二面角 平面角的定义

二面角及其平面角[引言]二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法.[概念]由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面.图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成[二面角的度量]以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角[二面角的平面角作法]做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角.2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角图2 二面角的平面角的三种作法[例题1]已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步：1、找到或作出题目中二面角的平面角2、证明1中的角为所求二面角3、计算出角的大小一“作”二“证”三“计算”下面给出参考解法解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1）由三垂线定理得AD⊥l∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2）∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离∴AO=2√3，AD=4在Rt△ADO中∴sin∠ADO=√3/2∵二面角的范围是[0,π]故∠ADO=60°即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3）需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出.[思考]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离.[拓展延伸]以下内容供有余力的同学参考面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦.”S射影面积＝S原图形面积×cosθ即cosθ=S射影图/S原图(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度（三角形中称高）的比.那么这个比值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线）,那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可.运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题,关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影（即找到从一个面内一点向另一面的垂线）通常求两个面内的三角形的面积比较容易.。

二面角的概念与求法讲义考点一：二面角概念1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.考点二：二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

三．补棱法D C BPA本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决四、射影面积法（cos s Sq =射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

利用空间向量求二面角的平面角1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.2．二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角3、二面角的大小（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直4、用法向量求二面角5、面面角的求法（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。

D CβαBA O m 2m 1n 2n 1DCβαl如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。

如图，设1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。

cos cos ,AB CD AB CD AB CDθ⋅==⋅小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角:二.求二面角的平面角:例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。

（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。

cos cos ,AB CDAB CD AB CD θ⋅==⋅1A例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小.解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：36sin 1=∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为36 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在RtBCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --．AB C DEF通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33cos 21=n n ，即二面角的平面角36sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：)1,0,0(1=n ，)33,33,1(2=n ，515cos 21=n n 所以，二面角B AC D --10．。

【高中数学】高中数学知识点：二面角半平面的定义：一条直线把一个平面分成两部分，每一部分都被称为半平面二面角的定义：从一条直线开始由两个半平面组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的边，这两个半平面称为二面角的面。

二面角的平面角：以二面角边上的任意点为顶点，使两条光线垂直于两个面的边。

这两条光线形成的角称为二面角的平面角。

平面角度的大小可以通过平面的大小来测量。

多少度是二面角的平面角，也就是说，多少度是二面角。

二面角的取值范围为[0180°]。

直二面角：平面角是直角的二面角，称为直二面角。

如果两个相交平面形成的二面角是直二面角，则两个平面垂直；相反，如果两个平面垂直，则产生的二面角为直二面角。

二面角的平面角具有下列性质：a、二面角的边缘垂直于其平面角所在的平面，即L⊥ 飞机AOBb．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c、二面角所在的平面垂直于二面角的两面，即平面AOB⊥ α、飞机AOB⊥ α.求二面角的方法：（1）定义方法：通过二面角的平面角计算；找出或制作二面角的平面角；符合其定义的证明；通过求解三角形，计算出二面角的平面角。

上述过程可概括为“一项工作（发现）、两项证明和三项计算”(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．（3）垂直面法：当已知二面角中从一点到两个平面的垂直线时，该平面与穿过两条垂直线的两个半平面相交形成的角度即为平面角。

因此，可以看出，二面角的平面角所在的平面垂直于边缘(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中s是平面图形在一个二面角平面上的面积，s'是平面图形在另一个平面上投影图形的面积，α是二面角的大小(5)向量法：设二面角的平面角是θ。

①如果那个②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是否相等或互补取决于具体数字。

对二面角定义的理解：根据这个定义，两个平面相交成四个二面角，其中两个相对的二面角大小相等。

二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

二面角大小的取值范围是［0，180°］。

4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。

5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法：(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。