函数与极限练习题

时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
，当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
； 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2

函数与极限练习题----题型⼀．求下列函数的极限⼆．求下列函数的定义域、值域判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型三．内容⼀．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数⼆．极限（⼀）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（⼆）函数的极限 1.函数在⽆穷⼤处的极限 2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）⽆穷⼩量与⽆穷⼤量 1.⽆穷⼩量 2.⽆穷⼤量3.⽆穷⼩量的性质 4.⽆穷⼩量的⽐较 5.等价⽆穷⼩的替换原理三．函数的连续性x 处连续的定义函数在点1.0函数的间断点2. 间断点的分类 3. 连续函数的运算4. 闭区间上连续函数的性质 5.例题详解函数的概念与性质题型I II题型求函数的极限（重点讨论未定式的极限）III题型求数列的极限已知极限，求待定参数、函数、函数值IV 题型⽆穷⼩的⽐较题型V 判断函数的连续性与间断点类型VI 题型与闭区间上连续函数有关的命题证明VII 题型---------⾃测题⼀填空题⼀．选择题⼆．解答题三．3 ⽉18 ⽇函数与极限练习题⼀．填空题x，则1若函数lim f (x)______1f (x)1.x212，则lim f ( x)xf (x)2.若函数_______x1x 1u2 , v3 ,uv则复合函数为ytan x, 设=_________3.f ( x)ycos xx0设= __________4. f ( x)，则f (0) 0xx0(的值为，则 f (0) 已知函数)xaxb 5.f ( x)2 x01x(A)(B)(C)1(D) 2a bb a函数的定义域是(6.)y2x3x(A)(B)[2, ](2,)(D)(C),3)(3,)((3,)[2,3)1) f ( 已知，则7.__________1f (2)x1x1其定义域为__________，8.4x y1 x2x的定义域是______119.y arcsin2x12函数___________x 1) 为考虑奇偶性，函数10. ln( xysin xx7 2）_______；（111.计算极限：（）limlim______1 x x1x 1x---------2））（3；（3nlimlimx= _______= _______42xn5n2nxsin x1阶的⽆穷⼩量；计算：（）当时，______是⽐x cos x1112.0x 与时，）当（ 2 ______；若是等价⽆穷⼩量，则ax a sin 2 xx02,x1和，则已知函数 f ( x)13. )0(1xx1,lim limf ( x) f ( x),x0x11x 0x12(A)都存在(B)都不存在(C)第⼀个存在，第⼆个不存在(D)第⼀个不存在，第⼆个存在14. 设，则()limf (x)f ( x)3x2,x02x 02,0xx(B)(D)(C)(A)22011时，n sin是(15. 当)nn（A)⽆穷⼩量(B)(C)(D)有界变量⽆界变量⽆穷⼤量计算与应⽤题2x3x2, x2x2在点处连续，且f ( x)，求a设 f ( x) 2 x a,x23x2x 112xcos x1求极限：求极限：求极限：1 x limlimlim()42xxx 0x2x2x15111c o sxx x 2x求极限：求极限：lim (1 lim (1))求极限：lim22xx4x x 0x 0 x1211求极限：求极限：求极限：x2n lim( lim(1))lim() n2xnn1n222x2ex11 0 022xx求极限：求极限：求极限) lim liml i m ( 1 12x 1xx ln xx x x 0x求极限：( l i m1 ))求极限：lim求极限：x 313 lim(1 2 x3x21 xx1 x13 x8x 1x---------4 ⽉28 ⽇函数与极限练习题⼀．基础题1, f ( x)则 1.设函数x e1x 1的第⼀类间断点都是f(x) ）x=0,x=1 （A .的第⼆类间断点x=0,x=1 都是f(x) （B）的第⼆类间断点是f(x) 是f(x) 的第⼀类间断点，x=1 （C ）x=0 .的第⼀类间断点f(x) f(x) 的第⼆类间断点，x=1 是（D ）x=0是.）下列极限正确的（2．x sin x sin xlim ．B lim1不存在A．x xx sin x x1 lim x sin C．1lim arctan x．Dx x2x10)sin x(xx0)0(x a x lim f=存在，则且f x）（设3. 1x 0xsina(x 0)x2-1 B．0C．1 D．A．x lim ( a)4. 已知a9 (，则。

题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数二．极限（一）数列的极限1.数列极限的定义2.收敛数列的基本性质3.数列收敛的准则（二）函数的极限1.函数在无穷大处的极限2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量的性质4.无穷小量的比较5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性x处连续的定义1.函数在点02.函数的间断点3.间断点的分类4.连续函数的运算5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明自测题一一．填空题二．选择题三．解答题3月18日函数与极限练习题一．填空题1.若函数121)x (f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞→2.若函数1x 1x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________4. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________5.已知函数 20()1ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3x 2x y --=的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11()1f x x=- ，则 (2)f = __________8.y =+，其定义域为 __________ 9. 22x11x 1arcsin y -+-= 的定义域是 ______10. 考虑奇偶性，函数ln(y x = 为 ___________ 函数11.计算极限：（1） sin lim x xx →∞= _______；（2）711lim1x x x →-=- ______ （3）xx xx sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；（2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；13.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在14. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-15. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )（A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量计算与应用题设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a求极限：20cos 1lim 2x x x →- 求极限： 121lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim43-+-∞→x x x x求极限：x x x 10)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim xxx -→求极限： 2111lim()222n n →∞+++求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1xx x x →∞+求极限 211lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：21002lim(1)x xx +→∞+求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131lim()11x x x →---4月28日函数与极限练习题一．基础题 1.设函数,11)(1-=-x x ex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 2． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=3. 设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 4. 已知9)ax a x (lim xx =-+∞→，则=a ( )。

第一章 函数、极限与连续1.下列各极限正确的是( ) A.e xx x =+→)11(lim 0B.e xx x =-→)11(lim 0C.11sin lim =∞→x x x D.11sin lim 0=→xx x 2.下列极限中，正确的是（ ） A.cot 0lim(1tan )x x x e →+= B.01lim sin 1x x x→= C.sec 0lim(1cos )xx x e →+= D.1lim(1)nn n e →∞+=3.若1112()1xxe f x e-=+，则0x =是()f x 的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D. 连续点 4.下列极限中，正确的是( )A.22sin lim =∞→x x xB.1arctan lim =∞→xx x C.∞=--→24lim22x x x D.1lim 0=+→x x x 5.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则,a b 满足( )A.2,a b =为任何实数B.21=+b aC.32,2a b ==- D.1==b a6.当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的 （ ） A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小7.若21)2(lim 0=→x xf x ，则=→)3(lim0x f xx ( ) A.21B.2C.3D.318.若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim xxf x ( ) A.41 B.21C.2D.4 9.0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则（ ） A. 1,12a b == B. 1,1a b == C. 1,12a b =-= D. 1,1a b =-=10.设12a ≠，则21lim ln _______(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦11.若0sin lim(cos )5xx xx b e a→-=-，则_______,______.a b == 12.已知当0x →时，123(1)1ax +-与cos 1x -时等价无穷小，则常数___.a =13.已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等价无穷小，则=a .14.设3214lim1x x ax x b x →---+=+，则______,______.a b == 15.设2lim()3xx x c x c→∞+=-，则________c =. 16.求下列函数的极限（1）lim x →-∞（2）01cos3limtan x xx x→- （3）201lim 1cos x x →- （4）3lim()1x x x x +→∞+ 17.求极限20lim(13)x xx x -→-18.判断函数21arctan 0()0,00ln(1)x x f x x x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪>+⎪⎪⎩是否在0x =处连续?19.设函数10sin(),0x x x f x x x e αβ⎧>⎪=⎨≤⎪+⎩，根据α和β不同取值，讨论()f x 在0x =处的连续性？20.求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.21.求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型. 22.已知02x →=，求0lim ()x f x →. 23.设()f x 在[],a b 上连续，()()f a f b =，证明：至少存在[]0,x a b ∈，使00()()2b af x f x -=+. 24.证明：方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +.。

高一数学函数与极限分析练习题及答案一、选择题1. 设函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，其定义域为$[-1,1]$，关于该函数，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递增B. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递减C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$处取得最大值D. $f(x)$在$x=0$处取得最大值答案：D2. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：D3. 设函数$f(x)=e^x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C4. 设函数$f(x)=\sin x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处连续B. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处可导C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限存在D. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限不存在答案：B、C5. 设函数$f(x)=x^3$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C二、填空题1. 函数$f(x)=\sin x$在$x=\frac{\pi}{2}$处的导数为______。

答案：12. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为______。

答案：无穷大或$+\infty$3. 函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的连续性、可导性、极限存在性均为______。

专升本函数与极限练习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在x=-1处的极限值是：A. 0B. -1C. 2D. 42. 函数f(x)=1/x在x趋近于0时的极限值是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在3. 函数f(x)=sin(x)/x在x趋近于0时的极限值是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在二、填空题4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点是______。

5. 函数f(x)=x^2/(x-1)在x=1处的极限值是______。

三、解答题6. 求函数f(x)=x^3-2x^2-3x+4在x=2处的左极限和右极限，并判断该点的极限是否存在。

7. 证明函数f(x)=x^2在[0, ∞)上是无界的。

8. 利用夹逼定理证明：当x趋近于0时，sin(x)/x的极限值为1。

四、证明题9. 证明函数f(x)=ln(x)在(0, ∞)上是单调递增的。

10. 证明函数f(x)=x^2+1在R上是连续的。

五、综合题11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[1, 5]上的最大值和最小值。

12. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其导数f'(x)，并利用导数判断函数的单调性。

六、应用题13. 某工厂生产的产品数量与时间的关系为f(x)=2x^2-12x+20，其中x表示时间（单位：月），求该工厂第4个月和第5个月的平均产量。

14. 某投资项目的利润函数为f(x)=-x^2+400x-40000，其中x表示投资额（单位：万元），求该项目的最大利润及对应的投资额。

七、附加题15. 考虑函数f(x)=x^2/(1+x^2)，求其在区间[-1, 1]上的积分，并解释其几何意义。

八、结束语本套练习题旨在帮助学生巩固和提高对函数与极限概念的理解，以及解决相关问题的能力。

希望同学们能够认真完成，通过练习加深对函数性质和极限概念的理解。

【注】以上题目仅为示例，实际的练习题需要根据教学大纲和考试要求来设计。

函数极限练习题1.按定义证明下列极限: (1) =6 ; (2) (x 2-6x+10)=2; (3) ; (4) =0;(5) cos x = cos x 0 2.根据定义2叙述 f (x) ≠ A. 3.设 f (x) = A.,证明 f (x 0+h) = A. 4.证明:若 f (x) = A,则| f (x)| = |A|.当且仅当A 为何值时反之也成立? 5.证明定理3.16.讨论下列函数在x 0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=; (2) f(x) = [x](3) f (x)=7.设 f (x) = A,证明 f () = A +∞→x limxx 56+2lim →x +∞→x lim11522=--x x -→2lim x 24x -0lim xx →0lim xx →0lim x x →0lim →h 0lim x x →0lim xx →xx⎪⎩⎪⎨⎧<+=>.0,1.0;0.0;22x x x x x +∞→x lim 0lim x x →x18.证明:对黎曼函数R(x)有R (x) = 0 , x 0∈[0,1](当x 0=0或1时,考虑单侧极限).习 题求下列极限：（1）2（sinx －cosx －x 2）; (2); (3) ; (4) ; (5) (n,m 为正整数)； （6）；（7）（a>0）; (8) . 利用敛性求极限： (1) ; (2) 设 f(x)=A, g(x)=B.证明： （1）[f(x)±g(x)]=A ±B; （2）[f(x)g(x)]=AB; （3）=(当B ≠0时)设f(x)=, a 0≠0,b 0≠0,m ≤n,试求 f(x) 设f(x)>0, f(x)=A.证明 0lim xx →2lim π→x 0lim →x 12122---x x x 1lim →x 12122---x x x 0lim →x ()()3232311x x x x +-+-1lim →x 11--m n x x 4lim→x 2321--+x x 0lim →x xax a -+2+∞→x lim()()()902070155863--+x x x -∞→x limx x x cos -0lim →x 4sin 2-x xx 0lim x x →0lim xx →0lim xx →0lim xx →0limx x →)()(x g x f BAnn n n mm m m b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----11101110 +∞→x lim 0lim xx →=，其中n ≥2为正整数. 6. 证明a x=1 (0<a<1) 7.设 f(x)=A, g(x)=B. (1)若在某∪0(x 0)内有f(x) < g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？（2）证明：若A>B,则在某∪0(x 0)内有f(x) > g(x). 8.求下列极限（其中n 皆为正整数）： (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) (提示：参照例1)9．（1）证明：若 f (x 3)存在，则 f (x)= f (x 3) （2）若 f (x 2)存在，试问是否成立 f (x) = f (x 2) ? 习 题叙述函数极限f(x)的归结原则,并应用它证明cos x 不存在.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: = f(x)存在的充要条件是f 在[a,+)上有上(下)界. (1)叙述极限 f (x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述 f (x)不存在的充要条件,并应用它证明sin x 不存在. 0limx x →nx f )(n A 0lim →x 0lim x x →0lim xx →-→0lim x nx x x+11+→0lim x nx x x+11lim →x 12--+++x nx x x n 0lim→x xx n11-+∞→x lim[]x x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x +∞→n lim +∞→n lim ∞+∞→n lim ∞-∞→n lim -∞→n lim -∞→n lim4. 设f 在∪(x 0)内有定义.证明:若对任何数列{x n }∪(x 0)且x n =x 0,极限f(x n )都存在,则所有这极限都相等. 提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f 为∪0(x 0)上的递减函数.证明:f(x 0－0)和f(x 0+0)都存在,且 f(x 0－0) =f(x), f(x 0+0)= f (x) 6.设 D(x)为狄利克雷函数,x 0∈R 证明D(x)不存在. 7.证明:若f 为周期函数,且f(x)=0,则f(x)=0 8.证明定理3.9习 题求下列极限(1) ; (2)(3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10)求下列极限(1) ; (2) (a 为给定实数);(3) ; (4) ; ⊂∞→n lim ∞→n lim ()00supx u x -∈)(00inf x u x n∈0lim x x →+∞→x lim xx x 2sin lim 0→()230sin sin limx x x →2cos lim 2ππ-→x x x xxx tan lim 0→30sin tan lim xx x x -→x xx arctan lim 0→xx x 1sin lim +∞→a x a x a x --→22sin sin lim114sin lim-+→x xx x x x cos 1cos 1lim20--→xn x-∞→-)21(lim ()x x ax 101lim +→()xx x cot 0tan 1lim +→xx x x 1011lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→(5) ; (6) (为给定实数) 证明: 利用归结原则计算下列极限: (1) ; (2)习 题证明下列各式(1) 2x －x 2=O(x) (x →0); (2)x sin (x →0+);(3)(x →0);(4) (1+x)n = 1+ nx+o (x) (x →0) (n 为正整数) (5) 2x 3+ x 2=O(x 3) (x →∞) ;(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x →x 0) (7) o(g 1(x))·0(g 2(x))=o(g 1(x)g 2(x)) (x →x 0) 应用定理3.12求下列极限：(1) (2) 证明定理3.13求下列函数所表示曲线的渐近线：(1) y = ; (2) y = arctan x ; (3) y =试确定a 的值，使下列函数与x a当x →0时为同阶无穷小量： (1) sin2x －2sinx ; (2)－ (1－x); (3); (4)12)1323(lim -+∞→-+x x x x x n xβα)1(lim ++∞→βα,12cos 2cos 2cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x x xcox nn n πsinlim∞→)(23x O x =)1(11o x =-+xx x x x cos 1arctanlim-∞→xx x cos 111lim 20--+→x 1xx x 24323-+x+11x x sin 1tan 1--+53243x x -试确定a 的值，使下列函数与x a当x →∞时为同阶无穷大量： (1); (2) x+x 2(2+sinx);(3) (1+x)(1+x 2)…(1+x n).证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{x n }s ，使得x n →+∞(n →∞)证明：若f 为x →r 时的无穷大量，而函数g 在某U 0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg 为x →r 时的无穷大量。

高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。

函数 极限与连续 练习题一、判断题1. 函数x x x f -+=1)(2与函数xx x g ++=11)(2是同一函数 （ ）2. 函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是同一函数 （ ）3. 函数21)(--=x x x f 与函数21)(--=x x x g 是同一函数 （ ） 4. 函数334)(x x x f -=与函数31)(-=x x x g 是同一函数 （ ） 5. 函数x x f lg 10)(=与函数x x g =)(是同一函数 （ ） 6. 函数 211()()11x f x g x x x-==-+是同一函数 （ ） 7. 函数212)cos 1()(x x f -=与函数x x g sin )(=是同一函数 （ ） 8. 函数)cos(arccos )(x x f =与函数x x g =)(是同一函数 （ ） 9. 函数)12ln()(2+-=x x x f 与函数)1ln(2)(-=x x g 是同一函数 （ ） 10. 函数)sin(arcsin )(x x f =与函数)arcsin(sin )(x x g =是同一函数 （ ）11.1lnx arcctgx x x αβ+==→+∞设，，则当时则~αβ （ ） 1211()sin (0)f x x x x =⋅<<+∞　，0()x f x →+当时不是无穷大，但无界．（ ）13.00()()(0)lim ()()x x x x f x g x A A f x g x →→→∞→≠=∞设当时，，，则．（ ）14.1lim 0lim||1n n n n nx x a a x +→∞→∞==≤设及存在，则：． （ ）二、填空题1. 设)(x f 的定义域是(0,1)，则)1(2x f -的定义域是________________。

2. 设)2ln(1)(x x x f -++=，则)(x f 的定义域用区间表示为_______________。

第一章 函 数 与 极 限第 一 二 节 作 业一、填空题：1. 函数f(x)=x -3+arctanx1的定义域是 。

2. 设f(x)的定义域是[0，3]，则f(lnx)的定义域是 。

二、选择题（单选）：1. 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--ππx x x x 0,sin 0,sin 33，则此函数是：（A ）周期函数； （B ）单调增函数； （C ）奇函数； （D ）偶函数。

答：（ ）2. 设f(x)=x e ,g(x)=sin 2x, 则f[g(x)]等于：（A ）xe2sin ； （B ）)(sin 2x e ； （C ）x e x 2sin ； （D ）2)(sin 2xe x答：（ ）三、试解下列各题： 1. 设{1,21,1)(22>-≤--=x x x x x x x f ，求f (1+a)-(1-a), 其中a>0.2. 设f (x+1)=232+-x x , 求f (x).3. 设f (x)=xx+-11 , 求f[f(x)].4. 设y=1+ln(x+2),求其反函数。

四、证明：定义在[-l ，l]上的任何函数f (x)都可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

第 三 节 作 业一、填空题：设数列{n u }的一般项公式是1213++=n n u n ，n 从 开始，才能使23-n u 〈0.01成立。

二、选择题（单选）：1. 下列数列{n x }中，收敛的是： （A ）n n x nn 1)1(--= ； （B ）1+=n n x n ； （C ）2sin πn x n =； （D ）nn n x )1(--=。

答：（ ） 2. 下列数列{n x }中，发散的是：（A ）n n x 21=； （B ）2)1(5n x n n -+=； （C ）2312+-=n n x n ； （D ）2)1(1n n x -+=。

答：（ ） 三、试利用数列极限定义证明：321312lim=++∞→n n n 。

【例题1.13】求极限I = lim
x→0
φ2
【例题1.14】设f (a)表示方程x +ln⁡(1+x )=a的实数根，a∈[1,+∞).证明： lim f (a) lna = x→∞ a
1
【例题1.19】求极限I = lim n sin (2πen!)
x→∞
【例题1.23】设fn
(x)
=
xn
ln
x，求极限 lim
数n，存在ξn ∈ [0, 1]，使得f
1 ξ−
n
1 = f (ξ) −
n
2
，使 lim
x→0
arctan
x
−
x 1
+ +
αx3 βx2
是关于x的尽可能高阶的等价无穷小
【例题1.42】尝试确定常数A,B,C使得 lim esin x x→0 sin x
=
1
+ Bx + Cx2 x + Ax2
+
o
x2
【例题1.55】设f (x)在闭区间[0, 1]上连续，f (0) = 0, f (1) = 1，求证：对于任意的正整
k
√
【例题1.30】设数列{an}满足a1
>
0, an+1
=
an+1an, n
≥
1，证明： lim √ an x→∞ 4n +
1
=
2 2
1
【例题1.31】设数列{xn}定义为x1
=
1, xn+1
=
xn
+
1 xn
,
n
=
1, 2 · · · 证明： lim x2n − n n→∞ ln n

函数、极限与连续 第一节 函数一、单项选择题3.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=（ ） A.1B.12C.12-D.1-4.函数ln 1x y +=） A.()1,-+∞B.()1,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞5.函数21x y e -的定义域是（ ）A.()3,+∞B.(],2-∞-C.[]3,4-D.(][),23,-∞-⋃+∞6.函数()121arccos13x y x --=+-的定义域是（ ） A.[)(]1,11,2-⋃ B.()()1,11,2-⋃ C.[]1,2-D.()1,2-7.函数()23,401,03x x f x x x --≤≤⎧=⎨+<≤⎩的定义域是（ ）A.43x -≤≤B.40x -≤≤C.03x <≤D.43x -<< 二、填空题3.函数2log x y -=_______.4.函数()3sin1xf x x=+的定义域是__________. 5.设()f x 的定义域为(]0,1，则函数()sin f x 的定义域为_________. 6.设函数()2y f x =的定义域为[]0,2，则()f x 的定义域是_______.第二节 极限一、单项选择题4.设1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()lim x f x →∞=（ ） A.-1B.0C.1D.不存在5.03sin lim2x xx→=（ ）A.23B.1C.32D.36.下列各式中正确的是（ ） A.()23sin lim1x x x →=B.()21limcos 10x x →-=C.1lim sin1x x x→∞= D.01sinlim1x x x→=7.下列各式中正确的是（ ）A.31lim 13xx e x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()1lim 1x x x e →∞+= C.()10lim 12xx x e →+=D.()130lim 1xx x e +→+=8.函数()223,1,0,1,1,1,x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则()1lim x f x →=（ ） A.0 B.2 C.5 D.不存在9.()21sin 1lim1x x x →-=-（ ）A.1B.0C.2D.1210.)lim x x →+∞=（ ）A.0B.1C.2D.∞11.22lim sin 1x xx x →∞=+（ ） A.12B.0C.∞D.212.下列极限不能用洛必达法则的是（ ）A.201lim tan xx e x→-B.2121lim 1x x x x→---C.11lim 1x x x →-- D.()lim 0xm x e m x→+∞> 13.极限limx xx e e x-→+∞-=（ ） A.0B.1C.2D.+∞14.若0a >，则极限()ln ln lim ex x x x →+∞=（ ）A.+∞B.2C.1D.022.设函数()1sin ,0,1,0,x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则当0x →时，()f x 是（ ） A.无穷小B.无穷大C.既不是无穷大，也不是无穷小D.极限存在但不是023.当0x →时，下列四个无穷小中，比其他三个更高阶的无穷小是（ ） A.2xB.1cos x -1D.tan x x -24.当0x +→）A.1-B.1D.1-二、填空题1.设()lim 2x f x →∞=，()()lim5x f x g x →∞=，则()lim x g x →∞=________2.2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭_________.3.20lim2x x x→=+__________.4.极限12lim 1x x x +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.5.()10lim 1sin 2xx x →-=__________. 6.21lim arctan x x x+→=__________. 7.011lim sinsin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 8.()222sin 4lim6x x x x →-=+-__________.9.cos x x →=___________.10.()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+=++ __________. 11.22limtan2x x nππ→∞= __________. 12.221limxx x e →+∞-= __________.一元函数微分学 第一节 导数的概念一、单项选择题1.设()f x 在点x a =处可导，则()()2limh f a h f a h→--=（ ）A.()f a 'B.()2f a 'C.()2f a '-D.()f a '-2.设()f x 在点0x =处可导，则()()3lim2h f h f h h→--=（ ）A.()302f ' B.()203f 'C.()20f 'D.()0f '3.设()11f '=，则()()211lim1x f x f x →-=-（ ）A.-1B.0C.12D.14.设函数()()()()12f x x x x x n =---，其中n 为正整数，则()1f '=（ ）A.()()111!n n --- B.()()11!nn --C.()11!n n --D.()1!nn -5.若()f x 在x a =处可导，则下列选项不一定正确的是（ ） A.()()lim x af x f a →=B.()()lim x af x f a →''=C.()()limh f a h f a h h→--+D.()()limx af a f x x a→--6.设函数()f x 在0x =处可导，且()00f =，()00f '≠，则下列极限存在且为零的是（ ）A.()01limln 1h f h h →-⎡⎤⎣⎦ B.)201lim1h f h → C.()201lim tan h f h h→D.()()01lim 2h f f h f h h→-⎡⎤⎣⎦ 7.设函数()()21f x x x ϕ=-，其中()x ϕ在点1x =处连续，则()10ϕ=是()f x 在点1x =处可导的（ ）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件8.设()f x 在0x 处有定义，但()0lim x x f x →不存在，则（ ） A.()0f x '必存在B.()0f x '必不存在C.()f x 必连续D.()()00lim x x f x f x →=9.设()y f x =在点1x =处可导，且()1lim 2x f x →=，则()1f =（ ）A.2B.1C.12D.010.下列函数中，在点0x =处可导的是（ ） A.y x =B.y =C.3y x =D.ln y x =11.设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的（ ）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在12.函数()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处（ ） A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续二、填空题1.设函数()()2log 0f x x x =>，则()()0limx f x x f x x∆→-∆-=∆________. 2.设()()()00001lim03x f x k x f x f x x ∆→+∆-'=≠∆，则k =_________.3.当0h →时，()()0032f x h f x h --+是h 的高阶无穷小量，则()0f x '=_______.4.设()2,1cos ,12ax b x f x x x x π⎧+≥⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩且()f x 在1x =处可导，则a =________，b =________. 5.设函数()1,010,02,01x x xx e f x x x x e ⎧<⎪⎪+⎪==⎨⎪⎪>+⎪⎩，则()0f '=________.6.设曲线()y f x =和2y x x =-在点()1,0处有相同的切线，则()f x 在该点的切线斜率为________.7.曲线32116132y x x x =+++在点()0,1处的切线与x 轴的交点坐标为________. 8.设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点()0,1处的法线方程为________.9.曲线2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩在2t =的对应点处的切线方程为________. 10.曲线sin 2t,cos t tx e y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在点()0,1处的法线方程为________.第二节 一元导数的求导法则一、单项选择题1.设()2f x e =()f x '=（ ）A.xe2.设函数()2x f x e -=，则()f x '=（ ） A.22x e--B.22x e-C.22x xe--D.22x xe-3.若函数()sin f x x x =，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A.12B.1C.2πD.2π4.若()211f x x -=-，则()f x '=（ ） A.22x +B.()1x x +C.()1x x -D.21x -5.设函数()f x 满足()22sin cos f x x '=，且()00f =，则()f x =（ ）A.21cos cos 2x x +B.21sin sin 2x x - C.2112x x -+ D.212x x -6.设()211xf e x =+，则()f x '=（ ） A.()222ln 1ln x x x -+ B.()222ln 1ln xx -+ C.()2221xx -+D.()2211x -+7.设()2420y x x x =-+>，则其反函数()x y ϕ=在点2y =处的导数是（ ）A.14B.14-C.12D.12-8.设函数()g x 可微，()()1g x h x e +=，()11h '=，()12g '=，则()1g =（ ） A.ln31- B.ln31--C.ln21--D.ln21-二、填空题 1.设()ln 11x y x+=+，则0x y ='=__________.2.设()24sin y x =，则dydx=___________.3.设3210.1sin 3y x x π=-+，则y '=__________.4.设()2cos 31arctan x xy x x e=-+，则y '=__________. 5.设cos2xy e =，则y '=__________.6.设ln y x =，则y '=__________.7.设()arctan y f x =，其中()f x 为可导函数，则y '=__________. 8.已知()arcsin 12y x =-，则y '=__________. 9.已知2cos 2y ex π-=，则y '=__________.10.已知(ln y x =，则y '=__________. 11.设()12xf x x e=，而()h t 满足条件()03h =，()2sin 4h t t π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则()0t d f h t dt==⎡⎤⎣⎦__________. 12.已知211d f dx x x⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________. 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、单项选择题1.已知方程2290y xy -+=确定了函数()y y x =，则dydx=（ ） A.y x y- B.x x y- C.x y x -D.y y x-2.已知()y f x =由方程()cos ln 1xy y x -+=确定，则()2lim 0n n f f n →∞⎡⎤⎛⎫-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A.2B.1C.-1D.-23.已知1xy x =，则dydx=（ ） A.21ln x x -B.()121ln xxx --C.()111ln xxx --D.()12ln 1xxx --4.已知函数()y y x =由参数方程sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩确定，则2t dydx π==（ ）A.-B.C.5.设()ln 111x t y t =+⎧⎪⎨=⎪+⎩，则22d y dx =（ ） A.1B.11t+ C.11t-+ D.11t-+ 二、填空题1.设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+所确定，则0x dy dx==________.2.设函数()y y x =由方程2cos xye y x +=所确定，则dydx=________. 3.设函数()y y x =由方程1yy xe =+所确定，则y ''=________.4.设()y y x =由()()21ty f t x f e =⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，其中f 可导，且()00f '≠，则0t dy dx ==________. 5.若函数()y y x =由参数方程cos sin x at t y at t =⎧⎨=⎩所确定，则2t dydx π==________. 6.若由参数方程ln cos sec x t y a t=⎧⎨=⎩所确定的函数()y y x =满足x dyy e dx -=+，则常数a =________.7.设函数()y y x =由参数方程()32ln 1x t t y t t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩所确定，则22d y dx =________.三、计算题1.设函数()y y x =由方程()222sin 0x x y e xy ++-=所确定，求dy dx2.设函数()y f x =由方程()f y yxee =所确定，其中f 具有二阶连续导数，且1f '≠，求22d ydx3.已知方程224x xy y ++=所确定的隐函数为()y y x =，求dy dx 与22d ydx4.求幂指函数()ln xy x =的导数5.设()0,01x a x a y x x a a x a a =+++>>≠且，求dy dx6.设()1cos 1x y x =+，求y '7.已知(()214xx y x e+=+y ' 8.设()y y x =由21cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩所确定，求dydx 9.设()y y x =由方程22e 13t x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求1x dydx =10.设()y y x =由()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定，()f t ''存在且()0f t ''≠，求22d y dx第五节 函数的微分一、单项选择题1.若函数()y f x =有()012f x '=，则当0x ∆→时，该函数在点0x x =处的微分dy 是（ ）A.与x ∆等价的无穷小B.与x ∆同阶非等价的无穷小C.比x ∆低阶的无穷小D.比x ∆高阶的无穷小2.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，则0lim x y dyx∆→∆-=∆（ ）A.-1B.0C.1D.∞3.函数()f x 在点0x x =处可微是它在点0x x =处连续的_________条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.无关4.已知y =4x dy ==（ ）A.24eB.24e dxC.22eD.22e dx 5.下列等式中不正确的是（ ） A.()6d x dx =B.()1cos 2sin 22xdx d x = C.()222x x xe dx d e=D.()arccos d x =6.已知()y y x =是由方程0ye xy e --=确定的函数，则dy=（ ） A.yydx e x-+B.yydx e x+ C.yydx e x-- D.yydx e x- 二、填空题1.?e dx =_________()?d e （n 为正整数）2.已知函数()f x 满足()()arcsin 2f x d x =⎡⎤⎣⎦，则()f x =_________.3.设函数()43y x =-，则dy =_________.4.已知arcsin2xy x =+dy =_________. 5.设1xe y x=+，则dy =_________.6.已知()y y x =是由方程tan y x y =+确定的函数，则dy =_________.7.设2arccos 2xy =，则dy =_________.第六节 微分中值定理三、证明题1.设()f x 在[]1,e 上可导，且()10f =，()1f e =，证明：()1f x x'=在()1,e 内至少有一个实根2.设()f x 在[],a b 上二阶可导，且恒有()0f x ''<，证明：若方程()0f x =在(),a b 内有根，则最多有两个根3.设函数()f x 在区间[]0,2上连续，在区间()0,2内可导，且()()020f f ==，()12f =，证明：至少存在一点()0,2ξ∈，使得()f ξξ'=4.设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在区间()0,1内可导，且()1lim01x f x x →=-，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'⋅+⋅=5.若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且()()010f f ==，设()()3F x x f x =，证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使()0F ξ''=6.设()f x 在[],a b 上可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(),a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=7.设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，k 为正整数，证明：存在一点()0,1ξ∈，使得()()()f kff ξξξξ''+=8.设()f x 在[]0,2上连续，在()0,2内可导，且()()014f f +=，()22f =，证明：必存在一点()0,2ξ∈，使()0f ξ'=10.已知()f x 在[]1,3上连续，在()1,3内可导，且()()120f f <，()()230f f <，证明：至少存在一点()1,3ξ∈，使得()()0f fξξ'-=11.设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，()11f =，证明：对任意给定的正数a 和b ，在（0，1）内必存在不相等的1x ，2x ，使()()12a ba b f x f x +=+'' 12.设01a b <<<，证明不等式arctan arctan 2b a b a ab--<13.设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，证明：若()f x 不恒为常数，则至少存在一点(),a b ξ∈，有()0f ξ'>第七节 导数的应用三、计算题8.求函数()ln f x x x =-在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最值9.设函数2ln 5y a x bx x =++在1x =处取极值且12x =为其拐点横坐标，求常数a ，b 的值 10.设1x =±是()32f x x ax bx =++的两个极值点，求函数()f x 的拐点11.试确定曲线()3216f x ax bx cx =+++中的a 、b 、c ，使得()f x 在点2x =-处有水平切线，()1,10-为()f x 的拐点五、证明题1.设()f x 在[)0,+∞上连续，()00f =，()f x ''在()0,+∞内恒大于零，证明：()()f x g x x=在()0,+∞内单调递增2.证明：当0x >时，有不等式()()1ln 1arctan x x x ++>3.证明：当0x >时，11ln 11x x⎛⎫+> ⎪+⎝⎭4.证明：当0x >时，(1ln x x +>5.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>6.证明：方程31arctan 0x x --=在区间()0,1内有唯一实根7.证明：方程3310x x -+=有且仅有三个实根8.证明方程1ln 02x x e -+=在()0,+∞内有且仅有两个实根 9.设函数()()21ln 12f x x x x =+-+，证明：（1）当0x →时，()f x 是比x 高阶的无穷小量； （2）当0x >时，()0f x > 10.设函数()ln ln a x x af x x-=，(),x e ∈+∞（1）证明：()f x 在区间(),e +∞内单调递减； （2）设a b e >>，比较ba 与ab 的大小，并说明理由 11.已知11arctan F x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0x >， （1）求()F x ；（2）证明当0x >时()0F x =恒成立一元函数积分学第一节 不定积分一、单项选择题2.函数sin 2x 在(),-∞+∞内的导函数与一个原函数分别是（ ）A.cos 2,sin 2x xB.12cos 2,cos 22x x C.12cos 2,cos 22x x - D .12cos 2,cos 22x x - 3.已知函数tan 2y a x =的一个原函数为()2ln cos 23x ，则a =（ ）A.23-B.43-C.32D.344.设()f x 的一个原函数为2x ，则()f x '=（ ）A.313xB.2xC.2xD.25.若()f x 的导函数是sin x ，则函数()f x 有一个原函数是（ ） A.1sin x +B.1sin x -C.1cos x +D.1cos x -16.不定积分()2x xe dx --+=⎰（ ）A.1xx e C ---++ B.1xx e C ----+C.212xx e C ----+D.313xx e C ---+ 17.不定积分32x x e dx =⎰（ ）A.3213x x e C +B.323xx e C +C.313x e C + D.33xe C +18.若()()ln 1f x dx x x C =++⎰，则()0limx f x x→=（ ） A.2B.-2C.-1D.119.不定积分=（ ）A.C -B.CC.CD.C -20.不定积分()2f x dx '=⎰（ ）A.()122f x C +B.()2f x C +C.()22f x C +D.()12f x C + 21.设()()21ln 12f x dx x C =++⎰，则()1f x dx x=⎰（ ）A.arctan x C +B.cot arc x C +C.()21ln 12x C x ++D.1C x-+ 二、填空题 4.不定积分()221x dx -=⎰____________.5.()2d df x =⎰____________.6.不定积分223x x dx =⎰____________.7.不定积分21y -=____________.8.若()()f x dx F x C =+⎰，则()ln f x dx x=⎰____________. 9.d____________dx =10.2cos 1sin xdx d x=+ ____________. 11.不定积分()5201ln x dx x+=⎰____________.12.不定积分11sin dx x =+⎰____________.13.不定积分2sec 1tan x dx x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰____________.14.不定积分3x=⎰____________.15.不定积分()2xf ax b dx '+=⎰____________.()0a ≠ 三、计算题1.求不定积分327d 3x x x --⎰2.计算不定积分d x ⎰ 3.计算不定积分2x4.计算不定积分sin cos sin cos x x dx x x -+⎰ 5.计算不定积分4sin cos d 1sin x xx x+⎰ 6.计算不定积分3sin d x x ⎰7.计算不定积分6sec d x x ⎰8.计算不定积分2sec 2sec 1tdt t -⎰9.计算不定积分x ⎰10.求不定积分x e xedx +⎰11.求不定积分2100d (1)x x x -⎰ 12.设()22sin cos 2tan f x x x '=+，求()f x ，其中01x << 第二节 定积分的概念与计算 二、填空题 5.设0()xf x t dt =⎰，则()f x '=____________.6.设()223x t t x F x xe dt +=⎰，则()F x '=____________.7.极限24sin limx x tdt x →=⎰____________.8.已知当0x →时，sin 20xt dt ⎰与a x 是同阶无穷小，则常数a =____________.9.已知()230341xf t dt x =+⎰，则()12f =____________.10.函数()2x t f x e dt -=⎰的极值为____________.11.如果()f x 有一阶连续导数，()5f b =，()3f a =，则()baf x dx '=⎰____________.12.已知函数()1xf x x=+，则定积分211f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰____________. 13.定积分21x dx -=⎰____________.14.设()xf x e -=，则()21ln f x dx x'=⎰____________. 15.设()1,20,1,01,2,12x f x x x x x -≤<⎧⎪=+≤≤⎨⎪<≤⎩，则()22f x dx -=⎰____________.16.定积分21x xe dx =⎰____________.三、计算题1.计算31⎰2.计算)21x dx -⎰3.求(211x dx -⎰4.计算11ln ex dx x +⎰5.计算220sin cos x xdx π⎰6.计算1⎰7.求114⎰8.求21⎰9.求11-⎰10.求111.求112.已知()1,011,01xx xf x x e ⎧>⎪⎪+=⎨⎪≤⎪+⎩，求()11f x dx -⎰第四节 定积分的应用三、应用题1.求曲线xy e -=与直线0y =之间位于第一象限的平面图形的面积2.计算由抛物线21y x =-与27y x =-所围成的平面图形的面积3.求由曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面图形的面积4.曲线()20y ax xa =->与x 轴围成的平面图形被曲线()20y bxb =>分成面积相等的两部分，求a ，b 的值5.求曲线ln y x =在区间（2,6）内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线所围成的平面图形的面积最小6.已知曲线)0y a =>与曲线y =在点()00,x y 处有公共切线，求：（1）常数a 及切点()00,x y（2）两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S7.求由曲线()31y x =-，x 轴和直线2x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积 8.计算由抛物线2y x =和直线2y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积9.求曲线24y x x =-和直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积 10.已知曲线()30y xx =≥，直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ，求平面图形D 绕y轴旋转一周所得旋转体的体积11.求曲线()243y x =--与x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的立体体积x V 、y V 。

函数与极限经典练习题数学作为一门精妙的学科，其基石之一就是函数与极限的研究。

在学习这两个概念时，我们常常会遇到一些经典练习题。

通过这些题目的解答，我们能够更好地理解和掌握函数与极限的性质。

下面，我将为大家分享几道经典练习题。

题一：求函数在点a处的极限已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)在x = 2处的极限。

解析：要求一个函数在某一点的极限，我们需要通过极限的定义来进行计算。

根据定义，当我们从函数的自变量x接近给定点a，且不等于a时，函数f(x)的值趋于一个特定的常数L，我们将其表示为lim(x→a)f(x) = L。

首先，我们将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 9。

然后，我们需要判断极限L的值是否等于f(2)。

在这道题中，L就等于f(2)，因此函数f(x)在x = 2处的极限为9。

题二：判断函数的极限是否存在设函数f(x) = |x - 3|，判断l im(x→3)f(x)是否存在。

解析：对于这道题，我们需要考虑函数在极限点周围的取值情况。

当我们取x = 3时，f(x) = |3 - 3| = 0。

然而，当我们从x的值趋近3时，f(x)的值由于函数含有绝对值符号的存在而产生两种情况。

当x > 3时，f(x) = x - 3；当x < 3时，f(x) = -(x - 3)。

因此，当x趋近于3时，f(x)的值无法趋近于一个特定的常数，而是在0的两侧分别趋近于正无穷大和负无穷大。

因此，函数f(x)在x =3处的极限不存在。

题三：求函数在无穷远处的极限设函数f(x) = 1 / x，求lim(x→∞)f(x)的值。

解析：在这道题中，我们需要考虑函数在无穷远处的取值情况。

当我们取x的值趋近于正无穷大时，函数f(x)的值会趋近于0。

换句话说，函数f(x)的极限lim(x→∞)f(x) = 0。

这是因为当x取一个较大的正数时，1 / x会趋于接近0的一个很小的正数。

‰高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______习题一 函数一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]（A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y =二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 22. 已知,1)1(2++=+x x x f 则=)(x f3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=：(2) 32arcsin lg x y =：__________ _____________________三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域21x x -+1102()x y x R -=+∈11x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11](sin )[2,2]()f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40=ϕ（图1-22）。

微积分第一章 函数 极限与连续 练习题一、选择题：1、下列函数为偶函数的是( )A.x x y 23sin = B.x x y 5cos = C.x x y 5cos sin = D.xxy -+=222、下列函数不具有对称性的是( ).A. x y arctan =B. x x y sin 3-= C. xe y = D. )1ln(2x x y ++= 3、下列函数在定义域内无界的是( ). A.x y 1sin1+= B.)cos(ln x y = C.xe y arctan = D. xy sin 1= 4、下列各对函数不相等的是( ).A.55--=x x y 与⎩⎨⎧<->=5151x x y B. 242--=x x y 与2+=x yC.242--=x x y 与2+=x y )2(≠x D.x x y 22cos sin +=与1=y5、xx y =( ). A. 是幂函数 B. 是指数函数 C. 不是基本初等函数 D. 不是函数 6、对于普通分段函数，以下说法不正确的是( ).A.定义域为各段并集B.整体若不能由一个解析式表示就不是初等函数C.各段内分别为初等函数 D 不是一个函数，而是多个函数 7、函数)(x f 在点0x 处有定义是函数)(x f 在点0x 处极限存在的( )条件 A.充分 B.必要 C.充要D.无关8、函数)(x f 在点0x 处有定义是函数)(x f 在点0x 处连续的( )条件 A.充分 B.必要 C.充要 D.无关 9、函数)(x f 在点0x 处连续是)(x f 在点0x 处极限存在的( )条件 A.充分 B.必要 C.充要 D.无关 10、x x e-∞→lim ( ) A.0= B.+∞= C.∞= D.不存在11、xx 1sinlim 0→ ( ) A.0= B.1= C.1-= D.不存在但函数有界 12、已知函数11)(2--=x x x f 和1)(+=x x g ( )A.)(x f 与)(x g 为同一个函数B.)(x f Θ在1=x 处无定义，)(lim 1x f x →∴不存在C. )(x f 与)(x g 函数不同，但1→x 时的极限值相同D.)(x f 与)(x g 都无间断点13、已知4132lim23=--+→x x a x x ，则常数=a ( ) A.3 B.3- C.1 D.1-14、已知4121lim=+-∞→x ax x ，则常数=a ( ) A.2 B.4 C.6 D.815、( )不正确 A.01sinlim 0=→x x x B.11sin lim =∞→x x x C.0)sin 2(1lim 2=++∞→x x x x D.1sin lim =∞→xxx16、212)2(sin lim 2=--→x x k x ，则=k ( ) A.21B.1C.2D.017、若320)1(lim e ax xx =-→，则=a ( ) A.23 B.23- C.32 D.32- 18、当2→x 时，下列函数极限不是5的是( )A.12+=x y B.⎩⎨⎧=≠+=2212x x x y 无定义 C.⎩⎨⎧=≠+=21212x x x y D.⎩⎨⎧=≠=2522x x y19、⎪⎩⎪⎨⎧<+>+=0101)(1x e x x x f x ，则=→)(lim 0x f x ( ) A.∞ B.1 C. 4 D.不存在20、函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=01sin 1000sin 1)(x x x x x xx x f 在点0=x 处 ( )连续极限值为极限值为极限不存在.1.0..D C B A21、+→0x 时，( )是无穷小量 A.x ln B.xx sin C.1-xe D.x cos 22、当∞→x 时，( )不是无穷小量 A.1232+-x x x B.x x 1sin C.x e x sin 2- D.xx 1sin 123、( ) 正确 A.∞=-=-→→→)1(lim lim 1lim 111x x x xx x x B.0sin 1lim 0=→x x xC.0sin lim 1lim sin 1lim==∞→∞→∞→x x x x x x x D.11sin lim =∞→xx x 24、=+∞→)sin 21sin(lim xxx x x ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 25、0→x 时,不是2x 等价无穷小的是( ) A.x 2tan B.2211x x --+ C.)1ln(2x + D.3x26、函数)2)(1(12---=x x x y 的间断点为( )A.2=xB.1=x 或2=xC.1=x 和2=xD.1-=x 、1=x 和2=x 二、填空题：1、函数⎩⎨⎧≤≤+<=2010cos )(2x xx xx f 的定义域为2、函数⎩⎨⎧>-≤+=02013)(x x x x x f ，则=))0((f f3、已知2ln )(=x f ，则=-+)()(00x f h x f4、已知2)(x x f =，则=-+)()(x f h x f 5、已知1)1(2-=-x x f ，则=)3(f 6、)(2ln lim 3=→x ；7、)(21lim=-∞→x x ；)(21lim2=-→x x ；)(sin 1lim0=→xx8、)(233lim );(22lim );(213lim );()12(lim 2332223=--=-+=--=+-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x x x9、)(sin lim 0=→x x ；)(sin lim =∞→x x ；)(1sinlim 0=→xx ；)(1sinlim =∞→xx10、)(ln lim );(ln lim );(ln lim );(ln lim 1====→→→+∞→+x x x x ex x x x11、);(sin lim);(sin lim0==∞→→xxx xx x );(1sinlim );(1sinlim 0==→∞→xx xx x x 12、);(tan lim );(sin sin lim );(sin lim 000===→→→xkx bxax xkxx x x );(tan tan lim 0=→bxax x13、已知a ，b 为常数，2121lim2=+-+∞→x bx ax x ，则=a ( )，=b ( ). 14、已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)1()(2x a x x x f x 在点0=x 处连续，则=a ( ).15、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=+<<-=01sin 201042tan )(x x x x k x x x x f π处连续在时，处极限存在在时，0)()()2(0)()()1(====x x f k x x f k三、计算题： 1.)32(lim 22-+→x x x2.x x x x 21lim 221-+→ 3.6532lim 223+---→x x x x x 4.121lim 221+--→x x x x5.x x x x x x x +++-→34230232lim6.x x x x x x x +++-∞→3423232lim7.)sin 2(21lim 32x x x x +-+∞→ 8.x xx x 2tan 5sin lim0+→9.xx x 3sin 6sin lim 0→ 10.x x x )sin(sin lim 0→11.xx x x x sin sin lim 0-+→ 12.54)321(lim xx x-∞→ 13.231)21(lim +-→-xx x14.xx x x 4)1515(lim -+∞→ 15.设11sin2sin lim20=-→xx x x k x ，求k。

1 x →0 x 1 (C) lim(1 − ) x = −e x →∞ x
(A) lim (1 + ) x = 1 + 4、 设 阶无穷小，则当 x → 0 时（ （ A） （ B） （ C） （ D）
1 x ) =e x →0 x 1 (D) lim(1 + ) − x = e x →∞ x
f ( x), g ( x) 在 x = 0 的某去心领域内有定义，并且当 x → 0 时 f ( x), g ( x) 都与 x 为同
(B) (D)
1 2 1 A = , B = − ,C = 3 3 6 1 2 1 A = , B = ,C = − 3 3 6
⎧ ln(1 + sin 4 x) ,x ≠ 0 ⎪ 7、 设 f ( x) = x − sin x cos x cos 2 x, g ( x) = ⎨ 则 x → 0 时：f ( x) 是 g ( x) x ⎪0 ,x =0 ⎩
5)
( x + a) ( x + b) lim 2 x + a +b x →∞ ( x + a + b)
x+a
x +b
x
6)
x →0
lim x 1+ ln x +
⎛ x⎞ ⎟ ⎟ ⎠
.
1 x
7) I = lim ⎜ x → 0+
⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ x⎠
tan x
8) lim⎜ ⎜
x
1 cos 2 − x →0 sin 2 x x2 ⎝
且 x = x1 是 f ( x) 的唯一间断点，x = x2 是 g ( x) 的 f ( x), g ( x) 在 (−∞, +∞) 上有定义， ）

题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数二．极限（一）数列的极限1.数列极限的定义2.收敛数列的基本性质3.数列收敛的准则（二）函数的极限1.函数在无穷大处的极限2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量的性质4.无穷小量的比较5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性x处连续的定义1.函数在点02.函数的间断点3.间断点的分类4.连续函数的运算5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明自测题一一．填空题二． 选择题 三． 解答题3月18日函数与极限练习题一．填空题1.若函数121)x (f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞→2.若函数1x 1x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________4. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________5.已知函数 20()1ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3x 2x y --=的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11()1f x x=- ，则 (2)f = __________8.y =，其定义域为 __________ 9. 22x11x 1arcsin y -+-= 的定义域是 ______10. 考虑奇偶性，函数ln(y x = 为 ___________ 函数11.计算极限：（1） sin lim x xx →∞= _______；（2）711lim 1x x x →-=- ______ （3）xx xx sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量； （2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；13.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在14. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则 0lim ()x f x +→= ( )(A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-15. 当 n →∞ 时，1sinn n是 ( ) （A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量计算与应用题设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a求极限：20cos 1lim 2x x x →- 求极限： 121lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim 43-+-∞→x x x x求极限：x x x 10)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim xxx -→求极限： 2111lim()222n n →∞+++求极限：22lim(1)n n n→∞- 求极限：lim()1xx x x →∞+求极限 211lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：21002lim(1)x x x +→∞+求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131lim()11x x x →---4月28日函数与极限练习题一．基础题 1.设函数,11)(1-=-x xex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 2． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x→∞= B ． sin limsin x x xx x →∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=3. 设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 4. 已知9)ax a x (lim xx =-+∞→，则=a ( )。