《平面与平面的位置关系》中的《二面角》

1.2.4 平面与平面的夹角------二面角【课时目标】 1．掌握二面角和二面角的平面角的概念．2．会求简单的二面角的大小．【知识疏理】1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．注: （1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。

（4）二面角的取值范围一般规定为（0,π）。

3．二面角的画法（1）平卧式 （2）直立式4．二面角的记法（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：___________________; （2）以直线AB 为棱，以为半平面的二面角记为：___________________ 。

5．二面角的平面角的作法：注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。

（2）角的两边分别在两个面内。

（3）角的边都要垂直于二面角的棱。

【例题学习】例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 求①二面角A 1－AB －D 的大小；②二面角D 1－AB －D 的大小．归纳小结:求二面角大小的步骤。

简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．l βα,βα,例2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．例3．如图所示AF，DE、分别是圆O、圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是圆O的直径，AB=AC=6，OE // AD。

高中数学教案《二面角》作为一名为他人授业解惑的教育工，就不得不需要编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

我们应该怎么写教案呢？以下是精心整理的高中数学教案《二面角》，希望对大家有所帮助。

一、教材分析1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。

“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。

它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。

因此，它起着承上启下的作用。

通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。

2、教学目标:知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。

（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。

（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。

3、重点、难点：重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念难点：“二面角的`平面角”概念的形成过程二、教法分析1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。

２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。

空间几何中的二面角与球面角空间几何是研究空间中各种几何对象的形状、结构和性质的一门学科。

在空间几何中，二面角和球面角是两个重要概念，它们在解决几何问题和应用数学中扮演着重要的角色。

本文将对二面角和球面角进行详细介绍，并探讨它们之间的关系。

一、二面角的定义和性质在空间几何中，两个平面的交线称为二面角的棱，交线所在的两个平面分别称为二面角的两个面。

二面角可以看作是由两个面之间的夹角构成的。

具体定义如下：设平面α与平面β相交于一条直线a，若另一条直线b既在平面α中，又在平面β中，且不与直线a重合，则直线a和直线b所夹的角称为二面角。

二面角的度数可以用度或弧度来表示，为了方便计算和讨论，我们通常使用弧度作为度量单位。

二面角的大小和性质如下：1.二面角的大小范围是0到π，其中0表示两个面平行，π表示两个面正交。

2.二面角是有向的，具有正、负两种方向，通过约定棱和它的两个面之间的排列关系，可以确定二面角的方向。

3.当两面平行时，二面角为0或π，可以看作是一个平面角。

4.二面角的余弦值cosθ可以通过两个面的法向量计算得出，具体公式为cosθ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|)，其中n1和n2为两个面的法向量。

了解了二面角的定义和性质后，我们可以进一步讨论二面角与其他几何概念的关系。

二、二面角与直线角的关系在空间几何中，直线角是由两条直线在空间中的夹角所确定的角。

直线角和二面角之间存在着密切的关系。

1.当两个面相交的直线上，存在着两个直线角，它们的和等于二面角。

2.当两个面平行时，二面角等于两个直线角之差的绝对值。

通过二面角和直线角之间的关系，我们可以利用直线角的性质来研究二面角。

三、球面角的定义和性质在空间几何中，球面角是由球面上两条弧所切出的锥面的顶角。

具体定义如下：设球面上有两条弧交于一点O，这两条弧分别在球心O处发出的半射线称为球面角的两个面，球面角可以看作是由这两个面之间的夹角构成的。

§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

高中数学二面角在数学的世界里，二面角是一个重要的概念，尤其在高中数学中占据着举足轻重的地位。

二面角，顾名思义，指的是两个平面之间的夹角。

这个概念在解决许多实际问题，如建筑设计、工程测量和物理学等领域都有广泛的应用。

首先，我们来深入理解一下二面角的定义。

简单来说，二面角就是两个平面在三维空间中相交时所形成的夹角。

这个夹角的大小可以用角度来衡量，也可以用弧度来衡量。

角度和弧度是两种不同的度量单位，用于描述角的大小，它们之间可以相互转换。

那么，如何计算二面角的大小呢？一种常见的方法是利用向量的知识。

具体来说，我们可以先找到两个平面的法向量，然后计算这两个法向量之间的夹角。

这个夹角的大小就是二面角的大小。

这种方法不仅简单易懂，而且在实际应用中也十分有效。

当然，二面角的应用远不止于此。

在解决一些几何问题时，我们常常需要用到二面角的知识。

例如，在计算立体几何中的表面积和体积时，我们往往需要先找到相关的二面角，然后利用这些二面角来推导出所需的公式。

此外，在解析几何中，二面角也是描述空间关系的一个重要工具。

为了更好地理解二面角的概念，我们可以结合一些具体的例子来进行说明。

比如，在建筑设计领域，设计师需要根据建筑物的功能和美学要求来确定各个房间的布局和角度。

在这个过程中，他们就需要利用二面角的知识来计算出最佳的角度和布局。

综上所述，二面角是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他领域也有着不可忽视的作用。

通过深入学习和理解二面角的概念、计算方法以及应用场景，我们可以更好地掌握这个工具，为解决实际问题提供有力的支持。

二面角名词解释
二面角是指由两条射线在同一平面内所形成的角度。

其中，一条射线称为顶角的边，另一条射线称为顶角的始边，二面角的度量范围为0度到180度。

二面角广泛应用于几何学和物理学等学科中。

在几何学中，二面角是对空间中的角度进行度量的重要概念。

它常常用于描述多面体的性质和物体之间的相对位置关系。

具体来说，二面角可用于计算多面体的体积和表面积，以及判断多面体是否相互平行或垂直。

二面角的计算公式是通过将两条射线与两个平面相交来得到的。

这两个平面称为二面角的平面。

二面角的度量取决于两个平面的夹角以及每个平面与二面角边所夹的角度。

如果两个平面相互垂直，则二面角为0度；如果两个平面平行，则二面角为180度。

在物理学中，二面角经常用于描述光线的传播和反射。

例如，当光线从一个介质射向另一个介质时，二面角将决定光线在两个介质之间的折射角。

通过计算二面角，可以进一步推导出光的传播路径和折射率等物理量。

此外，二面角还被应用于建筑学和工程学等领域。

在建筑学中，二面角可用于计算建筑物中不同房间或建筑部分之间的夹角，从而实现建筑物的设计和布局。

在工程学中，二面角可用于描述机械零件的装配和运动过程，以及评估工程的稳定性和可靠性。

综上所述，二面角是指由两条射线在同一平面内所形成的角度。

它在几何学和物理学等学科中发挥重要作用，用于描述多面体的性质、光线的传播和反射，以及建筑和工程等领域中的相关问题。

二面角的概念及其应用，对于理解和解决各种问题具有重要意义。

教材版本：人教大纲版高二年级上学期（第三册）第九章《二面角》教学设计江西省宜春市万载中学（336100）授课人：郭炜甘淑清教学目标1、知识与技能：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．2、过程与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。

(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。

（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。

3、情感与态度三维目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。

(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。

教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程及如何作出二面角的平面角。

教学设计过程一：引入镜头一：学生观察开关门时门所在平面和墙面所在的平面的张合程度有何变化？（动画）镜头二：学生观察翻书时翻开的书面与书本所在平面的张合程度有何变化？（动画）（目的：使学生在观看动画的时候能够感觉到平面与平面之间存在着变化的位置关系，为引入二面角的概念作出铺垫）二：新课讲解1．二面角概念及表示法首先复习在平面几何中“角”是怎样定义的？对比平面角的定义给二面角下定义．并解释二面角的表示法。

平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．2．二面角的大小如何度量在翻书和开门过程中，都给人一种二面角大小会连续变化的的印象，节下来应该解决的是如何度量二面角的大小。

先复习异面直线所成的角是如何作出平面角的。

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′并不是存在且唯一的，所以不能用这样的角定义二面角的平面角。

高三数学《二面角》说课稿高三数学《二面角》说课稿「篇一」一、教材简析:1．地位与作用:本节是高二数学下册第九章《直线、平面、简单几何体》中相关§96二面角的求解问题。

是在立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法的基础之上，对二面角求解方法进行的一个补充。

二面角的求解是立体几何部分的一个重点也是一个难点，本节内容为学生提供一个新的`视角。

2．教学内容及目标教学内容:将异面直线两点间距离公式变形应用于求二面角，变形所得公式就是本节所学主要内容，暂且称这个公式为二面角余弦公式。

教学目标：知识目标：异面直线两点间距离公式在求二面角中的应用；能力目标：（1）.推广引申不但能加深对原题的理解，而且对于扩大解题效果，提高解题能力，培养发散思维，激发创新意识，都有不可忽视的积极作用。

（2）.通过转化问题探究公式条件的过程，培养学生探索问题的精神，提高学生化归的意识和转化的能力。

情感目标：通过问题的转化过程，让学生认识万物都处于联系之中，我们要用联系的观点看待问题。

3．教学重点和教学难点重点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；难点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；二、学情分析：1．起点能力分析立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法，并成为本节的学习基础。

2．一般特点分析高二学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。

三、教法分析：本节采用启导法，以质疑启发、直观启发为主，通过一系列带有启发性、思考性的问题，创设问题情境，引导学生思考，教师适时演示，利用多媒体的直观性，激发学生的学习兴趣，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。

二面角教案教学目标1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．教学设计过程教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角．教师：请同学们观察下面的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生观察这两个平面相交成一定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思考二面角的图形．学生可以将自己画的图展示给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．最后计算机显示整个过程．教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．（教师让学生打开书本）打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜．请看图6：设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x由余弦定理，得：=2b2（1-cos），x2=b2+b2-2b2cos表示二面角的大小，当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′=由（*）知，多不便；另外，若用∠A′OB′=≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。