直线、平面垂直的判定及其性质2．3.2平面与平面垂直的判定预习课本P67～69，思考并完成以下问题1．二面角的定义、表示分别是怎样的？2．二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？3．面面垂直是怎样定义的？4．面面垂直的判定定理的内容是什么？[新知初探]1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．[点睛]二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．平面与平面垂直(1)面面垂直的定义①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：记作：α⊥β.(2)两平面垂直的判定定理：①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．②图形语言：如图．③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.[点睛]定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°()★答案★：(1)√(2)√2．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β★答案★：D3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.面面垂直的判定[典例]如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.，在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[活学活用]1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．2.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.二面角的求法[典例](1)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：①二面角D′-AB-D的大小为________．②二面角A′-AB-D的大小为________．(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大小．[解析] (1)①在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′AB-D的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′AB-D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′AB-D的大小为90°.[★答案★]①45°②90°(2)解：如图，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为点D ，连接AD ，设CO ＝a .∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADO 是二面角A -BC -O 的平面角． 由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC . ∵∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，CO ＝a ， ∴AO ＝a ，AC ＝2a ，AB ＝2a . 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a .在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32.∴∠ADO ＝60°，即二面角A -BC -O 的大小是60°.(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．[活学活用]如图，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD ＝AC .(1)求证：平面ABD ⊥平面ABC . (2)求二面角C -BD -A 的余弦值．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接OD ， ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴DO ⊥AB ，且DO ＝22AD . 连接OC ，同理得CO ⊥AB ， 且CO ＝22AC ， ∵AD ＝AC ，∴DO ＝CO ＝22AC . ∵CD ＝AC ，∴DO 2＋CO 2＝CD 2， ∴△CDO 为等腰直角三角形，DO ⊥CO ， 又AB ∩CO ＝O ，∴DO ⊥平面ABC .又∵DO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ABC . (2)取BD 的中点E ，连接CE ，OE . ∵△BCD 为等边三角形，∴CE ⊥BD . 又∵△BOD 为等腰直角三角形，∴OE ⊥BD . ∴∠OEC 为二面角C -BD -A 的平面角． 由(1)可证得OC ⊥平面ABD ，∴OC ⊥OE . ∴△COE 为直角三角形． 设BC ＝1，则CE ＝32，OE ＝12， ∴cos ∠OEC ＝OE CE ＝33，即二面角C -BD -A 的余弦值为33.折叠问题[典例] 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 分别沿AE ，DE 折起，使点B 与点C 重合于点P .(1)求证：平面PDE ⊥平面PAD ； (2)求二面角P -AD -E 的大小． [解] (1)证明：由AB ⊥BE ， 得AP ⊥PE ， 同理，DP ⊥PE .又∵AP ∩DP ＝P ，∴PE ⊥平面PAD . 又PE ⊂平面PDE ， ∴平面PDE ⊥平面PAD .(2)如图所示，取AD 的中点F ，连接PF ，EF ，则PF ⊥AD ，EF ⊥AD ， ∴∠PFE 就是二面角P -AD -E 的平面角． 又PE ⊥平面PAD ，∴PE ⊥PF . ∵EF ＝AB ＝2，PF ＝(2)2－1＝1，∴cos ∠PFE ＝PF EF ＝22.∴二面角P -AD -E 的大小为45°.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．[活学活用]如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又∵MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又∵A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.层级一学业水平达标1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()A.32 B.22C. 2D. 3解析：选C如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．设AA1＝1，则AO＝22.∴tan∠A1OA＝1＝ 2.226．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．★答案★：平行7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.★答案★：垂直8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P-BC-A的大小为________．解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝3，PA＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.★答案★：90°9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A B上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.层级二应试能力达标1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选D反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是()A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.4.如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是()A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面PAED ．平面PDF ⊥平面ABC解析：选D 因为D ，F 分别为AB ，AC 的中点，则DF 为△ABC 的中位线，则BC ∥DF ，依据线面平行的判定定理，可知BC ∥平面PDF ，A 成立．又E 为BC 的中点，且PB ＝PC ，AB ＝AC ，则BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，依据线面垂直的判定定理，可知BC ⊥平面PAE .因为BC ∥DF ，所以DF ⊥平面PAE ，B 成立．又DF ⊂平面PDF ，则平面PDF ⊥平面PAE ，C 成立．要使平面PDF ⊥平面ABC ，已知AE ⊥DF ，则必须有AE ⊥PD 或AE ⊥PF ，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5.如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形，AM ＝MD ＝22a .∴AD ＝22a ×2＝a . ★答案★：a6．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．解析：如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为1，顶点A 在底面BCD上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成二面角的平面角．在Rt △AEO 中，AE ＝32，EO ＝13ED ＝13·32＝36， ∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝13. ★答案★：137．已知正方形ABCD 的边长为2，AC ∩BD ＝O .将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到三棱锥A -BCD ，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.∴AH⊥BC.过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH 为二面角A -BC -D 的平面角．在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63. ∴二面角A -BC -D 的正切值为63.8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45°角，点E 是PD 的中点．(1)求证：BE ⊥PD .(2)求二面角P -CD -A 的余弦值．解：(1)证明：连接AE .∵PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝45°.∴PA ＝DA .又∵点E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥AB . ∵∠BAD ＝90°，∴BA ⊥DA .又∵PA ∩AD ＝A ，∴BA ⊥平面PDA .又∵PD ⊂平面PDA ，∴BA ⊥PD .又∵BA ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥PD .(2)连接AC .在直角梯形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，∴AC ＝CD ＝ 2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴AC ⊥CD .又∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵AC ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .又∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥CD ，∴∠PCA 为二面角P -CD -A 的平面角．在Rt △PCA 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋(2)2＝ 6.∴cos ∠PCA ＝AC PC ＝26＝33. ∴所求的二面角的余弦值为33.。
