2016考研高等数学函数与极限必背定理

考研数学必背公式总结考研数学是很多考生们的重点科目之一。

为了更好地备考数学，考生们需要掌握并熟记数学中的各种公式。

下面是一些考研数学必背公式的总结：一、高等数学1.极限公式：(1)对数函数极限：lim(log(1+x)/x)=1，当x趋于0时(2)三角函数极限：lim(sin(x)/x)=1，当x趋于0时lim((1-cos(x))/x)=0，当x趋于0时2.牛顿-莱布尼茨公式：∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数3.泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+ Rn(x)其中，Rn(x)是余项，有Lagrange余项和Cauchy余项两种形式。

二、线性代数1.向量公式：(1)向量的模：|a|=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)(2)向量的点积：a·b=x1y1+x2y2+...+xnyn(3)向量的叉积：a×b=(y1z2-y2z1)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)k2.矩阵公式：(1)矩阵的乘积：C=AB，其中Cij=∑(k=1到n)AikBkj(2)矩阵的逆：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=A^-1A=E(3)矩阵的秩：矩阵的秩是指它的行与列的最大线性无关组数，也就是矩阵中含有的一个最大的非零子式的阶数。

三、概率论与数理统计1.概率公式：(1)全概率公式：P(B)=P(AB)+P(AcBc)，其中A和B是两个事件，Ac和Bc是它们的补事件(2)条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中A和B是两个事件2.数理统计公式：(1)样本平均数：x=(x1+x2+...+xn)/n(2)样本方差：S^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xn-x)^2]/(n-1)(3)样本标准差：S=√[S^2]以上公式是考研数学中一些必背的公式总结。

函数极限连续重要概念公式定理函数、极限、连续是微积分中的重要概念，它们是研究函数性质和计算函数值的基石。

这些概念都有相应的公式和定理，本文将就这些概念逐一展开介绍。

一、函数函数是一个集合与集合之间的对应关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素上。

数学上，函数通常用f(x)或者y 来表示，其中f是函数名，x是自变量，y是因变量。

当自变量取不同的值时，由函数公式可以计算出对应的因变量的值。

函数的概念十分重要，它是微积分的基础，涉及到诸多概念和理论。

在实际应用中，函数可以描述多种变化关系，如线性关系、指数关系、对数关系等。

二、极限极限是函数中的重要概念，它描述了函数在一些点附近的性质。

当自变量趋近于一些值时，函数的值是否趋近于一些特定的值。

通常用符号的方式表示，如 lim f(x) = L ，其中 lim 表示极限，f(x) 表示函数，L 表示极限的值。

极限的计算可以通过代入法、夹逼法、泰勒展开法等方式进行。

极限的计算常常涉及到一些特定的极限公式，如 sin(x)/x 的极限为 1，e^x 的极限为自然常数 e。

极限的概念是微积分的核心，它与导数、积分等概念密切相关。

各种函数的性质可以通过极限来研究和描述，极限的计算为解决实际问题提供了方法和思路。

三、连续连续是函数的一个重要性质，它描述了函数在一些区间上是否没有突变。

当自变量在一个区间内变化时，函数的值是否也在这个区间内变化，即函数图像是否没有断裂点。

如果在一些点上左右两侧的极限存在且相等，那么函数在这个点上连续。

连续函数具有许多良好的性质，可以进行各种运算和推导。

连续函数在实际应用中有广泛的应用，如物理、经济、生物等领域。

四、重要公式在微积分中，存在一些重要的公式，它们是解决问题的基础。

以下是一些常用的公式：1.导数的基本公式：-(u+v)'=u'+v'，和法则- (ku)' = ku'，常数法则- (u * v)' = u'v + uv'，乘法法则- (u / v)' = (u'v - uv') / v^2，除法法则- (u^k)' = ku^(k-1)u'，幂函数法则-(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)，复合函数法则2.积分的基本公式：- ∫kdx = kx + C，常数法则- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，幂函数积分法则- ∫(1/x)dx = ln，x， + C，倒数函数积分法则- ∫e^xdx = e^x + C，指数函数积分法则- ∫sinxdx = -cosx + C， sin函数积分法则- ∫cosxdx = sinx + C， cos函数积分法则五、重要定理微积分中也有一些重要的定理，它们是揭示函数性质的基石。

考研数学定理公式汇总考研数学是考生们备考中必不可少的一科，其中要掌握的定理和公式也是非常重要的内容。

下面将为大家总结一些考研数学中常见的定理和公式，帮助大家更好地备考。

1.极限与连续部分：（1）极限的四则运算：-两个函数的和、差的极限等于函数分别取极限再求和、差；-两个函数的积的极限等于函数分别取极限再求积；-两个函数的商的极限等于函数分别取极限再求商，其中除数不能为0；-常数与函数的极限等于常数与函数分别取极限再求和。

（2）函数的连续性：-如果函数在特定点连续，那么在该点的左右极限存在；-如果函数在特定点的左右极限都存在且相等，那么函数在该点连续；-复合函数的连续性：如果两个函数都在特定点连续，那么它们的复合函数在该点也连续。

2.导数与微分部分：（1）导数的四则运算：-两个函数的和、差的导数等于函数分别求导再求和、差；-两个函数的积的导数等于函数分别求导再求积再求和、差；-两个函数的商的导数等于函数分别求导再求商再求和、差，其中除数不能为0；-常数与函数的导数等于常数与函数求导再求和。

（2）常用的导数公式：-幂函数的导数公式：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数；-指数函数的导数公式：(e^x)'=e^x；- 对数函数的导数公式：(ln x)' = 1/x；- 三角函数的导数公式：(sin x)' = cos x，(cos x)' = -sin x，(tan x)' = sec^2 x，(cot x)' = -csc^2 x。

3.积分部分：（1）常用的积分公式：- 幂函数的积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1)*x^(n+1)，其中n不等于-1；- 指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x；- 对数函数的积分公式：∫1/x dx = ln，x；- 三角函数的积分公式：∫sin x dx = -cos x，∫cos x dx = sin x，∫sec^2 x dx = tan x，∫csc^2 x dx = -cot x。

高等数学公式大全考研必备高等数学是数学的一门重要学科，是理工类考研的一门必备科目。

在考研过程中，了解和掌握一些常用的高等数学公式是非常重要的。

下面是一些考研必备的高等数学公式，具体分类如下：1.极限与连续极限的定义：设函数f(x)在x0的其中一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于x0的任意邻域中的不等于x0的点x，当0《，x-x0，《δ时，有，f(x)-A，《ε，则称函数f(x)当x趋于x0时以A为极限，并记为limx—x0 f(x)＝A．常用极限公式：- 1）limx—x0 c=A（常数项函数的极限）- 2）limx—x0 x=x0（一次函数x的极限）- 3）limx—x0 x^n = x0^n（幂函数的极限）- 4）limx—x0 sinx = sinx0（三角函数的极限）- 5）limx—x0 lnx = lnx0（对数函数的极限）- 6）limx—∞(1+1/x)^x=e（自然对数的底e的定义）2.导数和微分导数定义：函数y=f(x)在x0点可导的充分必要条件是：当x→x0时，若函数的增量△y与自变量增量△x之比的极限存在，那么这个极限就是函数f(x)在点x0的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim△x→0 △y/△x常用导数公式：- 1）(x^n)' = nx^(n-1)（多项式函数的导数）-2）(e^x)'=e^x（指数函数的导数）- 3）(sinx)' = cosx（三角函数的导数）- 4）(cosx)' = -sinx（三角函数的导数）- 5）(lnx)' = 1/x（对数函数的导数）- 6）(a^x)' = a^x * ln(a)（幂函数的导数）微分定义：设函数y=f(x)在点x0的一些邻域内有定义，当自变量x 在x0的邻域内以Δx自变量增量，对应的函数的增量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)．如果Δy可以表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依赖于Δx 的常数，而o(Δx)为Δx的高阶无穷小，那么称函数f(x)在点x0可微，并把常数A称为函数f(x)在点x0的微商，记为dy/dx，_(x=x0)=d/dxf(x)，_(x=x0)=f'(x0)．常用微分公式：- 1）d/dx(c) = 0（常数的微分）- 2）d/dx(x^n) = nx^(n-1)dx（幂函数的微分）- 3）d/dx(e^x) = e^xdx（指数函数的微分）- 4）d/dx(sin(x)) = cos(x)dx（三角函数的微分）- 5）d/dx(cos(x)) = -sin(x)dx（三角函数的微分）- 6）d/dx(ln(x)) = 1/x dx（对数函数的微分）3.函数的单调性和极值单调递增定义：函数f(x)在[a,b]上连续，如果对于[a,b]上任意两个不同的数x1<x2，有f(x1)《f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上单调递增。

考研高数公式总结高等数学是考研数学中的一门重要课程，也是考研数学中需要记住大量公式和定理的科目之一、下面是我总结的一些高等数学中常用的公式和定理，希望对考研学子们的备考能有所帮助。

一、极限和连续1.重要的基本极限公式- $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$- $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$- $\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$2.微分中的基本极限- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\frac{dy}{dx}$- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$3.连续性定理-函数$f(x)$在$x_0$处连续的充分必要条件是：- $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$- $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)$二、导数和微分1.基本导数公式-$(c)'=0$- $(x^n)'=nx^{n-1}$ (n为自然数)-$(e^x)'=e^x$- $(\ln{x})'=\frac{1}{x}$2.常见运算法则-$(u+v)'=u'+v'$- $(uv)'=u'v+uv'$- $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ (v≠0)3.高阶导数-若$f'(x)$存在，则$f''(x)=(f'(x))'$4.微分公式- $dy=f'(x)dx$三、积分与微积分基本定理1.基本积分公式- $\int 0dx=C$- $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ (n≠-1)2.基本积分的线性运算- $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$- $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$3.二次换元法- $\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$4.牛顿－莱布尼茨公式- $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$四、级数1.等差数列-$a_n=a_1+(n-1)d$- $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$- $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$2.等比数列-$a_n=a_1q^{n-1}$(q≠0)- $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ (q≠1)3.幂级数- $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n$五、数列和函数的收敛性1.收敛与极限-数列$\{a_n\}$的收敛定义：当无论取多大的正数$ε$，都存在一个正整数$N$，当$n>N$时，总有$，a_n-A，<ε$成立，则称$\{a_n\}$收敛于$A$。

考研数学高数定理定义总结高数定理是大学数学中的重要内容，包括了极限、连续性和可微性、中值定理、导数与微分以及积分和微分方程几个方面。

以下是这些定理的定义总结：1.极限：极限是函数论中最基本的概念之一、设函数$f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<，x-x_0，<\delta$时，有$，f(x)-A，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

2.连续性和可微性：函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义是：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。

函数在点$x_0$处可微的定义是：如果函数$f(x)$在$x_0$的一些邻域内有定义，并且存在常数$A$，使得$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)A+o(x-x_0)，x\to x_0$$则称函数$f(x)$在$x_0$处可微。

3.中值定理：中值定理是微积分中的重要定理之一、设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可微。

则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$，其中$f'(c)$是$f(x)$在点$c$处的导数。

4.导数与微分：设函数$f(x)$在点$x$处有定义。

如果极限$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$存在，那么称此极限为函数$f(x)$在点$x$处的导数，记作$f'(x)$。

函数$f(x)$在点$x$处的微分定义为$df=f'(x)dx$。

5.积分：积分是微积分中的重要概念之一、设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]$，其中$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$。

2016考研数学考前必看知识点汇总第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)总之：相信大家只要能够深刻的理解基本概念，熟悉的掌握基本理论，综合的扩展基本方法，那么成功一定属于大家。

考研—高数重要公式总结高等数学是考研数学中的一门重要课程，掌握高等数学的重要公式对于考研复习非常重要。

下面是一些高等数学中的重要公式总结。

1.极限与连续①极限的定义：设函数f(x)在点x处的一个邻域内有定义，则如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于所有满足0 < ，x - x0，< δ的x都有，f(x) - A，< ε，则称函数f(x)在点x0处极限为A，记为lim┬(x→x0)⁡〖f(x)=A〗。

②极限四则运算：设lim┬(x→x0)⁡〖f(x)=A，lim┬(x→x0)⁡g(x)=B〗，则有lim┬(x→x0)⁡〖[f(x)±g(x)]=A±B〗，lim┬(x→x0)⁡[f(x)g(x)]=AB，lim┬(x→x0)⁡〖[f(x)÷g(x)]=A÷B〗。

③自然对数e的性质：lim┬((n→∞))⁡(1+1/n)^n=e，lim┬(x→∞)⁡(1+1/x)^x=e。

④l'Hopital法则：设函数f(x)、g(x)在点x0的一些邻域内有定义，并且满足lim┬(x→x0)⁡〖f(x)〗=lim┬(x→x0)⁡〖g(x)〗=0或∞。

如果lim┬(x→x0)⁡〖f'(x)/g'(x)〗存在或为∞，则有lim┬(x→x0)⁡〖f(x)/g(x)〗=lim┬(x→x0)⁡〖f'(x)/g'(x)〗。

⑤定义证明巧妙极限：lim┬(x→0)⁡〖(1+x)^(1/x)〗=e。

⑥杨辉三角中的数列极限调整：lim┬((n→∞))⁡〖(1+1/n)^(n(n+1)/2)〗=e。

2.导数与微分①导数定义：设函数y=f(x)在点x0处有定义，如果当自变量x在x0处取得其中一个邻域内时，相应的函数值f(x)的增量与自变量的增量之比的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导，这个极限称为函数在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim┬(Δx→0)⁡〖(Δy)/(Δx)〗。

考研高数部分公式222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　4一些初等函数： 两个重要极限：5三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ8中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

函数极限连续重要概念公式定理一、函数：函数是数学上一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的关系。

函数通常表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。

可用于表示函数的方程可能是显式的或隐式的，它们描述了自变量和因变量之间的关系。

一些重要的函数公式包括：1.复合函数公式：若已知f(x)和g(x)两个函数，则可以构建出f(g(x))，即f和g的复合函数。

2.反函数公式：若已知f(x)是一个一对一函数，则可以构建出其反函数f^(-1)(x)。

3.三角函数公式：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

二、极限：极限是描述函数在其中一点附近的行为的概念。

极限是微积分的核心概念之一，它用于定义微分和积分。

极限可以用数列极限和函数极限来进行表示。

一些重要的极限定理和公式包括：1.唯一性极限定理：若f(x)和g(x)在x=a附近的极限存在且相等，则它们的极限是唯一的。

2.无穷极限定理：包括极限存在的四则运算、极限的夹逼定理等。

3.函数极限：包括左极限和右极限。

三、连续：连续是函数的一个重要性质，它意味着函数在其中一点处没有断裂或跳跃。

如果一个函数在其中一点的左极限等于右极限，并且与函数值相等，则该函数在该点是连续的。

一些连续函数的性质和定理包括：1.闭区间上的连续函数定理：如果f(x)是一个在闭区间[a,b]上的连续函数，则它在[a,b]上是有界的。

2.零点定理：如果f(x)在[a,b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个零点。

3.介值定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且满足f(a)<0<f(b)或f(a)>0>f(b)，则在(a,b)内至少存在一个使得f(x)=0的数。

总结起来，函数、极限和连续是微积分的基本概念。

函数描述了自变量和因变量之间的关系，极限用于描述函数在其中一点附近的行为，连续是函数的一个重要性质。

它们是研究微积分的基础，通过函数、极限和连续的公式和定理，我们可以解决许多与微积分相关的问题。

2016考研数学16种求极限的方法及解题思路我们都知道极限时高等数学的第一章，这一章为后面的内容铺垫了基础，以后各个章节本质上都是极限，只是是以函数的形式表现出来的，由此可见极限在考研高数中的重要性。

针对极限的复习，我们为大家带来了2016考研数学16种求极限的方法及解题思路。

解决极限的方法如下：1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。

首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E 的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。

考研高数部分公式222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　4一些初等函数： 两个重要极限：5三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ8中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

高数必背定理：函数与极限函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

高等数学定理大解析-考研必捋版（考研大纲要求范围+高数重点知识）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n +1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。

●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。

●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y = f(x)的图形水平渐近线。

如果lim（x→x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。

目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

2016考研高等数学函数与极限必背定理考研数学我们在学习的时候接触过很多定理和定义，这些定理和定义是我们学好高分的关键，这样我们才能够更好地解题，下面我们为大家带来了2016考研高等数学函数与极限必背定理，希望帮助大家高数的复习备考。

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim nn x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim nn x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim nn x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x xf x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠= ,都有()l i m n n fx A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim xxx x x xf x A f x f x A +-→→→=⇔==;(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim xxf x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x<,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量.(3)()lim(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()kx c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x xf x A f x f x A -+→=⇔==. 定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x xf x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中. 定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且 0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量．定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim()()f x g x A B =⋅(3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e nxx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim ,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩ ．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==.(5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=l i 1,n = l i m a r c t a n 2x x π→+∞= lim arctan 2x x π→-∞=-l i m a r c c o tx x →+∞=l i m a r c c o t x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= l i m e ,x x →+∞=∞l i m 1xx x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00limx xf x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x xf x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]m i n ,,a x b f f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数．2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．。