4.1 有界线性算子

1 第4章 线性算子与线性泛函

4.1 有界线性算子

4.1.1 线性算子与线性泛函

算子概念起源于运算。例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。在泛函分析中，通常把映射称为算子，而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数，简称为泛函。本章着重考察赋范线性空间上的线性算子，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。

定义4.1.1 设F是实数域或复数域，,XY是F上的两个线性空间，D是X的线性子空间，:TDY是一个映射.

对xD，记x经T映射后的象为 Tx 或 ()Tx. 若对,xyD及数,F, 有

()()()TxyTxTy（或 TxTy） (4.1.1)

则称T是线性算子.

称D是T的定义域，记为()TD;

称集(){}TDTxxD（或TD）为T的值域（或象域），记为()TR.

取值为实数或复数的线性算子T（即：()TFR, 1FR或1C）分别称为实的或复的线性泛函，统称为线性泛函。

注 今后所讨论的算子（泛函）都是线性算子（线性泛函）。

例4.1.1 设1[0,1],[0,1]XCYB([0,1]上有界函数全体)，定义

d()()()dTxtxtt,

则T是X到Y的线性算子。

例4.1.2 设[,]XCab，(,)Kts是[,][,]abab上的二元连续函数，定义

()()(,)()dbaTxtKtsxss, 2 则T是X到X的线性算子。

例4.1.3 设[,]XCab，定义

()dbaTxxtt,

则T是X上的线性泛函。

定义4.1.2 设12,TT是X到Y的线性算子，它们的定义域分别是12(),()TTDD.

(1) 对任一数, 定义算子1T：它以1()TD为定义域，而对任何1()xTD,

11()()TxTx. (4.1.2)

(2) 定义算子12TT:它以12()()TTDD为定义域，而对任何12()()xTTDD,

1212()TTxTxTx. (4.1.3)

(3) 设3T是以1()TD为定义域的Y到Z的线性算子, 定义算子31TT(也记作31TT):

它以131(),()DxTxTxTDD为定义域，而对任何xD,

3131()()TTxTTx. (4.1.4)

注 易知1T (称T1的倍), 12TT(称T1与T2的和), 31TT(称T3与T1的积)仍是线性算子。

定义4.1.3 设T是以()TD为定义域的X到Y的线性算子. 若从0x(()xTD)可推出0Tx, 即T是单射, 则T有逆映射1:T

1()TTxx. (4.1.5)

1T是一个以()()TTxxTRD为定义域的线性算子， 称1T为T的逆算子。

设T是X到X的线性算子. 如果对任何xX, 有

Txx, (4.1.6)

则称T是X的单位算子, 或恒等算子, 常用XI表示, 或简记为I.

注 1T为T的逆算子当且仅当 3 11()(),TTTTITTIDR (4.1.7)

4.1.2 线性算子的有界性和连续性

定理4.1.1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子。若T在某一点0()xTD连续，则T在()TD上处处连续。

证 (自证！)

注 要验证线性算子T是连续的，只要验证T在0x点连续就可以了。

定义4.1.4 若算子T将其定义域()TD中的每个有界集都映射成一个有界集，则称T是有界算子。不是有界的算子就称为无界算子。

注 通常我们说一个线性算子T是X到Y的算子是指()TXD.

定理4.1.2 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子，则T是有界算子的充要条件是：存在常数0M，使得对一切xX，有

TxMx. (4.1.8)

证 “”设T是有界线性算子，则T把单位球面

{1,}SyyyX

映射成Y中的一个有界集。

因此存在常数0M，对一切yS，都有TyM.

当0x时，(4.1.8)自然成立。

当0x时，作xx，则由xSx得：

TxxTMxx 即 TxMx.

因而(4.1.8)对一切xX都成立。

“” 若(4.1.8)成立。

设AX是一个有界集，则存在常数0K，使得当xA时，xK.

因此，由(4.1.8)得：对一切xA，有TxMK，即TA是有界集。证毕！ 4 注 如无特殊说明，有界线性算子T的定义域()TD总假定是全空间X，即()TXD. 因此，对赋范线性空间上的线性算子，以后可以用(4.1.8)作为有界性的定义。

定义4.1.5 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子，称

0sup()xTxTxXx (4.1.9)

为算子T的范数。

注 由定理4.1.6立得：有界线性算子的范数是有限的。

命题4.1.1 对有界线性算子T，有

(1) ()TxTxxX; (4.1.10)

(2)

11supsup()xxTTxTxxX. (4.1.11)

证 (1) 因为T是有界线性算子，所以由定理4.1.1得：存在常数0M，使得对一切xX，有TxMx, 于是TxMx.

再考虑到0supxTxTx，得TxTx，即TxTx.

(2) 一方面，显然11supsupxxTTxTx.

另一方面，对(0)yX，因为1yy，所以1supxTyyTTxyy，故

01supsupyxTyTxy，即：1supxTTx.

于是

11supsupxxTTxTx.

证毕！

注 当TI（单位算子）时，1I.

称Txx为T在x方向的伸张系数，T的几何意义是一切方向伸张系数的上确界。

一般说来，求出具体算子的范数的值并不容易。

5 例4.1.4 设赋范线性空间[,],[,]LabCab上的范数分别记为

[,]()d([,]),max()([,])bLCatabffttfLabggtgCab,

定义[,]Lab到[,]Cab的算子T：对[,]fLab，

()()()dxaTfxftt, (4.1.12)

则1T.

证 [,]fLab，使1Lf. 因为

[,][,][,]max()()max()dmax()d()d1,xCaxabxabxbLaaxabTfTfxfttfttfttf

即1sup1LCfTTf.

另一方面，取00011()[,],()dd1bbLaaftLabfftttbaba，则又有

000[,][,]1[,]supmax()()max()d11maxdd1,LxCCaxabxabfxbaaxabTTfTfTfxfttttbaba

即1T. 综上所述，有1T.

定理4.1.3 设,XY是赋范线性空间，:TXY是线性算子，则T是有界的充要条件是T是连续的。

证 (自证！)

4.1.3 有界线性算子

定义4.1.6 设X和Y是两个线性空间，()XY表示由X到Y的线性算子的全体,即

(){}XYTTXY是到的线性算子.

当,()ABXY，是数时，对xX，规定

(),()()ABxAxBxAxAx, (4.1.13)

并称AB为算子A与B的和；A为数与算子A的积. ()XY按上述线性运算构成 6 一个线性空间。

定理4.1.4 设X和Y是两个赋范线性空间，()XYB表示由X到Y的有界线性算子的全体, 即

(){}XYTTXY是到的有界线性算子B.

若,()ABXYB，则

(),()ABXYAXYBB，

且()XYB按线性运算(4.1.13)构成一个线性空间。

若以(4.1.9)定义的算子范数作为范数

011supsupsup()xxxTxTTxTxxXx, (4.1.14)

则()XYB是一个赋范线性空间。

定义4.1.7 设X是赋范线性空间，X上的连续线性范函全体记做*X, 即

*XffX是上的连续线性泛函，

它按通常的线性运算：当*,fgX，是数时，对xX，规定

()()()(),()()()fgxfxgxfxfx; (4.1.15)

及泛函的范数

011()supsup()sup()()xxxfxffxfxxXx, (4.1.16)

成为一个赋范线性空间，称为X的共轭空间。

注 由定理4.1.4知：若*fX，则f一定有界；

于是*()XXYB, 其中1YR或1C.

4.1.4 算子序列的收敛性

在经典分析中，一列函数的收敛性常常用到的是处处收敛和一致收敛的概念。由于所考察的问题的需要，不同场合采用不同的收敛概念。对于算子序列类似于函数列的一致收敛和处处收敛，也常常用到下面几种形式的收敛性。 7 定义4.1.8 设X和Y都是赋范线性空间，若,()(1,2,)nAAXYnB，且

0()nAAn, (4.1.17)

则称序列{}nA按算子范数收敛于A，或一致收敛于A.

若对每个xX，都有

()0()nAAxn (4.1.18)

则称序列{}nA强收敛于A，记作

nAA强 或 ()limnnAA强 或 ()limnnASA.

若对每个xX以及*fY，都有

()()()nfAxfAxn (4.1.19)

则称序列{}nA弱收敛于A，记作

nAA弱 或 ()limnnAA弱 或 ()limnnAWA.

注 若序列{}nA一致收敛于A，则{}nA必强收敛于A；

若序列{}nA强收敛于A，则{}nA必弱收敛于A；

下面的例子说明：它们的逆命题一般不正确。