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② 解不等式
③取 ,
C x x0 ,
则当 0 x
得
x
x0
C
,
x0 时，总有
f
x
A
,
即
C
lim f (x) A
xx0
16
例3 证明：当 x0 0 时，lim xx0
x
x0 .
证: 对于 0, 由于
x x0
x x0 x x0
1 x0 x x0
要使
x
x0 , 只要
f x A C ,
x
（其中C为常数）
② 解不等式 C , 得 x C ,
x
③取M C , 则当 x M 时，总有 f x A , 即
lim f (x) A
x
19
例5 讨论函数
x,
f
(
x)
0,
x 0, x 0,
sin
1 x
x 0.
y
当x 0 时，函数 f ( x)的极限的情况。 1
x
x
x
1
0, 要使 2 x 1 2 ,
x
x
O
x
只要 x 2 即可,
取X
2
,
则当 x
X , 恒有
2 x x
1
.
lim 2 x 1.
x x
直线y 1是y 2 x 的图形的水平渐近线. x
18
注：用定义证明函数极限 lim f (x) A 的步骤 x
① 0, 由不等式 f x A , 经一系列地放大可得：
n
a
n存在。
反之，若
lim
n
a
n
lim n
f (n)不存在， lim x
f ( x) 一定不存在。
（2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。
（3）收敛数列的有界性是整体概念，即若
lim
n
a
n
存在，则对
n N , M , 使得 an M;
而对于函数
lim
x x0
f x 存在，则只能推得函数在
x
10
水平渐近线: 若 lim f x c，则直线y c是y f x 的图形 x x x
的水平渐近线。
y
y
1
y ex
y thx
O
O
x
-1
x
x ，y 0.
x ，y 1; x ，y 1.
y 0是y e x的水平渐近线。 y 1是y thx的水平渐近线。
11
5.当x 时, f x A与两个单边极限的关系：
x 0的某个
邻域有界，即
0
U x0
,
,
及M
,
使
得
对
于x
0
U
x
0
,
, 有
f
x
M.
13
二、例题
例1
用定义证明
lim
x3
x2
2x
9
3
3.
证 因为f x在x 3处无定义对极限并无影响，
当x
3时，2xx2
9
3
3
x3 3 2
1 2
x3
0，要使
x2
2x
9
3
3
1 2
x3
只要 x 3 2即可， 取 2，
x
2 x
2
x
22
23
函数极限的ε-δ定义: 设f x在点x0的某一去心邻域有定义，
பைடு நூலகம்
如果 0，存在 0，当0 x x0 时，恒有 f x A
成立，则称当x x0时f x有极限A，记作:
lim
x x0
f x
A或f x
Ax
x0 .
注1: f x在x0处有无定义对f x当x x0时,有否极限无关。 注2: 是任意无限小的正数，因此 f x A 才能 表明 f x无限接近于Ax x0 .
第四节 函数的极限
函数的极限
函数极限的唯一性 函数极限的局部有界性 函数极限的局部保号性（定理1、定理2） 函数极限与数列极限的关系
1
一、基本理论 (1)x 2时, f ( x) 1 1 ;(2)x 时, f ( x) 0
x2
在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于
某个确定的常数， 那么，这个确定的常数就叫做这一变化过
注3: 正数与x无关，仅依赖于，但不是唯一的,
比小的任何正数都可以。
3
几何解释： lim f x A x x0
y
A
A
。
A
O
x0 x0 x0
x
0, 0,当x x0 , x0 时，使得 f x A ，即
A f x A
此式表明 f(x)在
0
U
x
0
,
内既有上界，
又有下界，即:
2
定理1’:如果 lim xx0
f x
A，而且A
0，则存在点x
的某一
0
去心邻域U x0 , ，当x U x0 , 时，就有
f x A
2
定理2:
如
果
在x
的
0
某
一
去
心
邻
域
内f
x
0或f
x
0, 并 且
lim f x A,则 :
x x0
A 0或A 0.
证 设f x 0,用反证法. 设A 0, 由定理1
x
9
lim f x A的几何意义：
x
A
A
y A
X O
X
x
单边极限的定义:
f x A当x 的定义：
0,X 0,当x X ,恒有 f x A 成立,则
lim f x A或f x Ax .
x
f x A当x 的定义：
0,X 0,当x X ,恒有 f x A 成立,则
lim f x A或f x Ax .
极限. ----描述性定义。
f x A, 用 f x A 0来刻划.
x 用 x X X 0来刻划.
函数极限ε—X定义： 设f x当x大于某一个正数时有定义.
0,总存在X 0, 使得当x X时,恒有
f x A
则常数A就叫做函数f x当x 时的极限，记作:
lim f x A或f x A当x .
定理: lim f x A lim f x lim f x A
x
x
x
证 （必要性） lim f ( x) A, 则 x
0,总存在X 0,使得当x X时, 恒有f x A
①当 x X , f x A , 即 lim f x A
x
②当 x X , f x A , 即 lim f x A
存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内f x 0,
这与f x 0的假设矛盾. 故A 0.
问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？
6
3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限：
x x0意味着点x从x0的左右两侧都无限趋近于x0 .
如果只考虑点x从x0的左侧无限趋近于x0 ,记作x x0 0.
x lim
x lim 1 1
x x x00
x00
x00
f 0 0 lim x lim x 1
x x00
x x 0 0
f 0 0 f 0 0.
根据定理3知：lim x 不存在.
x0 x
例7 证明 lim x sin x不存在。 （记录）
证
设
x
f ( x) x sin x,
x
（充分性） lim f ( x) lim f ( x) A, 则
x
x
0, X1 0,当x X1 , 恒有 f x A 成立,
对于上面的，X 2 0,当x X 2 , 恒有 f x A 成立,
取X max{X1 , X 2 }, 则只要 x X ,恒有 f x A
lim f ( x) A
x
12
6. 数列极限与函数极限之间的关系
（1） 数列是以正整数集为定义域的函数，即 an f (n)
因此数列的极限
lim
n
a
n
lim n
f (n)可以看成是函数
f ( x)当
自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限。
若
lim
x
f ( x)存在，必有
lim
n
f
(n)
lim
即
0.001,
min
2,
18
0.001， 18
取 0.00006, 则当0 x 1 0.00006, 有
x 4 1 4 0.001 x 1
注：用定义证明函数极限 lim f (x) A的步骤 xx0
① 0, 由不等式 f x A , 经一系列地放大可得：
f x A C x x0 , （其中C为常数）
n
x x1 x 1
② 振荡，如： lim sin x, lim sin 1
x
x1 x 1
③左、右极限不相等， 单侧极限不相等，如：
x
x
lim 1, lim 1.
x x 0 0
x x00
x
所以，lim 不存在。
x x 0
lim arctan x , lim arctan x . 所以，lim arctan x不存在。
程中函数的极限。
函数极限的描述性定义。
函数的自变量的变化过程可分为两种情况：
（1）自变量 x无限接近有限值 x0 , 表示为 x x0 ;
（2）自变量 x 的绝对值 x 无限增大， 表示为 x .
