.有界性：如果一个函数或方程在其定义域内是有界的，即存在一个常数M使得|f(x)| ≤ M对所有x成立，则该函数或方程通常是可积的。

无界函数或方程通常是不可积的。

3.可导性：对于某些特定的函数类别来说，函数或方程的可导性与可积性之间存在紧密的联系。

如果函数或方程在其定义域内是可导的，则该函数或方程通常是可积的。

4.周期性：周期函数具有很好的可积性质。

如果一个函数或方程具有一个非零的正周期T，即f(x+T) = f(x)，则该函数或方程通常是可积的。

5.解析性：解析函数是一类保证可积性的特殊函数。

如果一个函数在其定义域内可以展开成幂级数的形式，则该函数通常是可积的。

6.特殊函数性质：一些特殊函数具有良好的可积性质，如正弦函数、余弦函数、指数函数等。

利用特殊函数的性质，我们可以判断一个函数或方程的可积性。

总结可积性是数学中一个重要的概念，用来判断一个函数或方程在其定义域内是否可以通过某种方法求出其解析解或近似解。

常见的可积判断条件包括连续性、有界性、可导性、周期性、解析性以及特殊函数性质等。

通过对这些条件的判断，我们可以初步确定一个函数或方程的可积性，从而选择合适的方法进行求解。

希望本文可以帮助读者更好地理解可积判断条件的概念与应用，进一步提升在数学领域的建模与求解能力。