二面角及二面角的平面角

《二面角垂直向量角与二面角的平面角相等或互补的关系》一、引言二面角是我们在几何学习中经常接触到的概念，它是一个重要的几何性质。

在这篇文章中，我们将以“二面角垂直向量角与二面角的平面角相等或互补的关系”为主题，深入探讨其性质和关联，以便更好地理解几何学的重要概念。

二、二面角垂直向量角的性质在几何学中，二面角是指由两条射线（或直线段）构成的角。

当这两条射线（或直线段）相交时，它们将平面分为两个部分，并形成一个有向角，我们称之为二面角。

在此基础上，我们引入了二面角的垂直向量角的概念。

二面角的垂直向量角是指与二面角拥有公共边且顶点重合的另一个二面角，这两个二面角的垂直向量角的性质是非常特殊的。

二面角的垂直向量角相等。

这意味着当两个二面角的垂直向量角相等时，它们所构成的二面角也是相等的。

这是一个非常重要的性质，它为我们在几何推导和证明过程中提供了重要的依据。

二面角的垂直向量角互补。

这意味着当两个二面角的垂直向量角之和为直角时，它们所构成的二面角也是互补的。

这个性质在几何学的证明和推导中也有着重要的应用。

三、二面角的平面角的性质除了二面角的垂直向量角，我们还需要了解二面角的平面角。

二面角的平面角是指在同一个平面内，以相同的顶点为端点的两个相邻的二面角的非公共边所成的角。

二面角的平面角也具有一些特殊的性质，与二面角的垂直向量角有着一定的关联。

二面角的平面角相等。

这意味着当两个相邻的二面角的平面角相等时，它们所构成的二面角也是相等的。

二面角的平面角互补。

这意味着当两个相邻的二面角的平面角之和为直角时，它们所构成的二面角也是互补的。

通过这些性质，我们可以更好地理解二面角在平面几何中的特殊作用，以及其在证明和推导中的应用。

四、个人观点和总结回顾通过对二面角垂直向量角和平面角的性质深入探讨，我们能够更好地理解几何学中重要的概念和性质。

二面角的垂直向量角和平面角的相等或互补关系，在几何证明和推导中具有重要的作用，它为我们提供了重要的几何依据和工具。

高中数学教案《二面角》作为一名为他人授业解惑的教育工，就不得不需要编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

我们应该怎么写教案呢？以下是精心整理的高中数学教案《二面角》，希望对大家有所帮助。

一、教材分析1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。

“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。

它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。

因此，它起着承上启下的作用。

通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。

2、教学目标:知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。

（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。

（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。

3、重点、难点：重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念难点：“二面角的`平面角”概念的形成过程二、教法分析1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。

２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。

利用空间向量求二面角的平面角1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.2．二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角3、二面角的大小（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直4、用法向量求二面角5、面面角的求法（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。

D CβαBA O m 2m 1n 2n 1DCβαl如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。

如图，设1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。

cos cos ,AB CD AB CD AB CDθ⋅==⋅小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角:二.求二面角的平面角:例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。

（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。

cos cos ,AB CDAB CD AB CD θ⋅==⋅1A例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小.解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：36sin 1=∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为36 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在RtBCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --．AB C DEF通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33cos 21=n n ，即二面角的平面角36sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：)1,0,0(1=n ，)33,33,1(2=n ，515cos 21=n n 所以，二面角B AC D --10．。

二面角的平面角的范围
两个平面相交线上取任意一点，通过此点在两个平面内分别做公交线的垂线，这两个
垂线形成的角，就是二平面角。

二面角是高中立体几何教学中的一个重要内容，也是一个
难点，所以在学习时要格外认真。

平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，每一部分都叫作半平面。

从一条直线出
发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。

这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作
二面角的面。

二面角的大小，可以用它的平面角去度量，二面角的平面角就是几度，就说道这个二
面角就是几度。

二面角也可以看做从一条直线启程的一个半平面绕着这条直线转动，它的
最初边线和最终边线共同组成的图形。

二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。

如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。

反之，相等
二面角的平面角相等。

a O课题3：二面角求法总结一、知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

（3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

（4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（5）无交线的二面角处理方法（6）向量法二、二面角的基本求法及练习1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

《二面角及其平面角》教学设计袁素燕（江西省泰和县第二中学343700）课题：二面角及其平面角学科：数学版本：人民教育出版社2006版年级：高二年级册别：第二册下（A）课时：1课时一、教学目的1、知识目的：①理解二面角的概念②能正确画出二面角及二面角的平面角③会求简单二面角的平面角的大小2、能力目的：①通过二面角的教学，培养学生的空间想象能力②通过将研究二面角的大小转化为研究其平面角的大小，培养学生的转化能力。

3、情感目的①通过实际问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，让学生明白数学与生活是密不可分的。

②培养学生认真参与，积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。

二、教学重点、难点1、教学重点①二面角及二面角平面角的定义②作二面角平面角的三种方法2、教学难点：理解二面角的平面角定义的科学性，解决的办法是：让学生打开书的过程，书的两页之间形成了二面角，引导学生动手测量其大小，从而解决本节课的教学难点。

三、教具准备：三角板、纸板和多媒体四、教学过程1、复习引入（5分钟）通过下列一组问题的设计，经启发引导，提出今天的学习课题①问题一：在平面几何中“角”是怎样定义的？（引导学生从两种不同的角度回答）是这样定义的：（1）从平面内一点出发的两条射线所组成的图形，叫做角。

（2）一条射线绕它的端点旋转所形成的图形，叫做角。

②问题二：在立体几何中，我们还学习了哪些角？（学生能容易地回答）异面直线所成的角，直线与平面所成的角。

③问题三：在空间和日常生活中，我们还会遇到一些角（1）（动画演示）修水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面与水平面成一定的角度。

（2）（动画演示）人造地球卫星绕地球飞行的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度。

（3）（师生动手演示）打开数学课本的过程，书的两页之间形成了一定的角。

④上面问题三中所说的角就是我们今天要学习的另一个空间的角——二面角（板书课题）2、新课探究（22分钟）①问题一：如何给二面角下定义？（让学生充分思考，讨论并展示打开书的过程，通过角的定义用类比的方法给二面角下定义）。

二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

二面角大小的取值范围是［0，180°］。

4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。

5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法：(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。