求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案

平面与平面所成的角班级 学号 姓名复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法． 知识要点：1．二面角的概念： ． 2．二面角的平面角： ． 3．求二面角平面角大小的一般方法： ． 基础自测：1．二面角l αβ--内有一点P ，若P 到平面,αβ的距离分别是5,8，且P 在平面,αβ的内的射影的距离为7，则二面角l αβ--的度数是（）()A 30()B 60 (C ) 120 ()D 1502．已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,BC CC 的中点，则截面1AEFD 与底面ABCD 所成二面角的正弦值是 （ ）()A 32()B 32(C )35 ()D 322 3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： ，这个命题的真假性是 ．例题分析：例1、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角P BD C --的大小； （3）求证：平面PAD ⊥平面PAB ．P ABCD QEF例2、如图，正三棱柱111ABC A B C -的九条棱均相等，D 是BC 上一点，1AD C D ⊥. （1）求证：截面1ADC ⊥侧面11BCC B ；（2）求二面角1C AC D --的大小.例3、如图，已知矩形ABCD 中，1AB =，,BC a = 又PA ⊥平面ABCD ，且 1.PA = （1）问BC 边上是否存在点Q ，使得?PQ QD ⊥并说明理由；（2）若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥，求此时二面角Q PD A -- 大小.A 1课后作业：1．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若P A A B =，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是 （ ）()A 30 ()B 45 ()C 60 ()D 902．已知正方形ABCD ，BD AC ,交于点O ，若将正方形沿BD 折成 60的二面角，并给出四个结论：（1）BD AC ⊥；（2）CO AD ⊥；（3）AOC ∆为正三角形；（4）43cos =∠ADC ，则其中正确命题的序号为 ．3．平行六面体1111D C B A ABCD -的底面是矩形，侧棱长为2cm ，点1C 在底面ABCD 上的射影H 是CD 的中点，1CC 与底面ABCD 成60的角，二面角1A CC D --的平面角等于30，求此平行六面体的表面积． 4．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （1）证明//PA 平面EDB ：（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C PB D --的大小．ABCD5．在三棱锥ABC 中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==,M N 分别是,AB SB 的中点． （1）证明AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的大小；（3）求点B 到平面CMN 的距离．6．如图，AB ⊥平面BCD ，,DC CB AD ⊥与平面BCD 所成的角为30，且.AB BC = （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求二面角C AD B --的大小.7. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，且2,,.PA AD a AB a AC ===（1）求证：平面PDC ⊥平面;PAC （2）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；（3）设二面角A PC B --的大小为θ，求 tan θ值.例2 如图9-23，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD a ==，,MN 分别是,AB PC 的中点.（1）求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND ⊥平面.PCD 简解 （1）PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形， ,PD CD AD CD ∴⊥⊥，故P D A ∠是平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的平面角，在Rt △PAD 中，,45PA AD PDA =∴∠=.即平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小为45.（2）取PD 的中点E ，连,,EN EA 则EN12CD AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， //.EA MN ∴,,AE PD AE CD AE PCD ⊥⊥∴⊥平面，从而MN PCD ⊥平面，MN MND ⊂∴平面，平面MND ⊥平面.PCD点评 本题中要证MN PCD ⊥平面较困难，转化为证明AE PCD ⊥平面就较简单了. 另，本题中随着线段AB 的长度的变化，异面直线PC 与AD 所成角的范围是(,).42ππ例2．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论； （2）求二面角P BD C --的大小； （3）求证：平面PAD ⊥平面PAB ．解：（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：取BC 的中点O ，连结AO ，交BD 于点E ；连结PO ．∵PB PC =，∴PO BC ⊥．又∵平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD BC =，∴PO ⊥平面ABCD ． 在梯形ABCD 中，可得Rt ABO Rt BCD ∆≅∆，PABCDM N图9-23E∴90BEO OAB DBA DBC DBA ∠=∠+∠=∠+∠=， 即AO BD ⊥， ∴PA BD ⊥ ． （2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO BD ⊥，可得PE BD ⊥， ∴PEO ∠为二面角P BD C --的平面角，设22AB BC PB PC CD a =====，则在Rt PEO ∆中，,,PO OE ==.15tan ==∠EOPOPEO ∴二面角P BD C --为． （3）取PB 的中点N ，连结CN ，由题意知：平面PBC ⊥平面PAB ， 则同“（1）”可得CN ⊥平面PAB ．取PA 的中点M ，连结,DM MN ，则由////MN AB CD ，12MN AB CD ==，得四边形MNCD 为平行四边形. ∴//CN DM ，∴DM ⊥平面PAB ．∴平面PAD ⊥平面PAB ． 解答二：取BC 的中点O ，由侧面PBC ⊥底面ABCD ， PBC ∆是等边三角形， 得PO ⊥底面ABCD ．以O 为原点，以BC 所在直线为x 轴， 过点O 与AB 平行的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 设1CD =，则在直角梯形中，2AB BC ==， 在等边三角形PBC中，PO =(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)A B D P ---).3,2,1(),0,1,2(--=--=PA BD（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅PA BD ∴,PA BD PA BD ⊥⊥．（2）连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ；连结PE ．由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅得,OA BD AO BD ⊥⊥即． 又∵AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，∴PE BD ⊥，PEO ∠为二面角P BD C --的平面角． 在Rt BEO ∆中，sin OE OB OBE =∠=． 在Rt PEO ∆中，tan POPEO ∠== ∴二面角P BD C --为（3）取PA 的中点M ，连结DM ，则M 的坐标为1(,1,)22-．又3(2DM =，(1,0,PB =，∴310(2)(022DM PA ⋅=⨯+⨯-+=3100(02DM PB ⋅=⨯+⨯=．∴,,,DM PA DM PB DM PA DM PB ⊥⊥⊥⊥即 ∴DM ⊥平面PAB ． ∴平面PAD ⊥平面PAB ．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．。

二面角的教学设计重庆涪陵实验中学冯元指导思想与理论依据1、培养他们大胆猜想的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。

基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构的，他们要用自己现存的知识去过滤和解释新的信息.2、给学生提供活动的时空，让主体主动构建自己的认知结构，充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用。

学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，充分感受到成功与失败的情感体验，深刻地领悟到转化的数学思想在解决问题中所起的重要作用。

同时又培养了学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索，大胆创新的科学精神.教材分析二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。

二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。

搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。

教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。

学情分析学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。

但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。

教学目标知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。

（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。

(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。

（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

情感与态度：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。

(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。

3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。

4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(三)教学目的：1．两个平面垂直的定义、画法．2．两个平面垂直的判定定理．3．两个平面垂直的性质定理．理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题教学重点：两个平面垂直的判定和性质教学难点：两个平面垂直的判定及应用 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21= 3 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示： 第一种是卧式法，也称为平卧式：ED CB Aβα第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα4．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则A O B ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则A O B ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180] ；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 二、讲解新课：1 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面2．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直已知：直线A B ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ， 求证：αβ⊥．（线面垂直⇒面面垂直） 证明：如图所示，令CD αβ= ，则B C D ∈， 在β内过B 作B E C D ⊥，∵,AB CD ββ⊥⊂，∴AB C D ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，NMPCBA aγβαPOABC所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直3．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥ 于点B ， 求证：AB β⊥．（面面垂直⇒线面垂直）证明：在β内过B 作B E C D ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角， ∵αβ⊥知AB BE ⊥，又∵AB C D ⊥， ∴AB β⊥． 三、讲解范例：例1 如图，已知A B 是圆O 的直径，P A 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面P A C ⊥平面PBC ． 分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可解：∵A B 是圆O 的直径，∴A C B C ⊥，又∵P A 垂直于O 所在的平面，∴P A B C ⊥，∴B C ⊥平面PAC ，又B C 在平面PBC 中， 所以，平面P A C ⊥平面PBC ．说明：由于平面PAC 与平面PBC 相交于P C ，所以如果平面P A C ⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于P C 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥ ，求证：a γ⊥． 证明：设,AB AC αγβγ== ，在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，P N A C ⊥于点N ， ∵αγ⊥，∴PM α⊥， 又∵a αβ= ，∴P M a ⊥，同理可得P N a ⊥，αHDCBADCBA∴a γ⊥．例3．已知在一个60 的二面角的棱长有两点,A B ，,AC BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段A B ，又知4,6,8AB cm AC cm BD cm ===，求C D 的长解：由已知,,,18060120C A AB AB BD C A BD ⊥⊥<>=-=，∴22||()C D C A AB BD =++ 222||||||268cos120C A AB BD =+++⨯⨯⨯22216482682=++-⨯⨯⨯68=，||)C D cm =四、课堂练习：1．直角A B C ∆的斜边A B 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45 ，C D 是斜边A B 上的高线，求C D 与平面α所成角的正弦值解：过点C 作C H α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，则30CAH ∠= ，45CBH ∠= ，C D H ∠为所求C D 与α所成角，记为θ， 令C H a =，则2,A C a B C ==，则在R t A B C ∆中，有3AC BC C D AB⋅==在Rt C D H ∆中，sin 2C H C Dθ==∴C D 与平面α所成角的正弦值2.βαlP C B图1AE D'B'C'A'ODACB2．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,，求二面角的大小分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时，∵PA α⊥ ∴P A l ⊥ ∵A C l ⊥ ∴面P A C l ⊥ 同理，面P B C l ⊥而面PAC 面P B C P C = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则A C B ∠是二面角l αβ--的平面角在R t A P C ∆中，1s i n 2P A AC P P B∠===∴30ACP ∠=在R t B P C ∆中，4sin 2P B B C P P C∠=== ∴45BCP ∠=故304575ACB ∠=+= （图1）或453015ACB ∠=-=（图2） 即二面角l αβ--的大小为75 或15说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角3．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '= ，求：（1）A O 与A C ''所成角；（2）A O 与平面A B C D 所成角的正切值；（3）平面AO B 与平面A O C 所成角解：（1）∵//A C A C '' ∴A O 与A C ''所成角就是O A C ∠βαlPCB图2A∵,OC OB AB ⊥⊥平面B C ' ∴O C O A ⊥（三垂线定理）在R t A O C ∆中， ,2O C AC ==∴30OAC ∠=（2）作O E BC ⊥，平面B C '⊥平面A B C D∴O E ⊥平面A B C D ，O A E ∠为O A 与平面A B C D 所成角在R t O A E ∆中，1,22O E AE === ∴tan 5O E O AE AE ∠==（3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴O C ⊥平面AO B 又∵O C ⊂平面A O C ∴平面A O B ⊥平面A O C 即平面AO B 与平面A O C 所成角为90说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角(0,]2π，直线和平面所成角[0,]2π，二面角[0,]π三种；求角度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案 五、小结 ：1．两个平面垂直的定义、画法2．两个平面垂直的判定方法（判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．） 3．应用两个平面垂直的判定定理的关键是将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题；4．两个平面垂直的性质. 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

二面角及其平面角二面角及其平面角二面角及其平面角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念；（2）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法。

3、情态与价值（1）通过揭示概念的形成、发展和应用过程，提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；（2）通过图形结构分析，掌握作图方法，提高空间想象能力；（3）通过本节教学由水坝、防止山体滑坡，用石块修筑护坡斜面到二面角，体现由具体到抽象思想。

二、教学重点、难点。

重点：二面角的平面角；难点：如何求作二面角的平面角。

三.学法与教学用具1、学法：（1）实物观察，类比归纳，语言表达；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2、教学用具:电脑、二面角模型（两块硬纸板）、投影机.四.教学设想【创设情境、揭示课题】问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、防止山体滑坡，用石块修筑护坡斜面等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

【探究新知】1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）第1 页共3 页二面角及其平面角2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（见课件），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法――二面角的平面角。

高中立体几何中二面角的平面角的作法一、二面角的平面角的定义如图（1），α、β是由l出发的两个平面, O是l上任意一点OC ∈α，且OC⊥l；CD ∈β，且OD⊥l。

这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—l—β的平面角，从中不难得到下列特征：Ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征Ⅱ可知AB⊥β. 突出l、OC、OD、AB，这便是另一特征；Ⅲ、体现出完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背景。

二、对以上特征进行剖析由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—D的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。

在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD 的垂直关系不变。

但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。

由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给定量计算提供了优质服务。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征Ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“展平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。

“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。