第6讲幂函数

幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。

幂函数与复合函数知识讲解一、幂函数的定义定义：一般地，形如()R y x αα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．二、幂函数的图象函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=的图象：y x = 2y x = 3y x =12y x =1y x -=定义域 R RR [0,)+∞ (0)(0)-∞+∞U ，， 值域 R[0,)+∞R[0,)+∞(0)(0)-∞+∞U ，，奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性单调递增在(0]-∞，上减 单调递增单调递增在(0)-∞，和-1-111y=xy=x 3y=x 2y=xy=1x yxO三、幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0)+∞，都有定义，并且图象都通过点(11)，； （2）0a >时，幂函数的图象通过原点，并且在[0)+∞，上是增函数； （3）0a <时，①幂函数在(0,)+∞上是减函数；②在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． （6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （7）幂函数nmy x =奇偶性①当n 为偶数时，nm y x =为偶函数；②当n 为奇数，m 为奇数时，nm y x =为奇函数； ③当n 为奇数，m 为偶数时，n m y x =为非奇非偶函数．特别地：幂函数n y x =（Z n ∈），当n 为偶数时，n y x =为偶函数；当n 为奇数时，ny x =为奇函数．四、复合函数1.定义：如果y 是u 的函数，记为()y f u =，u 又是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则确定了一个y 关于x 的函数(())y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．2.性质：①单调性：同增异减；②奇偶性注：研究复合函数的性质时，要时刻注意函数的定义域．3.复合函数2()log ()(01)m f x ax bx c m m =++>≠， ①若()f x 的定义域为R ，试探究a ，b ，c 应满足的条件：2040a b ac >⎧⎨∆=-<⎩或000a b c =⎧⎪=⎨⎪>⎩ ②若()f x 的值域为R ，试探究a ，b ，c 应满足的条件:2040a b ac >⎧⎨∆=-≥⎩或00a b =⎧⎨≠⎩经典例题一．选择题（共21小题）1．（2017秋•沈阳期末）幂函数的图象经过点(3，√33)，则f （2）的值等于（ ）A ．4B ．14C ．√2D ．√222．（2018春•东湖区校级期末）已知幂函数f （x ）的图象过点（4，12），则f （8）的值为（ ）A ．√24 B ．64 C ．2√2 D ．1643．（2016秋•雅安期末）已知幂函数y=f （x ）过点（2，8），则f （3）=（ ） A ．27 B ．9C ．8D ．44．（2016秋•唐山期末）已知幂函数f （x ）=λ•x α的图象过点P(12，√22)，则λ+α=（ ） A ．2B ．1C ．32D ．125．（2016秋•峨山县校级期末）函数y =√x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2017秋•雁塔区校级期中）如图是①y=x a ；②y=x b ；③y=x c ，在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b 7．（2017春•长汀县校级月考）已知幂函数f （x ）=k•x α的图象经过点（12，√22），则k ﹣α=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．（2016秋•淄川区校级期中）幂函数y=x m ，y=x n ，y=x p 的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．m ＞n ＞pB ．m ＞p ＞nC ．n ＞p ＞mD ．p ＞n ＞m9．（2017秋•平坝县校级期中）如图：曲线C 1与C 2分别是y=x m ，y=x n 在第一象限的图象，则（ ）A ．n ＜m ＜0B ．m ＜n ＜0C ．n ＞m ＞0D ．m ＞n ＞010．（2017秋•集宁区校级期中）幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m 2−2m−3，当x ∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．m=2B ．m=﹣1C ．m=﹣1或2D ．m ≠1±√5211．（2016秋•廊坊期末）幂函数f （x ）=（m 2﹣2m +1）x 2m ﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．1或212．（2017春•历下区校级期末）幂函数f （x ）=（m 2﹣4m +4）x m 2−6m+8在（0，+∞）为减函数，则m 的值为（ ） A ．1或3 B ．1C ．3D ．213．（2017春•兴庆区校级期末）设a ∈{﹣2，﹣1，﹣12，13，12，1，2，3}，则使函数f （x ）=x a 为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．（2015春•兴庆区校级期末）幂函数的图象过点（2，14），则它的单调增区间是（ ）A ．（0，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，+∞）D ．（﹣∞，0）15．（2014秋•河南期末）若幂函数y=x m 是偶函数，且x ∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值可能为（ ）A ．12B ．−12 C ．﹣2 D ．216．（2015秋•龙海市校级期中）函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x 2m ﹣3是幂函数，且在x ∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．517．（2015秋•内江校级月考）已知函数f （x ）=x α，α∈{﹣1，12，1，2，3}，若f （x ）是区间（﹣∞，+∞）上的增函数，则α的所有可能取值为（ ）A．{1，3}B．{12，1，2，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，12，1，2}18．（2014秋•沙坪坝区校级期中）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）19．（2014秋•乐陵市校级期中）若幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数，则α一定（）A．α＞0B．α＜0C．α＞1D．不确定20．（2013秋•望江县校级期中）若(2m+1)12＞(m2+m−1)12，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，−√5−12]B．[√5−12，+∞）C．（﹣1，2）D．[√5−12，2）21．（2013春•大足县校级月考）下列结论正确的是（）A．幂函数的图象一定过原点B．当α＜0时，幂函数y=xα是减函数C．当α＞0时，幂函数y=xα是增函数D．函数y=x2既是二次函数，也是幂函数。

高中数学幂函数知识点形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

下面小编给大家分享一些高中数学幂函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学幂函数知识点定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

讲解稿研究性学习课题：幂函数的图像和性质之实验模版都说成长是一次次放手的过程，数学教学其实原本就不该是教师“说了算”，“授人以鱼不如授人以渔”，让学生自己去体验，哪怕结果不甚理想，至少他们体验了自己摸索的过程。

多媒体不应该是仅仅展示在学生面前的“鱼”，象几何画板这样的软件应当成为学生学习数学的良师益友，希望通过一个研究性课题，建立一个研究问题的模版，尝试让学生自己去“渔”。

随着计算机的普及，学生对计算机毫不陌生，花在计算机上的时间实在不少，但是利用计算机学习却往往无从着手。

实现学习方式的变革是培养学生探究精神，提高学习效率的途径之一。

计算机介入教学已经非常普遍，但往往局限于教师利用多媒体向学生展示自己的研究过程和结果，学生自己利用计算机分析问题和解决问题则少之又少。

研究性学习是学生在教师指导下从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，借助软件平台和模版更加有利于学生在研究过程中主动获得知识、应用知识、解决问题。

在研究性学习的过程中，学生要经历一个“设疑——析疑——解疑——质疑”的过程，有了计算机辅助他们经历这个过程，显然让一切变得更加容易操作。

这种借助计算机探究学习方式有助于克服学生思维的单向性，能引导学生综合运用知识，培养学生合理充分利用信息技术，提出问题并科学地研究问题的能力，发展学生的创造力。

通过教材，我们知道形如y xα=（α为常数）的函数，被称为幂函数。

而α（α为有理数）可以表示为nm（m为整数，n为整数，m与n互质）。

关于幂函数，有几个问题需要启发学生来关注：1. 几种常见的幂函数图像和性质如何？2. 根据定义域以及函数性质的不同，可以将y xα=（α为常数）分成几类来研究？3. 某种分类下图像各自具有的性质特征是如何的？4. 你有其他的分类方式吗？结果又是如何的？这是需要大家去分析思考的研究性学习的课题，借助多媒体课件可以安排一个数学实验，为了方便学生探究好这些问题，我提供一个设计好的研究平台，这样才能做“有米之炊”。

高三数学 幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像 知识精讲一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质 （1）定义形如y x a =（a 是常数，a R ∈）的函数叫做幂函数，定义域是使x a有意义的x 的取值范围。

（2）图像和性质①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。

②a =1312123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，+∞上是增函数。

③a =---2112，，时幂函数图像不过原点且在[)0，+∞上是减函数。

④任何两个幂函数最多有三个公共点。

二、函数的最值1. 值域与最值值域的概念：即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合{|()}}y y f x x A =∈，，值域是函数值的变化区域。

函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。

因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。

2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法（1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。

（2）逆求法：通过反解x ，把x 用含有y 的式子表示出来，使含有y 的式子有意义，求出y 的范围，其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来，并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。

（3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

（4）判别式法：把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。

（5）基本不等式法：利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥，≥233()a b c R ，，∈+可以求函数y 的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。

幂函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、幂函数的定义一般地，函数()y x R αα=∈叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x .二、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当11,2,3,,12α=-时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.三、幂函数的性质当0α>时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是增函数，当1α>时，函数图像是向下凸的；当01α<<时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是减函数.幂函数y x α=的图像恒过点(1,1).题型归纳及思路提示题型1 幂函数的定义及其图像思路提示确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.例2.68函数2223()(1)a a f x a a x --=--为幂函数（a 为常数），且在(0,)+∞上是减函数，则a =______. 分析根据幂函数的定义及单调性求解a .解析依题意，得2211230a a a a ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，解得2a =. 变式1 函数32204(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.变式2 幂函数()y f x =的图像经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是______.. 变式3 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=为奇函数且定义域为R 的所有α的值为（ ） .1,3A .1,1B - .1,3C - .1,1,3D -题型2 幂函数性质的综合应用思路提示紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.例2.69已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求满足33(1)(32)mma a --+<-的a 的取值范围.分析利用函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数且为偶函数求m ，从而得到()f x 的解析式.解析（1）因为幂函数在区间(0,)+∞上是减函数，所以2230m m --<得 13,m m Z -<<∈又，当0m =时，2233m m --=-；当1m =时，2234m m --=-；当2m =时，2233m m --=-.又因为()f x 为偶函数，所以4()f x x -=.（2）由1m =得1133(1)(32)a a --+<-. 即113311132a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭又13y x =在R 上单调递增，故11132a a <+-，整理得 (1)(32)(23)0a a a +--<，解得23132a a <-<<或，如图所示.故a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-. 评注突破点为由单调性得m 的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.变式1 已知函数2()f x x =，设函数[]()()(21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.最有效训练题1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是增函数的是（ ）43.A y x =32.B y x = 2.C y x -= 14.D y x = 2.幂函数2232()m m y x m Z --=∈的图像如图2-20所示，则m 的值为（ ）.1A .2B .3C.4D3.幂函数()f x 的图像经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程为（ ） .4410A x y ++= .4410B x y -+= .20C x y -=.20D x y += 4.若幂函数()f x 的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭则其定义域为（ ）{}.,0A x x R x ∈> {}.,0B x x R x ∈< {}.,0C x x R x ∈≠ .D R 5.设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） .Aa c b >>.B a b c >> .C c a b >> .Db c a >> 6.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值的个数为（ ） .1A .2B .3C .4D7.已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(8)f 的值为_______.8.已知幂函数265()()m m f x x m Z -+=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x 的解析式为32 231- 图 2-19_______.9.已知函数12()f x x =，且(21)(3)f x f x -<，则x 的取值范围是_______.10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<，若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为_______.11.已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1()1x f x >>则；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 其中，所有正确命题的序号是_______.12.点在幂函数()f x 的图像上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图像上，问当x 为何值时有： (1)()()(2)()()(3)()()f xg x f x g x f x g x >=<。

（一）关于幂函数1. 幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。

①在这里我们只讨论a是有理数时的简单的幂函数。

②掌握幂函数的关键一定要明确“形如的函数”这句话的重要作用。

函数“”等都是幂函数，而象“”等就不是幂函数。

足见幂函数对格式要求之严格。

③对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同：（1）当指数n是正整数时，定义域是R。

（2）当指数n是正分数时，设（p,q是互质的正整数，q>1），则。

如果q是奇数，定义域是R；如果q是偶数，定义域是[0,＋∞)。

（3）当指数n是负整数时，设显然x不能为零，所以定义域是（4）当指数n是负分数时，设（p,q是互质的正整数，q>1），则。

如果q是奇数，定义域是；如果q是偶数，定义域是（0,＋∞）。

2. 幂函数的图象与性质幂函数部分的内容是学习的难点，要突破这个难点，关键是如何快速地画出能基本反映幂函数图象特征的草图，因为有了草图，有关幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然，而且也有利于培养、形成数形结合的思维习惯。

（1）第一象限内图象规律总结（结合图形）：①n>1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，下凸递增。

②n＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。

③0<n<1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，上凸递增。

④n＝0时，变形为y＝1(x≠0)，平行于x轴的射线。

⑤n<0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。

通过观察图象，我们还可以发现：在直线x＝1的右侧，各种幂函数的图象随着指数n的增大从下向上排列；且直线y＝1和y＝x把第一象限内直线x＝1右侧部分分成3个部分，n<0的幂函数的图象都在①号部分里，0<n<1的幂函数图象都在②号部分里，n>1的图象都在③号部分里，分布得相当有规律。

在直线x＝1的左侧，同样有类似的规律，同学们可以自己发现。