下载文档原格式
第三章 函数极限与连续函数习 题 3.1 函数极限1. 按函数极限的定义证明：⑴ lim x →2x 3＝8； ⑵ lim x →4x = 2； ⑶ limx →3x x -+11＝ 12；⑷ limx →∞x x +-121 = 12； ⑸ lim ln x x →+0=-∞；⑹ lim x →+∞e -x ＝0； ⑺ lim x →+2242xx -=+∞； ⑻ lim x →-∞x x 21+=-∞。
证 （1）先取12<-x ，则31<<x ，219)2)(42(823-<-++=-x x x x x ，于是对任意的0>ε，取019,1min >⎭⎬⎫⎩⎨⎧=εδ，当δ<-<20x 时，成立ε<-<-21983x x ，所以lim x →2x 3＝8。
（2）首先函数x 的定义域为0≥x ，且421242-≤+-=-x x x x ，于是对任意的0>ε，取{}02,4m i n >=εδ，当δ<-<40x 时，成立ε<-≤-4212x x ，所以lim x →4x = 2。
（3）先取13<-x ，则42<<x ，)1(232111+-=-+-x x x x 361-<x ，于是对任意的0>ε，取{}06,1m i n >=εδ，当δ<-<30x 时，成立2111-+-x x ε<-<361x ，所以 limx →3x x -+11＝12。
（4）先取1>x ，则x x ≥-12，21121--+x x 1223-=x x23≤，于是对任意的0>ε，取023,1max >⎭⎬⎫⎩⎨⎧=εX ，当X x >时，成立21121--+x x ε<≤x 23，所以limx →∞x x +-121=12。
（5）对任意的0>G ，取0>=-G e δ，当δ<<x 0时，成立G x -<ln ，所以lim ln x x →+0=-∞。
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
第一章 函数与极限【内容提要】1. 函数的定义与性质（1）常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。
（2）函数的概念 设有两个变量x 和y ，D 为一非空数集，如果对于D 内每一个数x ，变量y 按一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称y 是x 的函数。
记作y=f (x )。
数集D 称为函数的定义域。
（3）函数的表示法 解析法、列表法、图象法。
（4）函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。
2. 函数的极限（1）自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数X ，当|x |>X 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数∞→x x f 当)(时的极限，记作lim ()()()x f x A f x A x →∞=→→∞或。
（2）自变量趋于有限值时函数的极限设函数f (x )在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数0)(x x x f →当时的极限，记作0l i m ()()()x f x Af x A x x →∞=→→或。
（3）极限存在定理函数f (x )在点0x 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→== （4）函数极限的性质定理1（唯一性）若lim ()x f x →∞（或0lim ()x x f x →）存在，则它的极限是唯一的。
定理2（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则在点0x 的某一邻域内函数f (x )有界。
定理3（局部保号性）若0lim ()x x f x →=A ，且A>0(或A<0)，则存在点0x 的某一去心邻域，使得在该邻域内的任意x 都有f (x )>0(或f (x )<0)。
函数和极限的考试答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的极值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C4. 函数f(x)=e^x的反函数是（）。
A. ln(x)B. e^(-x)C. x^eD. e^x答案：A5. 函数f(x)=x^2+2x+1的值域是（）。
A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：D6. 函数f(x)=|x|在x=0处的连续性是（）。
A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导答案：A7. 函数f(x)=x^2在x=2处的切线方程是（）。
A. y=4x-4B. y=2x-4C. y=4x+4D. y=2x+4答案：A8. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：A9. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D10. 函数f(x)=sin(x)的周期是（）。
A. 2πB. πC. 1D. 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是f'(x)=________。
答案：2x+32. 极限lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)的值是________。
答案：23. 函数f(x)=x^3-3x的极小值点是x=________。
答案：-14. 函数f(x)=ln(x)的定义域是x>________。
答案：05. 函数f(x)=e^x的值域是y>________。
答案：0三、计算题（每题10分，共40分）1. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x-2)/(x^2+x-2)。
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
第三章函数极限1． 函数极限概念1． 按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x →+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取m a x 1M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2． 叙述0lim ()x x f x A →≠。
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
高等数学四、其他题型（共91 小题，）1、函数 f (x)x 2 1 x 与函数 g( x)x 21 能否表示同一函数？为何？1x2、函数 f ( x) ln e x 与函数 g ( x) e ln x能否表示同一函数？为何？3、函数 f ( x) x 1 x 1x 与函数 g ( x)x能否表示同一函数？为何？224、函数 f ( x)3x 4x 3 与函数 g( x) x 3 x1 能否表示同一函数？为何？5、函数 f (x)lg x与函数 g( x)x 能否表示同一函数？为何？10 6、函数 f ( x)x 1 与函数 g ( x) 1 能否表示同一函数？为 什么？x 211x17、函数 f ( x) (1 cos 2x) 2与函数 g (x)sin x 能否表示同一函数？为何？ 8、函数 f ( x) cos(arccosx) 与函数 g (x)x 能否表示同一函数？为何？9、函数 f ( x) ln( x 22x 1) 与函数 g( x) 2 ln( x1) 能否表示同一函数？为何？10、函数 f ( x) sin(arcsin x) 与函数 g ( x) arcsin(sin x) 能否表示同一函数？为何？11、 谈论函数 f ( x)1 2 x 2 在 (， ) 的有界性 。
1x 412、判断函数 f (x)a x0， a 1)的奇偶性。
(aa 2x 113、判断 f ( x) log a ( xx 2 1 )( a0，a 1)的奇偶性。
14、设函数 f ( x)满足 4 f ( x) 2 f ( 1)1，谈论 f ( x) 的奇偶性。
x x15、 设 f ( x)2e xx ，求奇函数 G( x)与偶函数 F ( x), 使 f ( x) G ( x) F (x) 。
1 e16、判断 f ( x)a( a 0)(x)的奇偶性。
x2a2x17、判断 f ( x)3(1 3x) 23(13x) 2 (x) 的奇偶性。
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x xk x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01l i m （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s in lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i m s i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高等数学三、证明题（共 124 小题，）1、)1()( , 5522)(22t f t f t t tt t f =+++=证明设。
2、)1()()(,11ln)(yzz y f z f y f x xx f ++=++-=证明设).1,1(<<z y 式中 3、)()2()2( 1 , )1lg()(2y F y F y F y x x F =--->+=时有证明当设。
4、)()()( , )(y x f y f x f e t f t -==证明 设 。
5、证明是奇函数f x x x ()()()=+--2323。
6、，，设axax x x x x f +-=+∞<<-∞=1)()( arctan )(ϕ []。
，验证：，)()()()11(a f x f x f x a -=<<ϕ 7、证明Sh x Ch x Ch x 222+=。
8、验证。
22Shx Chx Sh x ⋅=9、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ+=+。
10、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ-=-。
11、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ+=+。
12、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ-=-。
13、验证1122-=th x ch x。
14、验证1122-=-cth x sh x。
15、{}{}{}反例。
，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。
试判定：，都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =16、nn n n n bn n n nn n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞→∞→→∞→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设17、{}．收敛，并求极限，试证数列，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞→+=-=∈lim )21(2)20(21118、．试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(019、0)(lim 0)(lim )()(00==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在20、试证明不存在。
limcos x x→0121、．，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(00x g x f A A x g x f x x x x 22、[]．，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(00x g x f A x g x f x x x x 23、．是常数），试证明，时，设0)()(lim()()(00=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x 24、{}0lim 1001=<<≤>∞→+n n nn n n a r r a aa a ，试证明，；满足设有数列25、的某去心邻域，使得试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >26、．语言证明，试用 设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim"")0()(lim 027、{}，试按极限定义证明：，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞→r r a a a n n n n n ．0lim =∞→n n a 28、{}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim01=<≤=>∞→+∞→n n nn n n n a r r a a a a29、设及存在，试证明：．lim limn n n n nx x x a a →∞→∞+==≤01130、设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()31、[][]设当时，、是无穷小，且证明： 与是等价无穷小．x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().ln ()ln ()()()32、设当时，，是无穷小且证明：．x x x x x x e e x x x x →-≠--00αβαβαβαβ()()()()~()()()()33、设当时，与是等价无穷小，且，，证明：．x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()()lim ()()()34、设，且，试证明必有的某个去心邻域存在，使得在该邻域内有界lim ()().x xf x A A x f x →=≠00135、设时，与是等价无穷小且证明：x x x x x f x Ax f x Ax x x x →⋅=⋅=→→00αβαβ()()lim ()()lim ()()36、{}．求证：适合若数列rra a a r a a r a a a n n n n n n n --=<<-=-∞→-+1lim )10()(121137、[])()(lim , )()(lim )(lim 0000u f x f u f u f u x x x u u x x =ϕ==ϕ→→→证明：，设。
38、．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02lim=∞→nn n39、{}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n nn n x r r x x x 40、设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211212==⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅<+→∞()()()()lim 41、.lim 1311311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=42、存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++=lim )(131211222 43、设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。
x x x x x x x x n nn n n 010*******==++=+++→∞lim44、设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．x x x ax a x n n n n n 110120>=+>+→∞()()lim45、。
存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞→++==lim 221146、．存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞→+=>>lim 011 47、．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 048、设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε49、．该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→50、[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设51、设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==052、{}{}设有两个数列，满足； 为定数．试证明：．x y x y M M x y n n n n n n n n ()lim ()()lim()1020→∞→∞=≤⋅=53、成立．时恒有 存在，使当试证必有正整数．，且设22lim CA x AB N n NC A B A x n n n +<<+><<=∞→54、．用数列极限的定义证明0!1lim=∞→n n 55、[][])()(1)(1lim)(1)(1lim)()(lim )(~)()()(11100是正常数式中．试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当a x x x x A x x x x x x x x a x x a x x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→56、[]设当，，都是无穷小，且，试证明：．x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()57、[][]设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．x x x x x x x x x x x x Ax x x x x x x x x x →=+=+→→→0111111100111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()lim ()()lim ()lim ()()()58、[]．求证：存在．，，时，设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()()(lim )0()()()(lim)(~)()()(0)(1100059、．时 试证明：当．时，，且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<60、．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n 61、． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a ann 62、．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n63、若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=000000064、．其中用无穷大定义证明：)10( log lim <<-∞=+∞→a x a x 65、．用无穷大定义证明：+∞=-+∞→)4(lim 3x x x66、．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim1x x 67、+∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：68、．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 069、．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim1x x x 70、当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()71、设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==072、．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 1122173、．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x74、处连续．在任意点＂定义，验证函数用函数连续性的＂0cos )(x x x f =δ-ε75、[)[)有界．，在存在，证明上连续，且，在设∞+∞++∞→a x f x f a x f x )()(lim )( 76、内有界．，在存在，证明与内连续，且，在设＋)()()(lim )(lim )()(0∞+∞+∞→+→a x f x f x f a x f x a x77、证明方程在区间，内至少有一个实根．x x 57412-=()78、．它不超过至少有一个正根，并且，证明b a b a b x a x +>>+=)00(sin79、证明方程有三个实数．x x x 324310+--=80、内处处为正．，在，则处的函数值内一点，证明：若已知．的两个相邻的根是方程与为连续函数，设)()(0)()()(0)()(b a x f c f C b a b a x f b x a x x f ><===81、．，使内至少存在一点，证明在，内连续，，在设函数2)()()( )()()(2121x f x f f b a b x x a b a x f +=ξξ<<< 82、证明：任何奇次代数方程至少有一实根．83、试证方程在，内至少存在一个实根．x x =cos ()02π84、[][]．使，，试证明存在，上的连续函数，，是为正数数，函数设)1()( 01)()0(0)(+α=α∈+αα=f f n n f f n x f n85、[][]．使得，内必存在一点，为任意正数，则在，，，，上连续，且，在区间设nn n n n c c c x f c x f c x f c f b a c c c b x x x a b a x f ++++++=ξξ<<<<< 2122112121)()()()()( 86、证明方程有分别包含在区间，与，内的两个实根其中，，，且．a x a x a x a i i 112233122312300123-+-+-=>=<<λλλλλλλλλλ()()() 87、证明方程至少有一个根介于－和之间．sin x x -=12288、试证方程至少有一个不超过的正根．x x =+sin 2389、[]若在，上连续，且，，证明：在，内至少存在一点，使．f x a b f a a f b b a b f ()()()()()<>=ξξξ90、之间．和另一个根介于之间，和，有一个根介于证明：方程322103162715=-+-+-x x x 91、[]证明：方程在，内有实根．x x 431011-+=-92、[][][]上恒为正或恒为负．，在证明上无实根，，在上连续，且方程，在设b a x f b a x f b a x f )(0)()(=93、[][]设在，上连续，且，证明至少有一点，，使得．f x a f f a a f f a ()()()()()02020=∈=+ξξξ94、[][]．适合 ，，至少有一点和证明：对任意正数，上连续，，在设)()()()()(ξ+=+∈ξ<<<f q p d qf c pf d c q p b d c a b a x f 95、[][)设在，上非负连续，且，试证对于实数，必存在一点，，使．f x f f c c x f x f x c ()()()()()()010*********==<<∈=+ 96、．整数区间要求范围是端点为相邻的各根的范围．试估计方程)( 0263=+-x x97、证明方程至少有一个根介于和之间．x x 53112-=98、[][]上也一致连续．，在试证明上一致连续，，在及设b a x g x f x F b a x g x f )()()()()(⋅=99、[)[)若在，上连续，且定数试证明在，上一致连续．f x a f x A f x a x ()lim ()()()+∞=+∞→+∞100、试证明：若，在，内都一致连续则在，也必一致连续．f xg x a b F x f x g x a b ()()()()()()()=+101、不一致连续．上，一致连续，而在内，间，试证明在任意有限区设)()()()()(2x f x f b a x x f ∞+-∞=102、[)证明：，在，上一致连续．f x x ()=+∞1103、内一致连续．，，在，试证明设)1(1cos)(10c xx f c =<< 104、证明：函数在，一致连续．f x x x ()sin ()=+-∞+∞105、处连续．在任意点求证：处连续．在，且满足，对一切设x x f x x f y f e x f e y x f y x x f x y )(0)()()()( )(=+=+-106、[]{}[]上连续．，也在，试证明：，证 之间的任一实数，与是介于，，上连续，，在设b a x c x f x B A C B b f A a f b a x f )()(min )()()()(ϕ=ϕ==107、[]{}[)上连续．，也在，试证明：，证：之间的任一实数，与是介于，，上连续，，在设b a x C x f x B A C B b f A a f b a x f )()(max )()()()(ϕ=ϕ==108、{}也是连续函数．，为连续函数，试证明，设)()()()()(x g x f Max x M x g x f =109、证明方程，至少有一个小于的正根．x x =+sin 23110、[]设与在，上连续，且，试证明曲线与在，之间至少有一个交点．f xg x a b f a g a f b g b y f x y g x a b ()()()()()()()()()<>== 111、{}设，为连续函数，，试证明：也是连续函数．f xg x m x f x g x m x ()()()min ()()()=112、[][][][]上也连续．，在试证明：，，，，上连续，，都在，设b a x M b a x x g x f Max x M b a x g x f )()()()()()(∈=113、上连续．，＋在试证明，， 当，当上连续，在设)()(0)(00)()()()()(∞-∞ϕ⎩⎨⎧≥<=ϕ∞+-∞x x f x f x f x x f114、上连续．，在试证明：， 当，当上连续，在设)()(0)(00)()()()()(∞+-∞⎩⎨⎧≤>=∞+-∞x g x f x f x f x g x f115、方程各有一个实根．，及，试证明在，，设)()(111)(c b b a c x b x a x x f c b a -+-+-=<<116、必处处连续．处连续，则在试证明：若且适合，对一切设)(0)(0)()()()()(x f x x f x f t f s f t s f t s x f =≠⋅=+117、设在区间，内满足条件，且对一切，成立 若在处连续，试证明在，内连续．f x a a f x s a t a f s t f s f t f s f t f x x f x a a ()()()()()()()()()()()-<<<+=+-=-110118、上连续性的证明．，在处连续性导出在试由)()(0)(∞+-∞==x f x e x f x119、上连续性的证明．，在处连续性导出在试由)0()(1ln )(∞+==x f x x x f120、)22()(0)22(tan )(ππ-==ππ-∈=，在处的连续性导出在，，试由x f y x x x x f 内连续性的证明．121、[][]．，使，，必存在的任意正数试证明：对于满足，上连续，且取得最小值，在设)()(00)()0(0)(b f f a b a b m a f f a x f +ξ=ξ∈ξ<<==122、.)(0)10(0)0()0(11sin)(c f c c f x x x x x x f =><<=∞+∈+=ξξ使，存在试证明：对于任意的，，，设123、[][][)设，，，试证明在，上有界．f x x x x x f x ()sin()()=+-∈+∞+∞100124、[][][]．使，上至少有一点，试证：在．上连续，且，在设)()()0(0)()()(a f f a a a f a f a a x f -ξ=ξ∈ξξ=--三、证明题（共 124 小题，）1、)1(51512)1(2)1(:22t t t t t f ++⎪⎭⎫⎝⎛+= 证 5分t t t t 552222+++=t t tt 552222+++= 9分 ).1()(tf t f =∴ 10分2、zzy y z f y f +-++-=+11ln11ln)()(: 证 2分yz z y yz z y z z y y ++++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=11ln 11.11ln yzz y yzzy +++++-=1111ln6分yzzy yz zy yz z y f +++++-=++1111ln )1( 8分)1()()( yzzy f z f y f ++=+∴ 10分yzz y yzz y yzzy yzzy yz z y f ++++--=+++++-=++11ln 1111ln)1(:或证4分)1)(1()1)(1(lnz y z y ++--=6分)()(11ln 11lnz f y f zzy y +=+-++-= 10分3、)12lg()12lg()2()2(:22+--+-=---y y y F y F 证4分 )1lg()1lg(2---=y y6分 11lg2--=y y 8分 )()1lg(y F y =+=10分4、y x y xe e e yf x f -==)()(证5分 y x e y x -=-)( 9分 )()()(y x f y f x f -=∴ 10分5、因，即()()2323112323+-=+=-2分f x x x ()()()-=+----23234分[]＝-+--()()2323x x6分 =-f x ()8分 f x ()是奇函数。
