高三文科数学周测14 (参考答案)

２０２２－２０２３学年普通高中高三第二次教学质量检测数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分㊂考生作答时，将答案答在答题卡上，在∙本试卷上答题无效∙∙∙∙∙∙∙∙㊂考试结束后∙∙∙∙∙，将本试卷和答题卡一并交回∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙㊂注意事项：１．答题前，考生务必将本人的姓名㊁准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用２Ｂ铅笔将准考证号填涂在相应位置㊂２．选择题答案使用２Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用０．５毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整㊁笔迹清楚㊂３．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效㊂４．保持卡面清洁，不折叠，不破损㊂第Ⅰ卷一㊁选择题：本大题共１２个小题，每小题５分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知集合Ａ＝｛ｘ｜（ｘ＋２）（ｘ－１）＝０｝，Ｂ＝｛－２，－１，０，１，２｝，那么ＣＢＡ等于Ａ．｛－２，０，１｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛－１，０，２｝㊀Ｃ．｛－２，－１，０｝㊀Ｄ．｛０，１，２｝２．下列命题中，错误的命题有Ａ．函数ｆ（ｘ）＝ｘ与ｇ（ｘ）＝（ｘ）２不是同一个函数Ｂ．命题 ∃ｘ０ɪ［０，１］，ｘ２０＋ｘ０ȡ１ 的否定为 ∀ｘɪ［０，１］，ｘ２＋ｘ＜１ Ｃ．设函数ｆ（ｘ）＝２ｘ＋２，ｘ＜０２ｘ，ｘȡ０{，则ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增Ｄ．设ｘ，ｙɪＲ，则 ｘ＜ｙ 是 （ｘ－ｙ）ｙ２＜０ 的必要不充分条件３．已知角α的终边在直线３ｘ－４ｙ＝０上，则ｃｏｓ２α＋２ｓｉｎ２α等于Ａ．６４２５Ｂ．４８２５Ｃ．１Ｄ．１６２５４．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ３＝８，ａ７＝１２，则ａ１２等于Ａ．１９Ｂ．１８Ｃ．１７Ｄ．２０５如图所示的程序框图，输入３个数，ａ＝２０．１，ｂ＝３－０．２，ｃ＝ｌｏｇ４１２，则输出的ａ为Ａ．０Ｂ．２０．１Ｃ．３－０．２Ｄ．ｌｏｇ４１㊀㊀６．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝㊁白㊁红㊁黑㊁绿５种颜色各１只的口罩中随机选３只不同颜色的口罩，则蓝㊁白口罩同时被选中的概率为Ａ．３１０Ｂ．５７Ｃ．３５Ｄ．２３７．过抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ㊁Ｂ两点，且｜ＡＢ｜＝８，则线段ＡＢ的中点到ｙ轴的距离为Ａ．１Ｂ．４Ｃ．３Ｄ．７８．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对任意实数ｘ都有ｆ（ｘ＋６）＋ｆ（ｘ）＝２ｆ（３）且ｆ（１－ｘ）＋ｆ（ｘ－１）＝０，则ｆ（２０２２）等于Ａ．－３Ｂ．０Ｃ．３Ｄ．６９．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎωｘｃｏｓ２（ωｘ２－π４）－ｓｉｎ２ωｘ（ω＞０）在区间［－２π３，５π６］上是增函数，且在区间［０，π］上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是Ａ．（０，３５］Ｂ．［１２，３５］Ｃ．［１２，５２］Ｄ．（０，５２）１０冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续７天，每天不超过５人体温高于３７．３ħ，则称没有发生群体性发热，下列连续７天体温高于３７．３ħ人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（１）中位数为３，众数为２㊀（２）均值小于１，中位数为１（３）均值为３，众数为４㊀（４）均值为２，标准差为２Ａ．（１）（３）Ｂ．（３）（４）Ｃ．（２）（３）Ｄ．（２）（４）１１．已知双曲线Ｃʒｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０），Ａ，Ｂ是圆（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２＝４ｃ２与Ｃ位于ｘ轴上方的两个交点，且Ｆ１ＡʊＦ２Ｂ，则双曲线Ｃ的离心率为Ａ．２＋７３Ｂ．４＋７３Ｃ．３＋１７４Ｄ．５＋１７４１２．已知ｍ㊁ｎ为实数，ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｍｘ＋ｎ－１，若ｆ（ｘ）ȡ０对∀ｘɪＲ恒成立，则ｎ－ｍｍ的最小值为Ａ．１Ｂ．２Ｃ．－１Ｄ．３第Ⅱ卷二㊁填空题：本大题共４个小题，每小题５分，共２０分，把答案填在答题卡的相应位置．１３．若复数（１－２ｉ）（ａ＋ｉ）是纯虚数，则实数ａ的值为．１４．圆Ｃʒ（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝２关于直线ｌʒｙ＝ｘ－１对称的圆的方程为．１５．在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，点Ｅ为ＢＣ的中点，点Ｆ在ＣＤ上，若ＡＢң㊃ＡＦң＝３，则ＡＥң㊃ＢＦң＝．１６．如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ＡＢＣ，经测量得，ＡＢ＝３０ｍ，ＡＣ＝４０ｍ，ＢＣ＝１０１３ｍ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路ＤＥ（其中Ｄ点在边ＡＢ上，点Ｅ在边ＡＣ上），若ＤＥ恰好将该草坪的面积平分，则Ｄ，Ｅ两点间的最小距离为ｍ．㊀㊀三㊁解答题：本大题共６小题，共７０分，解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（本小题满分１２分）在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｂｃｏｓＡ＋３２ａ＝ｃ．（１）求角Ｂ的大小；（２）若ｃ＝３，ａ＋ｂ＝２，求әＡＢＣ的面积．１８．（本小题满分１２分）热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在２０２２年６月至１０月的旅游收入ｙ（单位：万元），得到以下数据：月份ｘ６７８９１０旅游收入ｙ１０１２１１１２２０㊀㊀（１）根据表中所给数据，用相关系数ｒ加以判断，是否可用线性回归模型拟合ｙ与ｘ的关系？若可以，求出ｙ关于ｘ之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；（２）为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了２００名游客，得到如图列联表，请填写２ˑ２列联表，并判断能否有９９．９％的把握认为 游客是否喜欢该网红景点与性别有关联 ？喜欢不喜欢总计男１００女６０总计１１０㊀㊀参考数据：１０ʈ３．１６２，注：ｒ与Ｋ２的计算结果精确到０．００１．参考公式：相关系数ｒ＝ðｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）ðｎｉ（ｘｉ－ｘ）２ðｎｉ＝１（ｙｉ－ｙ）２，线性回归方程：ｙɡ＝ｂɡｘ＋ａɡ，其中ｂɡ＝ðｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）ðｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）２，ａɡ＝ｙ－ｂɡｘ，Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）．临界值表：Ｐ（Ｋ２ȡｋ０）０．０１００．００５０．００１ｋ０６．６３５７．８７９１０．８２８１９．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１＝３，Ｓｎ＝２＋ａｎ＋１（ｎɪＮ∗）．（１）证明：数列｛Ｓｎ－２｝为等比数列；（２）设ｂｎ＝ａｎ＋２（ａｎ＋１＋１）（２Ｓｎ－３），记数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，证明：Ｔｎ＜１．㊀㊀２０．（本小题满分１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）长轴的两个端点分别为Ａ（－２，０），Ｂ（２，０），离心率为３２．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）Ｐ为椭圆Ｃ上异于Ａ，Ｂ的动点，直线ＡＰ，ＰＢ分别交直线ｘ＝－６于Ｍ，Ｎ两点，连接ＮＡ并延长交椭圆Ｃ于点Ｑ．（ⅰ）求证：直线ＡＰ，ＡＮ的斜率之积为定值；（ⅱ）判断Ｍ，Ｂ，Ｑ三点是否共线，并说明理由．２１．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａｘ－（ａ－１）ｌｎｘ－２，其中ａɪＲ．（１）若ｆ（ｘ）存在唯一极值点，且极值为０，求ａ的值；（２）讨论ｆ（ｘ）在区间［１，ｅ２］上的零点个数．选考题：共１０分，请考生在第２２㊁２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分㊂２２．（本小题满分１０分）（选修４－４：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ的参数方程为：ｘ＝３＋２２ｃｏｓαｙ＝２２ｓｉｎα{（α为参数），在以Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点Ｐ的极坐标为（２，π３）．（１）写出曲线Ｃ的普通方程，并判断点Ｐ与曲线Ｃ的位置关系；（２）设直线ｌʒθ＝π３与曲线Ｃ交于Ｍ㊁Ｎ两点，求１｜ＰＭ｜＋１｜ＰＮ｜的值．２３．（本小题满分１０分）（选修４－５：不等式选讲）已知ａ，ｂ，ｃ为正数．（１）求ａ＋４ａ２的最小值；（２）求证：ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂｃȡａ＋ｂ＋ｃ．２０２２－２０２３学年普通高中高三第二次教学质量检测数学文科参考答案一㊁选择题１．Ｂ㊀㊀２．Ｃ㊀㊀３．Ａ㊀㊀４．Ｃ㊀㊀５．Ｄ㊀㊀６．Ａ㊀㊀７．Ｃ㊀㊀８．Ｂ㊀㊀９．Ｂ㊀㊀１０．Ｄ㊀㊀１１．Ｃ㊀㊀１２．Ｃ二㊁填空题１３．－２㊀㊀１４．（ｘ－２）２＋ｙ２＝２㊀㊀１５．７２㊀㊀１６．１０６三㊁解答题１７．（１）因为ｂｃｏｓＡ＋３２ａ＝ｃ，由正弦定理可得ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋３２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＣ，２分 又ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以３２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ，４分 因为Ａɪ（０，π），则ｓｉｎＡ＞０，所以ｃｏｓＢ＝３２，因为Ｂɪ（０，π），所以Ｂ＝π６６分 （２）因为Ｂ＝π６，ｃ＝３，由余弦定理可得ｃｏｓＢ＝ａ２＋３－ｂ２２ａˑ３＝３２，整理得ａ２－ｂ２＋３＝３ａ，９分 又ａ＋ｂ＝２，解得ａ＝ｂ＝１，所以ＳәＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝１２ˑ１ˑ３ˑ１２＝３４１２分 １８．解：（１）由已知得ｘ＝６＋７＋８＋９＋１０５＝８，ｙ＝１０＋１２＋１１＋１２＋２０５＝１３，ð５ｉ＝１（ｘｉ－ｘ）２＝１０，ð５ｉ＝１（ｙｉ－ｙ）２＝６４，ð５ｉ＝１（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）＝２０，４分所以ｒ＝２０１０ˑ６４＝５２１０＝１０４ʈ０．７９１，因为｜ｒ｜ʈ０．７９１ɪ［０．７５，１］，说明ｙ与ｘ的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合ｙ与ｘ的关系，６分设线性回归方程为ｙɡ＝ｂɡｘ＋ａɡ，ʑｂɡ＝２０１０＝２，ａɡ＝ｙ－ｂɡｘ＝１３－１６＝－３，）页５共（页１第㊀案答学数科文三高则ｙ关于ｘ线性回归方程为ｙɡ＝２ｘ－３；７分 （２）由题可得２ˑ２列联表，喜欢不喜欢总计男７０３０１００女４０６０１００总计１１０９０２００９分㊀㊀Ｋ２＝２００ˑ（７０ˑ６０－４０ˑ３０）２１００ˑ１００ˑ１１０ˑ９０ʈ１８．１８２＞１０．８２８，ʑ有９９．９％的把握认为 游客是否喜欢该网红景点与性别有关联 ．１２分 １９．解：（１）ȵＳｎ＝２＋ａｎ＋１＝２＋（Ｓｎ＋１－Ｓｎ），ʑ２Ｓｎ＝Ｓｎ＋１＋２，３分 ʑＳｎ＋１－２＝２（Ｓｎ－２），Ｓ１－２＝１，Ｓｎ＋１－２Ｓｎ－２＝２，故数列｛Ｓｎ－２｝为等比数列，首项是Ｓ１－２＝１，公比为２．６分（２）由（１）可知Ｓｎ－２＝２ｎ－１，ʑＳｎ＝２ｎ－１＋２，ａｎ＋１＝Ｓｎ－２＝２ｎ－１，８分于是ｂｎ＝ａｎ＋２（ａｎ＋１＋１）（２Ｓｎ－３）＝２ｎ（２ｎ－１＋１）（２ｎ＋１）＝２（１２ｎ－１＋１－１２ｎ＋１），１０分 ʑＴｎ＝２（１２－１２ｎ＋１）＝１－２２ｎ＋１＜１．１２分 ２０．解：（１）由题意得ａ＝２，ｅ＝ｃａ＝３２，所以ｃ＝３，ｂ２＝ａ２－ｃ２＝１，所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２＝１．３分（２）（ⅰ）证明：设Ｐ（ｘ０，ｙ０），因为Ｐ在椭圆Ｃ上，所以ｘ２０４＋ｙ２０＝１．因为ｋＡＰ＝ｙ０ｘ０＋２，ｋＢＰ＝ｙ０ｘ０－２，所以直线ＢＰ的方程为ｙ＝ｙ０ｘ０－２（ｘ－２）．５分 所以Ｎ点的坐标为Ｎ（－６，－８ｙ０ｘ０－２）．ʑｋＡＮ＝－８ｙ０ｘ０－２－６＋２＝２ｙ０ｘ０－２．）页５共（页２第㊀案答学数科文三高ʑｋＡＰ㊃ｋＡＮ＝ｙ０ｘ０＋２㊃２ｙ０ｘ０－２＝２ｙ２０ｘ２０－４＝２（１－ｘ２０４）ｘ２０－４＝－１２．７分（ⅱ）Ｍ，Ｂ，Ｑ三点共线．设ｋＡＰ＝ｋ，易得Ｍ（－６，－４ｋ）．由（ⅰ）ｋＡＮ＝－１２ｋ，所以直线ＡＮ的方程为ｙ＝－１２ｋ（ｘ＋２）．８分 联立ｘ２＋４ｙ２－４＝０，ｘ＝－２ｋｙ－２，{可得（４＋４ｋ２）ｙ２＋８ｋｙ＝０．解得Ｑ点的纵坐标为－２ｋ１＋ｋ２，所以Ｑ点的坐标为Ｑ（２ｋ２－２１＋ｋ２，－２ｋ１＋ｋ２）．１０分所以，ｋＢＱ＝－２ｋ１＋ｋ２－０２ｋ２－２１＋ｋ２－２＝ｋ２，ｋＢＭ＝－４ｋ－０－６－２＝ｋ２．由于ｋＢＱ＝ｋＢＭ所以Ｍ，Ｂ，Ｑ三点共线．１２分２１．解：（１）ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ɕ），由已知可得ｆᶄ（ｘ）＝１－ａｘ２－ａ－１ｘ＝（ｘ＋１）（ｘ－ａ）ｘ２（ｘ＞０）．①若ａɤ０，则当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０恒成立，ʑｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增，与ｆ（ｘ）存在极值点矛盾，２分 ②若ａ＞０，则由ｆᶄ（ｘ）＝０得ｘ＝ａ，ʑ当ｘɪ（０，ａ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，当ｘɪ（ａ，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，ʑｆ（ｘ）在（０，ａ）内单调递减，在（ａ，＋ɕ）上单调递增，ʑｆ（ａ）＝ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ａ＋１－（ａ－１）ｌｎａ－２＝（ａ－１）（１－ｌｎａ）＝０，ʑａ＝１或ａ＝ｅ．４分（２）①当ａɤ１时，ｆᶄ（ｘ）ȡ０在［１，ｅ２］上恒成立，ʑｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上单调递增．ȵｆ（１）＝ａ－１ɤ０，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａｅ２－２ａ，当ａɤ０时，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａｅ２－２ａ＝ｅ２＋ａ（１ｅ２－２）＞０；当０＜ａɤ１时，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａｅ２－２ａ＞２ａ－２ａ＝２ａ（１－ａ）ȡ０．ʑｆ（ｅ２）＞０．ʑｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；６分）页５共（页３第㊀案答学数科文三高②当１＜ａ＜ｅ２时，ȵ当ｘɪ［１，ａ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０；当ｘɪ（ａ，ｅ２］时，ｆᶄ（ｘ）＞０，ʑｆ（ｘ）在［１，ａ）上单调递减，在（ａ，ｅ２］上单调递增，ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ａ）＝（ａ－１）（１－ｌｎａ）．当ａ＝ｅ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０，此时ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；当１＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＞０，此时ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上无零点；当ｅ＜ａ＜ｅ２时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＜０，ｆ（１）＝ａ－１＞０．则当ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａｅ２－２ａ＜０，即ｅ４２ｅ２－１＜ａ＜ｅ２时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；８分当ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａｅ２－２ａȡ０，即ｅ＜ａɤｅ４２ｅ２－１时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有２个零点；９分③当ａȡｅ２时，ｆᶄ（ｘ）ɤ０在［１，ｅ２］上恒成立，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上单调递减．ȵｆ（１）＝ａ－１＞０，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋（１ｅ２－２）ａɤｅ２＋（１ｅ２－２）ｅ２＝－ｅ２＋１＜０，ʑｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点，１１分综上，当１＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上无零点；当ａɤ１或ａ＝ｅ或ａ＞ｅ４２ｅ２－１时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；当ｅ＜ａɤｅ４２ｅ２－１时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有２个零点．１２分２２．解：（１）ȵ曲线Ｃ的参数方程为：ｘ＝３＋２２ｃｏｓαｙ＝２２ｓｉｎα{（α为参数），ʑ消去参数α可得，（ｘ－３）２＋ｙ２＝８，２分ȵ点Ｐ的极坐标为（２，π３），且ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｍθ，ʑ点Ｐ的直角坐标为Ｐ（１，３），４分将Ｐ（１，３）代入曲线Ｃ的普通方程的左边得（１－３）２＋（３）２＝７＜８，故Ｐ在曲线Ｃ内部．５分（２）ȵ直线ｌʒθ＝π３的极坐标方程对应的普通方程为：ｙ＝３ｘ，ʑＰ（１，３）在直线上，故可设直线ｌ的参数方程为ｘ＝１＋１２ｔｙ＝３＋３２ｔìîíïïïïïï（ｔ为参数），与曲线Ｃ的普通方程）页５共（页４第㊀案答学数科文三高（ｘ－３）２＋ｙ２＝８联立，化简整理可得，ｔ２＋ｔ－１＝０，Δ＝５＞０，设两根为ｔ１，ｔ２，由韦达定理可得，ｔ１＋ｔ２＝－１ｔ１ｔ２＝－１{，故１｜ＰＭ｜＋１｜ＰＮ｜＝１｜ｔ１｜＋１｜ｔ２｜＝（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２｜ｔ１ｔ２｜＝５．１０分 注意：本题用圆的极坐标方程来解同样给分！２３．（１）解：因为ａ＋４ａ２＝ａ２＋ａ２＋４ａ２ȡ３３ａ２ˑａ２ˑ４ａ２＝３，当且仅当 ａ＝２ 时等号成立，所以当ａ＝２时，ａ＋４ａ２的最小值为３．５分（２）证明：因为ｂｃａ＋ａｃｂȡ２ｂｃａ㊃ａｃｂ＝２ｃ，同理ａｃｂ＋ａｂｃȡ２ａ，ｂｃａ＋ａｂｃȡ２ｂ，８分 所以三式相加得２（ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂｃ）ȡ２（ａ＋ｂ＋ｃ），所以ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂｃȡａ＋ｂ＋ｃ，当且仅当 ａ＝ｂ＝ｃ 时等号成立．１０分）页５共（页５第㊀案答学数科文三高。

高中毕业文科数学参考答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. ；14. ；15.；16. .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.解：由三角形的面积公式可得……2分，由正弦定理可得，，；……5分，，，……7分，，，，，，，……9分，，周长．……12 分18.（1）由题知，，AB=8. ，…2 分平面平面，交线是，平面，，面，又平面平面平面. ……5 分(2) 过作交于，平面，……7 分= . ……12 分19.（1）p=60,q=40,x=100,y=100，……3 分(2)由得=,所以没有 99.9%把握认为注射此种疫苗有效. ……6 分(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为 3:2，故抽取的 5 只小白鼠中 3 只未注射疫苗，用a,b,c 表示,2 只已注射疫苗，用D,E 表示，从这五只小白鼠中随机抽取 3 只，可能的情况共有以下 10 种：（a,b,c）, （a,b,D）,（a,b,E）, （a, c,D）, （a, c,E）, （a ,D,E）, （b,c ,D）, （b,c,E）, （b,D,E）, （c, D,E）. ……8 分其中至少抽到 2 只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下 7 种：（a,b,c）,（a,b,D）, （a,b,E）, （a, c,D）, （a, c,E）（b,c ,D）, （b,c,E）……10分……12分所以至少抽到 2 只为未注射疫苗的小白鼠的概率为．20.(1) ,设直线l 方程为：x=my+1,和抛物线联立，得，设，，，，. ……2 分由题知，设，(1)即，，，,则R 是MN 的中点.……6分(2) 若R 是MN 的中点，则，=因此，R 在以AB 为直径的圆上……12 分21．解：，……2 分，当时，恒成立，在R 上单调递增，当时，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，综上所述，当时，在R 上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，6 分若函数的图像恒在函数的图像上方,即 h(x)>0 恒成立，即 .当时，恒成立，当时，由可得，.当时，由可得，.综上所述的取值范围为. ……12 分，22. （1）曲线 C1： ,把互化公式代入可得：曲线 C1 的极坐标方程为．设B（ρ，θ），则，则有．所以，曲线 C2 的极坐标方程为．……5 分（2）M 到射线的距离为，射线与曲线 C 交点, 其中，，1射线与曲线 C 交点, 其中，，2，则. ……10 分23（Ⅰ）当a =1时，不等式 f (x)> 6 可化为3x -1 + 2x - 2 > 6 ，2a5 ⎪5当 x < 1 时，不等式即1- 3x + 2 - 2x > 6,∴ x < - 3.3 5 当 1≤ x ≤ 1时，不等式即3x -1+ 2 - 2x > 6,∴ x ∈φ 3当 x > 1时，不等式即3x -1+ 2x - 2 > 6，∴ x > 95综上所述不等式的解集为⎧x x < - 3 或x > 9⎫ ；……5 分⎨ ⎬ ⎩⎭（Ⅱ）不等式 f (x 0 )+ 3x 0 > 4 + 2x 0 - 2 可化为 3x 0 - 2a + 3x 0 > 4⎧6x - 2a , x ≥ 2a 令 g (x )= 3x - 2a + 3x = ⎨3⎪2a , x < 2a ⎩ 3 所以函数 g (x )最小值为2a ，根据题意可得2a > 4 ，即a > 2 ，所以a 的取值范围为(2,+∞). ……10 分。

2013-2014学年度第一学期高三级数学科(文科)期中试题答案一、选择题：1-10：BABCD CDABD ；二、填空题： 11、]1,1[-；12、4；13、4；14、1；15、21； 三、解答题：16、解:(1)由图像知2A =,2284T T ωπ=⇒==,∴4ωπ=,得()2sin()4f x x ϕπ=+.……………4分，将最高点(1，2)代入，得1424ϕϕπππ⨯+=⇒=.……………5分∴()2sin()44f x x ππ=+;…………6分 (2)2sin()2sin[(2)]2sin()2cos()44444444y x x x x ππππππππ=++++=+++=sin()424x x πππ+=,……………9分∵2[6,]3x ∈--,∴3[,]426x πππ∈--,………………10分∴当46x ππ=-,即23x =-时,y 当4x π=-π,即4x =-时,y 的最小值-14分17.(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为51000.05=人. ………………2分 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d , 由51810d ⨯+=100, ………………5分 解得1d =.………………6分∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人,22人. ………………8分(2)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………12分18．解：(1)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形，所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又因为AB ∩AD ＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD . 连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD . 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD .于是由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1，又因为AA 2∩AC ＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝1021 300(cm 2)．又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形．所以S 2＝S四棱台下底面＋S 四棱台侧面＝(A 1B 1) 2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h 等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋20)132－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2 ＝1 120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1 300＋1 120＝2 420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2 420＝484(元)． 19. （本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．………2分 由||||MN NPMN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，…………………………………………………………4分化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………5分（2）解：由(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．…………………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．……………7分 当4m ≠时，直线AK的方程为4()4y x m m=--，即4(4)x m y m +--=．………………8分圆22(2)4x y +-=的圆心(0,2)到直线AK 的距离d=，令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切； 当1m >时，直线AK与圆22(2)4x y +-=相离．……………………………………14分 20（1）由n n n a a p a 212++⋅=，得nn n n a a p a a 112+++⋅=． ……………1分 令1n n na c a +=，则1c a =，1n n c pc +=．0≠a ，10c ∴≠，p c cnn =+1（非零常数）， ∴数列}{1nn a a+是等比数列． ……………………………………………………3分（2）数列{}n c 是首项为a ，公比为p 的等比数列，∴111n n n c c p a p --=⋅=⋅，即11n n naap a -+=． ……………………………4分当2n ≥时，230121121()()()1n n n n n n n a a aa a ap ap ap a a a -----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯23212n n n a p-+-=， ………………………………………………6分1a 满足上式， 2321*2,N n n n n a a pn -+-∴=∈． …………………………7分（3）12212211()()n n n n n n n n na a a ap ap a p a a a --++++=⋅=⨯=， ∴当1=a 时，212n n n nna b np pa -+==． …………………………………………8分 132112n n S p p n p -∴=⨯+⨯++⨯， ① 232121 1(1)n n n p S p n p n p -+=⨯++-⨯+⨯ ②∴当21p ≠，即1p ≠±时，①-②得：22132121212(1)(1)1n n n n n p p p S p p pnpnp p-++--=+++-=--， 即221222(1),1(1)1n n n p p np S p p p +-=-≠±--． …………………………11分 而当1p =时，(1)122n n n S n +=+++=， …………………………12分 当1p =-时，(1)(1)(2)()2n n n S n +=-+-++-=-．………………………13分综上所述，221222(1),1,2(1),1,2(1), 1.(1)1nn n n n p n n S p p p np p p p +⎧+=⎪⎪+⎪=-=-⎨⎪⎪--≠±⎪--⎩ ………………14分【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想．20. 解：（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=； 又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a =m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x mf x x x x==++， 设(),o o P x y ，则202020202)()2(||x m x x y x PQ ++=-+= m m m m m x m x 2||2222222220220+=+≥++=当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m（2）由()()120my f x k x k x x =-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，若0m >，11k m>-， 函数()y f xk x =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ；若0m <，11k m<-， 函数()y f xk x =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ； 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=, 11k m=-, 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； 当11k m >-(0m >)，或11k m<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=k k m x ；当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11.。

高三文科数学周练测试(三)参考答案10.9二、填空题三、解答题17．解：（I ）).32sin(22cos 32sin )(π+=+=x x x x f …………………………（4分）由题设，).(122,232Z k k a k a ∈+=+=+πππππ即 .12,0,0min π==>a k a 时则当 ………………………………………………（6分）（II ）当].1,21[)32sin(],67,3[32,]125,0[000-∈+∈+∈ππππx x x x 时 ].2,1[)(0-∈∴x f …………………………………………………………………（9分）由.12,221.2)(,02)(00≥-≤≤≤-∴==-m m mm x f x mf 或即得故m 的取值X 围是).,1[]2,(+∞⋃--∞…………………………………………（12分）18．解：设画面的高为xcm ，宽为xcm λ，则48402=x λ，设纸X 面积为S ，则有)10)(16(++=x x S λ…………………………（3分） 6760)58(10445000160)1016(2≥++=+++=λλλλx x ，当且仅当λλ58=时，即85=λ时，S 取最小值，此时，高cm x 884840==λ，宽cm x 558885=⨯=λ.…………………………（7分）如果]43,32[∈λ，则上述等号不能成立.现证函数)(λS 在]43,32[上单调递增.设433221≤<≤λλ,则)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S ，…………………………（10分）因为05885322121>-⇒>≥λλλλ，又021<-λλ，所以0)()(21<-λλS S ，故)(λS 在]43,32[上单调递增，因此对]43,32[∈λ，当32=λ时，)(λS 取得最小值. …………………………（14分）19．证明：（Ⅰ）在ABC ∆中由余弦定理得4=BC为直角三角形ABC ∆∴CB AC ⊥∴…………2分又.,1ABC AC ABC CC 面面⊂⊥1CC AC ⊥∴ .11B BCC AC 面⊥∴ B BCC BC 11面又⊂1BC AC ⊥∴…………4分（Ⅱ）连结B 1C 交于BC 1于E ，则E 为BC 1的中点，连结DE则在11//,AC DE ABC 中∆…………6分又CD B AC CDB DE 111//,面则面⊂…………9分（Ⅲ）在ABC ∆中过C 做.F AB CF 垂足为⊥⊥11A ABB 由面面ABC 知CF ⊥面ABB 1A 1 …………11分1111DB A C CD B A V V --=∴而1021452111111=⨯⨯=⋅=∆AA B A S B DA 512543=⨯=⋅=AB BC AC CF8512103111=⨯⨯=∴-CD B A V …………14分20．解：（Ⅰ）由()2()ax f x bx f x ⋅=+，a x 1≠，0≠a ，得12)(-=ax bxx f .………1分 由1)1(=f ，得12+=b a .……………………………………………………………2分由x x f 2)(=只有一解，即x ax bx 212=-，也就是)0(0)1(222≠=+-a x b ax 只有一解， ∴0024)1(42=⨯⨯-+a b∴1-=b .…………………………………………………………………………………3分∴1-=a .故12)(+=x xx f .……………………………………………………………4分（Ⅱ）∵321=a ，)(1n n a f a =+，∴121+=+n n n a a a ………………………… 5分∴nn n a a a 2111+=+……………………………………………………………6分)11(21111-=-+n n a a ∴}11{1-+n a 是以111-a =21为首项，21为公比的等比数列 ∴有122+=n nn a ………………………8分∵*)(21121211N n a b n nn n n ∈=-+=-=，∴*)(211N n b b n n ∈=+ ∴{}n b 是首项为21，公比为21的等比数列，其通项公式为n n b 21=.……………10分（Ⅲ）∵12112211)11(+=+-=-=-=nn n n n n n n a a a b a ， ∴121121121212211++++++=+++nn n b a b a b a …………………………12分 *1211(1)11112211()1222212n n n n N -<+++==-<∈-.……………………………15分21．解：（1）,0)0(=f0=∴d21,0)1('21)('2=+=+-=∴c a f c x ax x f 有及021,0)('2≥+-≥c x ax R x f 即上恒成立在 恒成立 即021212≥-+-a x ax 恒成立……………………2分 显然0=a 时，上式不能恒成立a x ax x f a -+-='≠∴2121)(,02函数是二次函数由于对一切,0)(,≥'∈x f R x 都有于是由二次函数的性质可得⎪⎩⎪⎨⎧≤--->.0)21(4)21(,02a a a 41:0)41(,0016121,022=⎪⎩⎪⎨⎧≤->⎪⎩⎪⎨⎧≤+->a a a a a a 解得即 41==c a ………………………………4分 （2）.41==c a.412141)(2+-='∴x x x f041243412141,0)()(22<-+-++-<+'∴b bx x x x x h x f 即由即0)21)((,02)21(2<--<++-x b x b x b x 即………………6分当)21,(,21),,21(,21b b b b 解集为时当解集为时<>当ϕ解集为时,21=b ……………………………………8分（3）,41==c a412141)(2+-='∴x x x f.41)21(41)()(2++-=-'=∴x m x mx x f x g该函数图象开口向上，且对称轴为.12+=m x假设存在实数m 使函数41)21(41)()(2++-=-'=x m x mx x f x g 区间]2.[+m m上有最小值－5.①当]2,[)(,12,1+<+-<n m x g m m m 在区间函数时上是递增的..541)21(41,5)(2-=++--=∴m m m m g 即解得.373=-=m m 或,137-> 37=∴m 舍去.………………10分②当]12,[)(,212,11++<+≤<≤-m m x g m m m m 在区间函数时上是递减的， 而在区间]2,12[++m m 上是递增的，.5)12(-=+∴m g即541)12)(21()12(412-=+++-+m m m 解得均应舍去或,212121212121+-=--=m m ………………12分③当1≥m 时，]2,[)(,212++≥+m m x g m m 在区间函数上递减的5)2(-=+∴m g即.541)2)(21()2(412-=+++-+m m m 解得221.221221--+---=m m m 其中或应舍去. 综上可得，当2213+-=-=m m 或时，函数.5]2,[)()(-+-'=上有最小值在区间m m mx x f x g ………………15分。