整群抽样
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第六章 整群抽样一、作业要求：对整群抽样的复习资料整理 二、小组成员：三、作业内容：关于整群抽样的概念、估计量的构造以及群内相关系数的构造及证明，并附有例题。
整群抽样的概念、估计量的构造整群抽样的概念若总体可分为N 个初级单元（称为群），每个初级单元包含若干次级单元。
按照某种方式从总体中抽取n 个初级单元，对这些单元中所有次级单元全部进行调查。
这种抽样方法称为整群抽样。
应用整群抽样时，要求各群有较好的代表性，即群内各单位的差异要大，群间差异要小。
整群抽样的特点1） 抽样框的编制简单 2） 实施便利，节省费用 3） 抽样误差相对比较大些整群抽样的研究（从目标量的估计方面）第一种途径：将整群抽样看作二阶抽样，第二级的组内抽样为普查。
因而组内估计量有i i G g =,而相应的均方偏差02=i σ。
第二种途径：将进行普查的单元看作基本单元，单级对}{KG G G ,...,,21进行抽样调查。
整群抽样估计量的构造现在将整群抽样看作是二阶抽样的特例，在第一阶抽样后，对抽中的第一阶样本单元进行普查。
假定第一阶抽中的号码为k θθ,...,1，在i θ第一阶样本单元普查到的指标数为{}ii i N Y Yθθ,...,1。
⑴ 对简单随机抽样的整群抽样（第一阶段采用简单随机抽样），对总体总数Y 的估计有:① Y 的无偏估计：∑∑===k Nj C S E iY k Y 1i 1j ^i K θθ② CSEY ˆ的均方偏差： ∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛K1i 21j 2^K -1-K 1K -1K i N ij CSE Y Y k k Y V ③)ˆ(CSEY V 的一个无偏估计： 2112)ˆ(11)1()ˆ(∑∑==---=ki CSE N j jCSE K Y Y k K k kK Y v ji i θθ◆第一阶段采用简单随机抽样，第二阶段为普查Yˆ ∑=k i i Y k K 11θ ∑∑==k i Nj j iiY k K 11θθ()CSEY V ˆ = 2211w S K k k K ⎪⎭⎫ ⎝⎛- = 21121111∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-K i N j ij i K Y Y K K k k K()CSEY v ˆ = 2211w s K k k K ⎪⎭⎫ ⎝⎛- = 2112ˆ1111∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-ki N j CSE j i iK Y Y k K k k K θθ第一阶段简单随第二阶段普查 目标量与估计量相等 简单随抽样部分总量估计组内方差样本方差⑵ 对有放回PPS 整群抽样的整群抽样（第一阶段采用PPS ），对总体总数Y 的估计有:① Y 的无偏估计：∑∑===k Nj CPPSi i Y p k Y 1i 1j ^)(11i θθθ ② CPPS Y ˆ的均方偏差：∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛K 1i 21j ^Y -11iN ij ii CPPS Y p p k Y V③)ˆ(CSEY V 的一个无偏估计： ∑∑==--=ki N j C P P S jC P P SiiiY Y p k k Y v 121)ˆ1()1(1)ˆ(θθθ◆第一阶段采用有放回PPS 抽样，第二阶段为普查Y ˆ ∑=k i i i g p k 111θθ ∑∑==kNj i i Y p k 1i 1j )(11i θθθ21K1i 21j ^11Y -11i Ki iN ij ii CPPS p KY p p k Y V iσ∑∑∑===+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛K 1i 21j Y -11iN ij ii Y p p k∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=ki CPPS i CPPSY p g k k Y v i 12ˆ)1(11)ˆ(θ=211ˆ1)1(1∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k i N j CPPS j ii i Y Y p k k θθθ第一阶段有放回PPS 抽样 第二阶段普查 普查02=i σ第一阶段有效放回PPS 抽样个体总量有放回PPS 抽样部分有关符号的涵义： 总体样本第i 群的个体均值NY Y ii =群均值KYY Ki i∑==1个体均值NYY =方差∑∑==--=K i Nj ij Y Y KN S 1122)(11群间方差212)(1Y Y K N S Ki i b --=∑=群内方差2112)()1(1∑∑==--=K i Nj i ij Y y N K S ωNy y ii =kyy ki i∑==1Ny y =2112)(11y y kN s k i Nj ij --=∑∑== 212)(1y y k N s ki i b--=∑= 2112)()1(1i K i Nj ij y y N k s --=∑∑==ω K 为总体群数；N 为各群所含次级单元数；ij y 为第i 群中第j 个次级单元的观则值；),,...3,2,1;,...,3,2,1(N j K i ==KN 为总体所含次级单元总数；kN 为样本所含次级单元总数；整群抽样群内相关系数1、整群抽样群内相关系数的计算公式：其中：k 为第一级抽样单元的总数； i 为代表第i 个第一级抽样单元；i N 为第i 个第一级抽样单元内的第二级抽样单元的总数；Y 为所有抽样单元的平均值；ij Y 代表第i 个第一级抽样单元内的第j 个第二级抽样单元。
考虑列其中有如下特殊情形：⑴、每一单元内的第二级抽样单元数量相等，即021...N N N N K ====()()()()()()∑∑===≠----=--∑∑-∑-=∑∑∑∑∑====≠Ki N j ijKi N lj il N ij Y Y N Y Y Y Y C YNY S N N YY Y Y ki N j ij Ki N lj il N ij 1120110001012011)1)(1(其中ρ()();)1)(1(20100S N N Y Y Y Y C Ki N lj il N ij --=∑∑-∑-∴=≠ρ()()()()∑∑∑∑∑===≠=----Nij i j i Ki Ni i l Nii j K i Y Y N Y Y Y Y C 121j 11ιρ()[]C N S N C w N S N N N S N N S K ρρ)1(1)1)(1(1)1(11012022202202-+=--+-=--）（[]2220)1(1)1(1S N N S K N w C --=-+）（其中ρ⑵、当群内各单元指标均相等，即()l j Y Y ij il≠=()()()()达最大值故12=-=--C ij il ijP YY Y Y Y Y⑶、C ρ还有其他的表达式：()()()221S 1K -1s 112202220sS N KN SN S S K N C 内内内外-≈-==---ρ()();)1(11202021120总方差的分解式）其中（→-+-=-=-∑∑==b w Ki N j ij KS N S K N Y Y S N()()()()()∑∑∑∑∑∑∑≠======--+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=-lj il ijKi K i N j ijKi N j ij Ki i w Y Y Y YN Y YN Y Y N Y Y S K 120121212120212111100）（2、 (1)设k ：第一级抽样单元的个数；i N ：第i 个单元内第二级抽样单元的个数∑∑===k 1i 1j ij 01N Y N Y则群内相关系数：()()()()()()()∑∑∑∑∑==≠=-==k 1i 1h 2ih 0lj il ij k1i 002ihilij00-k 1--11k1---N N N CY Y N Y Y Y Y N N Y Y E Y Y Y Y E ρ(2) 对简单随机抽样的整群抽样（第一阶段采用简单随机抽样），对总体总数Y 的估计有:∑∑===k N C S E Y k Y 1i 1j ij ^K :Y 总体总数 ()()()()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=≠=======⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=−−−−−←⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛K 1i l j il ij 1j 2ij K1i 21j ij K1i 21j ij K1i 21j ij 2^00---K Y -k K K -KK -1-K 1K -1K N N N N K N N CSE Y Y Y Y Y Y k Y Y Y k Y Y k k Y V 足够大时当[]()2K1i 1j ij2K 1i 1j ij 02y2002^0^-K-11K 1K 11∑∑∑∑=====≈-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−−−←⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛N N N Y YYkY Y N k kN N S N kN N Y VDeff =()()()()11---10K 1i 1j 2ij lj ilijK1i ^^000-+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑==≠=N Y Y Y Y Y Y Y V Y V C N N N CSE ρ由公式可知：整群抽样的设计效应，当群内相关系数C ρ较大，群内单元个数0N 较多时，估计的精度小于简单随机抽样。
3、例题1：调查一片荒地上蝗蝻的数量，以一平米为单位进行调查，计算蝗蝻数，该荒地有5000平方米，现为方便调查，将其划分为每10平方米一块的地块，从500个地块中简单随机地抽取20个作为一级样本单元，然后对抽中的地块调查每一平方米的蝗蝻数，作整群抽样。
每一块地有十个二级抽样单元，调查所得全部数据列于表6.1，以此估计整块荒地蝗蝻数。
（表见书P126）解：根据资料计算∑==101j i i j Y Y θθ，i=1,2 (20)得下表中得各数值：1θY2θY3θY4θY5θY6θY7θY8θY9θY10θY11θY12θY13θY14θY15θY16θY17θY18θY19θY20θY153 197 205 214 288 256 250 221 173 112 246 228 102 141 101 197 178 104 9249∑∑∑=====20111^20500ii N j jki CSEiiY Y kK Y θθθ()8780049 (19715320)500=+++=故每平方米平均有蝗蝻数的估计为NY Y CSE^^==87800/5000=17.56 这一估计的均方偏差的估计为∑=---=ki CSE CSE KY Y k K k K N K Y v N i 12^22^2)(11)1()(1θ ()()[]065.26.17549...6.1751531915002012015000500222=-++-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛=根据这批样本值，可计算这批样本的群内相关系数∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑========≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2011012^2012011012^101^2011012^1010^^201^9)()110()(i j j i i j j j j i j j l i l j i C Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y P i i i i i i θθθθθθ =0.37以此作为这一总体的的群内相关系数。
