图形与变换
一．知识要点：
几何变换是将一个几何图形变换成另一个几何图形的方法, 如果只改变图形的位置关系而不改变图形的形状和大小, 这种变换叫做合同变换。
常见的合同变换有平移变换、对称变换、旋转变换.
几何变换的目的主要是把分散的条件集中在一个易于联系的图形中.
在坐标平面上图形变换可以归结为图形上的点的变换
1．常见的平移有：平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.
2．涉及到“对称”均可考虑对称变换. 如沿等腰三角形的底边上的高翻折，沿角的平分线翻折等.
3．常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60o，绕正方形的一个顶点旋转90o、绕等腰三角形的顶点旋转，旋转角等于等腰三角形的顶角等。
二．考试说明：
三、课时安排： 7-9 节
四、复习建议：
1.引导学生从几何图形与变换的角度重新认识常见辅助线的添加方法；
2.注重基本图形的讲解和常规方法的落实；
3.注重解题方法：类比：从特殊到一般基本模型：从简单到复杂（化繁为简）；
4.近几年中考试题的反复练习，从中体会知识要点、考点和解决问题的思路；
5．用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题，用变换的观点研究函数的平移和对称．五、基本知识点（参考总复习书）
(一)平移变换
1.平移变换的两个要素：移动的方向和距离．
2．平移的性质
(1)平移前后的图形全等；
(2)对应线段平行(或共线)且相等；
(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等．
3．平移变换的作图
如图，将△ABC平移至△A′B′C′，
则有AA′∥BB′，且AA′＝BB′；BB′与CC′共线，且BB′＝CC′．
4．用坐标表示平移
(1)点(x，y)点(x＋a，y)或(x－a，y)；
(2)点(x，y)(x，y＋b)或(x，y－b)．
(二)轴对称变换
1．轴对称的性质
(1)关于某条直线对称的两个图形全等；
(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；
(3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上．
2．轴对称变换的作图
如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
则有△ABC≌△A′B′C′；AA′，BB′，CC′都被直线l垂直平分．
3．用坐标表示轴对称
点(x，y)关于x轴对称的点为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点为(－x，y)；
点(x，y)关于直线y＝x对称的点为(y，x)；点(x，y)关于直线y＝－x对称的点(－y，－x)；*点(x，y)关于直线x＝m对称的点为(2m－x，y)；
*点(x，y)关于直线y＝n对称的点为(x，2n－y)．
(三)旋转变换1．旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角．
2.旋转的性质
(1)旋转前后的图形全等；
(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上)；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角．
3.中心对称的性质
(1)对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点；(2)对应线段平行或共线．
4.中心对称的作图
如图，若△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则对称中心O是线段AA′、BB′、CC′共同的中点，且AB∥A′B′，AB＝A′B′，BC∥B′C′，BC＝B′C′，
CA∥C′A′，CA＝C′A′．
5.关于某点对称的点的坐标
点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(－x，－y)．
点（x，y）关于点（x0，y0）对称的点的坐标（2x0-x,2y0-y）
二、例题分析
关于平移
1.（2011）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（A）
（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm
2.两个全等的梯形纸片如图(1)摆放，将梯形纸片ABCD 沿上底AD 方向向右平移得到图(2)． 已知AD ＝4，BC ＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD 的面积的13，
则图(2)中平移距离A′A＝________.3
3.（2013?）如图，矩形ABCD 中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形A 1B 1C 1D 1，第2次平移将矩形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向向右平移5个单位，得到矩形A 2B 2C 2D 2…，第n 次平移将矩形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1沿A n ﹣1B n ﹣1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n （n ＞2）．
（1）求AB 1和AB 2的长．(11,16) （2）若AB n 的长为56，求n ．(10)
4.（2011）如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为222和，对角线BD 、FH 都在直线L 上，21O O 和分别是正方形的中心，线段21O O 的长叫做两个正方形的中心距。当
中心2O 在直线L 上平移时，正方形EFGH 在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变。 （1）计算：=D O 1___ 2 ，=F O 2____ 1
（2）当中心2O 在直线L 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距21O O =_____3. （3）随着中心2O 在直线L 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值围（不必写出计算过程）。
答案: 当0≤21O O <1时，两个正方形无公共点； 当21O O ＝1时，两个正方形有无数公共点；当1<21O O <3时，两个正方形有两个公共点；当21O O ＝3时，两个正方形有一个公共点；当21O O >3时，两个正方形无公共点。
6.如图，Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2cm ，60A ∠=?．将△ABC 沿AB 边所在直线向右
平移，记平移后它的对应三角形为△DEF ．
（1）若将△ABC 沿直线AB 向右平移3 cm ，求此时梯形CAEF 的面积；
O
A
B'
C
B A'C'
（2）若使平移后得到的△CDF 是直角三角形， 则△ABC 平移的距离应为______cm ．(1;4)
7．如图，“风车三角形”中，AA ，
=BB ，
=CC ，
=2，∠AOB ，
=∠BOC ，
=∠COA ，
=60°， 求证：3,,,<++???COA BOC AOB S S S
8.（2013）如图，A （0，1），M （3，2），N （4，4）.动点P 从点A 出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x+b 也随之移动，设移动时间为t 秒.
（1）当t ＝3时，求l 的解析式；
（2）若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值围；4 （3）直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上. t=1,2 9.如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲线y= x k 上，边AD 交y 轴于点E ， 且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍， 则k=_____.12 10.(2012)已知二次函数22(3 (1)2 2)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点A （3-，m ），求m 与k 的值； （3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧 ），将二次函数的图象B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0n >）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值围． 关于对称 1.（2013）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°， D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B′处， 则∠ADB′等于（ ） A ．25°B．30°C．35°D ．40° 2.如图，△ABC 中，AB=AC ．∠ BAC =54°，∠ BAC 的平分线与AB 的垂直平分线相交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合， 则∠OEC 为________度. 【答案】108 3.（2013）如图5，在△中，，， tan C = 3 2 ，如果将△沿直线l 翻折后，点落在边的中点处， 直线l 与边交于点，那么的长为__________．15/4 4.（2013?）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE，且点F 在矩形ABCD 部．将AF 延长交边BC 于点G ． 若 =，则 =______( 用含k 的代数式表示）． 5.(2013省)如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==,点E 是 BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠， 使点B 落在点'B 处，当△'CEB 为直角三角形时，BE 的长为___. 【答案】3 32或 6.（13）已知矩形纸片ABCD 中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF 不经过A 点（E 、F 是该矩形边界上的点），折叠后点A 落在A ， 处，给出以下判断： （1）当四边形A ， CDF 为正方形时，EF=2 ABC AB AC =8BC =ABC B AC BC D BD A' A B C O x y （2）当EF=2时，四边形A，CDF为正方形 （3）当EF=5时，四边形BA，CD为等腰梯形； （4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=5。 其中正确的是_____（把所有正确结论序号都填在横线上）。(1)(3)(4) 7．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上， 连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A'的位置， 若5 OB=， 1 tan 2 BOC ∠=，则点A'的坐标是多少？ 8.（2011）长为1，宽为a的矩形纸片（1 2 1 < （2012?）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，?ABCD 中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形． （1）判断与推理： ①邻边长分别为2和3的平行四边形是________阶准菱形； ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD 上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算： ①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值； ②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出?ABCD是几阶准菱形． 解：（1）邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形； （2）①如图所示： ②∵a=6b+r，b=5r， ∴a=6×5r+r=31r； 如图所示： 故?ABCD是10阶准菱形． 9.如图，将正方形纸片对折，折痕为EF.展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则ABG ∠的正切值是. 10.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE． 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论： ①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11. （2012）如图，菱形纸片ABCD中， ∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处， 且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CF FD 的 值为( ) A 31 -3231 -31 + D C B A O 12.(2013）如图11，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上， 将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ， 则∠B =°．答案：95 13．（2013）如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在点B ′，C ′处，线段EC ′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B ′G ． 求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B ′G ． 14.（昌平）如图，在半径为4的⊙O 中，AB 为直径，以弦AC （非直径）为对称轴将AC 折叠后与AB 相交于点D ，如果3AD DB =，那么AC 的长为（ ） A ．214B ．27C ．42 D ．6 15.【问题解决】如图－1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E (不与点C ，D 重合)，压平后得到折痕MN ．当时2 1=CD CE ，求BN AM 的值． 方法指导： 为了求得 BN AM 的值，可先求BN 、AM 的长， 不妨设AB ＝2． 【类比归纳】在图－1中，若3 =CD ， 则BN 的值等于______；若41=CD CE ，则BN AM 的值等于______；若n CD CE 1=(n 为整数)，则BN AM 的值等于(用含n 的式子表示)． 【联系拓广】 如图－2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E(不与点C ，D 重合)，压平 后得到折痕MN ．设n CD CE m m BC AB 1),1(1=>=，则BN AM 的值等于______(用含m ，n 的式 子表示)．?=∴5 1 BN AM 【类比归纳】?+-1)1(,179,522 2n n 【联系拓广】?+?+-1122222m n n m n B A 17.（2013）在平面直角坐标系O 中，抛物线（）与轴交 于点A ，其对称轴与轴交于点B 。 （1）求点A ，B 的坐标； （2）设直线与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式； （3）若该抛物线在 这一段位于直线的上方，并且在 这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。 18. 如图，在平面直角坐标系中有四个点A(－6，3)，B(－2，5)，C(0，m)，D(n ，0)， 当四边形ABCD 的周长最短时，求m ，n 的值． 19.△ABC 中，∠A=600 ，∠C=750 ，AB=10，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上， 则△DEF 的周长的最小值为______5620.（2013?）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），点B （0，4），点E 在OB 上， 且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示A′B 2 +BE′2 ， 并求出使A′B 2 +BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）． 关于旋转： 1.（2011）Rt△ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上， BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0? 【答案】80和120 E D C B A A D B C 2.在边长为2的等边△ABC 中，P 是AB 边上一动点（P 不与A 、B 重合），以PC 为边作等边△PDC ，点D 与点A 在BC 同侧，E 为AC 中点，连接AD 、PE 、DE ， 则△PDE 面积的最小值为（ ） A ．1 2 B ．32 C ． 33 D ． 34 3.（海淀）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－3，1），点B 是 x 轴上的一动点，以AB 为边作等边三角形ABC ．当点C （x ，y ） 在第一象限时，下列可以表示y 与x 的函数关系的是（ ） 4.已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边△ABC.使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2327 （2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小. （6, 120?） 5.如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数=____122?. 6 已知O 是等边三角形ABC 一点，∠AOB ＝110°，∠BOC ＝135°， 试问： (1)以OA ，OB ，OC 为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由； 备用图 第27题 (1) 如果∠AOB 的大小保持不变，那么当∠BOC 等于多少度时， 以OA ，OB ，OC 为边的三角形是一个直角三角形? 当∠BOC ＝150°或100°时，由OA ，OB ，OC 为边的三角形为直角三角形． 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0）,点B(0,6)，动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC,过O 点作OD ⊥OC,OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB 。 （1） 当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为______;45, 135 （2） 连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC 的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值。 （3） 连接AD ，当OC ∥AD 时， ① 求出点C 的坐标；②直线BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由。 8.（14.01顺义）如图，ABC △和ADE △都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，连结 BD ，BE ，CE ，延长CE 交AB 于点F ，交BD 于点G ． （1）求证：AFC GFB △∽△； （2）若ADE △是边长可变化的等腰直角三角形，并将ADE △绕点A 旋转，使CE 的 延长线始终与线段BD （包括端点B 、D ）相交．当BDE △为等腰直角三角形时，求出AB BE ∶的值． 9.（14.01门头沟）如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动． （1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为__； （2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出 1 1 CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是 ______________,请借助图3证明你的猜想． 10.(2013.01海淀)如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上， 2DE =， 1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45?，交直线 AD 于点M ．将图1中的 三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ． 图1 图2 图3 解答问题： （1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得 AM DM 的值为_____； ②在平移过程中， AM DM 的值为 ______（用含k 的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A 落在 线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算 AM DM 的值； （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，0α<≤90，原题中的其他条件保持 不变.计算 AM DM 的值（用含k 的代数式表示）． 11.如图1，以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的关系。 如图2，若以△ABC 的边AB 、AC 为直角边，向作等腰直角△ABE 和△ACD ， M E 图1 D C B A 图2 B A M C D E B B B 图1 图2 图3 其它条件不变，试探究线段DE 与AM 之间的关系. 12．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现： 在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形， 如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ， 则下列结论正确的是（填序号即可） ①AF=AG= 2 1 AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考： 在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索： 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的侧作等腰直角三角形，如图3， M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 【答案】解： ●操作发现：①②③④ ●数学思考：MD=ME ，MD ⊥ME ， ●类比探究：等腰直角三解形 13.（2013? 潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至'''D F CE ,旋转角为α. （1）当点' D 恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值； （2）如图2，G 为BC ，且0°＜α＜90°，求证：D E GD ''=； （3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，'DCD ?与'CBD ?能否全等？ 图1 图2 图3 P B 1 F A D E C B A 1 P 1 F A D E C A 1 P B 1 A D C A 1 若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由. 14.（海淀2013.01）小聪用描点法画出了函数y x = 图象F ，如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90?得到图象1F ，再将图象1F 绕原点逆时针旋转90 ?得到图象2F ，如此继续下去，得到图象n F .在尝试的过程中，他发现点P (4,2)--在 图象______ 上（写出一个正确的即可）； 若点P （a ，b ）在图象127F 上，则a =____(用含b 的代数式表示) . 15.（2011义乌）如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合)，连结BP. 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0?＜α＜180?），得到△A 1B 1P,连结AA 1，射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F. （1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在关系 （填“相似”或“全等”），并说明理由； （2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α=60°时，点E 、F 与点B 重合. 已知AB=4，设DP=x ，△A 1BB 1的面 积为S ，求S 关于x 的函数关系 M B D C E A N P P N A E F C D B 16.（14.01）将△ABC 绕点B 逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△DBE， 直线DE 与直线AC 相交于点F ，连接BF ． （1）如图1，若α=60°，DF=2AF ，请直接写出 BF AF 等于______； （2）若DF=mAF ，（m>0，且m≠1）①如图2，求 BF AF ；（用含α，m 的式子表示） ②如图3，依题意补全图形，请直接写出BF AF 等于_____．（用含α，m 的式子表示） 17.在□ABCD 中，∠A =∠DBC, 过点D 作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF 、 EC, N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP ． （1）如图1，若点E 在DP 上, EF 与DC 交于点M, 试探究线段NP 与线段NM 的数量 关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论； （2）如图2，若点M 在线段EF 上, 当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然 成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论. 18.（2013?）阅读材料 如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连结BF 、CD 、CO ，显然点C 、F 、O 在同一条直线上， 可以证明△BOF ≌△COD ，则BF=CD ． 解决问题 （1）将图①中的Rt △DEF 绕点O 旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论； E' M F E D C B A E' E D C B A 图1图2 （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来） 19.（14.01昌平）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线 CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'. （1）如图1，∠AEE'= °； （2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系； （3）在图2的条件下，如果CE=2，AE=27ME的长. 练习： 1．在平面直角坐标系中，点(2，4)绕点(1，1)顺时针旋转90°后，所得的点的坐标为( )．A．(－2，2)B．(4，1)C．(3，1)D．(4，0) 2．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称， 则∠P1OP2等于( )． A．45°B．50°C．60°D．70° 3．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边 中点E处， 点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是( )． A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 4．若点M 关于x 轴对称的点的坐标为(3，－9)，则点M 关于y 轴对称的点的坐标为_____． 5．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均 和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C ，E 和点D ，F ， 则图中阴影部分的面积是______． 6．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 的中点， 把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，折痕交CD 于Q ， 则∠PBQ ＝______°． 7．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC ＝∠AED ＝90°， 若AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝20，则五边形ABCDE 的面积为______． 8．如图，将正方形ABCD 以点B 为旋转中心顺时针旋转120°得到正方形 A ′BC ′D ′，DO ⊥C ′A ′于O ，若13-='O A ， 则正方形ABCD 的边长为______． 9．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ＝8，AD ＝CD ＝4，E 为AB 边上一点，AE ＝5．若将纸片沿过点E 的直线折叠，使点A 落在CD 边上， 落点记为P ，折痕交AD 于F ，求DF 的长． 10．如图，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A ，C 重合)，PE ⊥BC 于点E ， PF ⊥CD 于点F ． (1)求证：BP ＝DP ； (2)如图，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋 转，连接BE ，DF ．探究BE 与DF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论． 个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师：黄老师授课时间：2014 年04 月13 日(星期日) 姓名梁治安年级八年级性别男总课时____第___课 教学 目标 知识点：平移的概念、性质、平移作图；旋转的概念、性质，简单的旋转作图。 难点重点重点：1、平移的概念、性质、平移作图；旋转的概念、性质，简单的旋转作图2、简单的图案设计。 难点：图案设计的方法；轴对称、平移、旋转三种变换的组合。 课堂教学过程课前 检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 平移的概念和性质 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过的平移所得到的图形中，对应点所连的线段平行，且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。 旋转的概念和性质： 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变形状和大小。 一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。 知识点一、平移的概念： 1．在平面内将一个图形沿______移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的_______和__________． 知识点二、平移的性质 2、经过平移，_________，__________分别相等， 对应点所连的线段_____________． 【基础训练】 A ′ 1．以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行； ③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是（ ） A ．②③ B 、②④ C ．①② D ．①④ 2、如下左图，△ABC 经过平移到△DEF 的位置，则下列说法： ①AB ∥DE ，AD=CF=BE ； ②∠ACB=∠DEF ； ③平移的方向是点C 到点E 的方向； ④平移距离为线段BE 的长. 其中说法正确的有（ ） A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图，在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，则△AFE 经过平移可以得到（ ） A.△DEF B.△FBD C.△EDC D. △FBD 和△EDC 4．下列图形属于平移位置变换的是( ) ． 5．下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6．如图，△ABC 平移后得到△A ′B ′C ′，线段AB 与线段A ′B ′的位置关系是 ． 7．在1题中，与线段AA ′平行且相等的线段有 ． A ． B ． C ． D ． 2015年春北师大版八年级数学下册 第三章《图形的平移与旋转》知识点与同步练习 知识点一、平移的概念： 1．在平面内将一个图形沿移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的和． 注意：1、前提在同一平面内，物体在曲面上运动不称之为平移2、必须是沿同一个不变的方向移动3、图形平移是有平移的方向和距离决定的 知识点二、平移的性质 2、经过平移，，分别相等，对应点所连的线段． 【基础训练】 1．以下现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面沿直线滑行；③风车的转动，④汽车轮胎的转动．其中属于平移的是（）A．②③B、②④C．①②D．①④ 2、如下左图，△经过平移到△的位置，则下列说法：①∥，；②∠∠；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段的长. 其中说法正确的有（） A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图，在等边△中，D、E、F分别是边、、的中点，则△经过平移可以得到（）A.△ B.△ C.△ D. △和△ 4．下列图形属于平移位置变换的是( ) ． 5．下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6．如图，△平移后得到△A ′B ′C ′，线段与线段A ′B ′的位置关系是 ． 7．在1题中，与线段′平行且相等的线段有 ． 8、将长度为5 的线段向上平移10所得线段长度是 （ ） A 、10 B 、5 C 、0 D 、无法确定 9．如图，O 是正六边形的中心，下列图形中可由△平移得到的是（ ? ）A ．△ B ．△ C ．△ D ．△ 10．将面积为122的等腰直角△向右上方平移20，得到△，则△是 三角形，它的面积是 2． 11．如图7，四边形是由四边形平移得到的，已知5，∠70°，则（ ）A ．5，∠70° B ．5，∠70°C ．5，∠70° D ．5，∠70° 13、在图示的方格纸中（1）作出△关于对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？ 二、图形的旋转： A ． B ． C ． D ． A A ′ C ′ B ′ 学科教师辅导讲义 体系搭建 一、平移 1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2、平移的性质：①一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行且相等； ②对应线段平行且相等，对应角相等。 3、平移作图的步骤与方法： 一般步骤：（1）分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离； （2）分析所作的图形，找出构成图形的关键点； （3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点； （4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母； （5）写出结论。 平移作图的方法：“对应点连接法”和“全等图形法” 4、图形的坐标变化与平移： （1）纵坐标保持不变，横坐标分别加k ①当k为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移k个单位长度； ②当k为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移k个单位长度； 三、中心对称 1、两个图形形成中心对称的概念及性质 （1）概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180?，他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。 （2）两个图形形成中心对称的性质 ①成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 ②关于中心对称的两个图形之间的对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。 2、作成中心对称图形的一般步骤 （1）作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键点的对称点。 （2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。 3、中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180?，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 4、中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 考点一：图形平移类的问题 例1、如图，将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移lcm后得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 图形的平移与旋转--知识讲解 【学习目标】 1、理解平移的概念，掌握图形的平移所具有的对应点的连线的特征,理解平移前后对应边角的关系，能按要求作出简单的平面图形平移后的图形； 2、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形； 3、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形； ４、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形． 【要点梳理】 要点一、平移的概念与性质 平移的概念 将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移． 如图：平移三角形ABC 就可以得到三角形A′B′C′，点Ａ和点A′，点B 和B′，点C 和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC 和B′C′，AC 和A′C′是对应线段，∠Ａ与∠A′，∠Ｂ与∠Ｂ′∠Ｃ与∠Ｃ′是对应角． 平移的性质 图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等． 图形平移后，图形的大小、形状都不变． 要点诠释： １、平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离． ２、平移的两个要素：平移的方向和平移的距离． 要点二、旋转的概念与性质 旋转的概念 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O ），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC 绕点O 旋转所得，则点Ａ和点A′，点B 和B′，点C 和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC 和B′C′，AC 和A′C′是对应线段，∠A ＯA ′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）； (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 要点诠释： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释： 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； O 《图形的平移与旋转》 【巩固练习】 一、选择题 1. 以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称 图形的有（）. A．4个 B．5个 C．6个 D．3个 2．有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动； ④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（）. A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 3.（2015?番禺区一模）下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（） A． B． C． D． 4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形可由△OBC平移得到的是（）. A.△OCD B.△OAB C.△OAF D.△OEF 5.如图，∠DOE为直角，如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′，△A′B′C′关于OE的对称图 形是△A″B″C″，则△ABC与△A″B″C″的关系是（）． A．以∠DOE的平分线成轴对称; B．关于点O成中心对称 C．平移关系; D．不具备任何关系 第4题第5题第6题 6.如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是（）． A．l＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19 7. 下列变换中，哪一个是平移（）． 8.如图所示，将一个含30°的直角三角板ABC绕点A选择，使得点B，A，C在同一条直线上，则三角板 ABC旋转的角度是 ( ). A．60° B．90° C．120° D．150° 二、填空题 9.某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为． 10. 如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2. 11. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB 边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是________． 第10题第11题第12题 12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与 AC上的点B1重合，则AC＝ cm． 13.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB’C’，点C’恰好落在边AB上，连接BB’， 则∠BB’C’= . 第13题第14题 第三章图形的平移与旋转教案 3.1生活中的平移 教学目标： 知识目标：认识平移、理解平移的基本内涵；理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等的性质。 能力目标：①通过探究式的学习,培养学生的归纳总结与猜想的数学能力,培养学生的逆向思维能力。通过知识的拓展，培养学生的分析问题与解决问题的能力；②让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程；经历探索图形平移性质的过程，以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。 情感目标：①在探究式的教学活动中，培养学生主动探索，勇于发现的科学精神；通过多种途径，培养学生细致、严谨、求实的学习习惯；渗透由特殊到一般，化未知为已知的辩证唯物主义思想；②引导学生观察生活中的图形运动变化现象，自己加以数学上的分析，进而形成正确的数学观，进一步丰富学生的数学活动经验和体验。有意识的培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力及审美意识的发展；③通过自己动手设计图案，把所学知识加以实践应用，体会数学的实用价值。通过同学间的合作交流，培养学生的协作能力与学习的自主性。 教学重点：探究平移变换的基本要素，画简单图形的平移图。 教学难点：决定平移的两个主要因素。 教学过程设计： 一、引入并确定目标 展示与平移有关的图片，借助实物演示平移，用几何画板演示两个图形的平移。 学生分组讨论，如何将所看到的现象用简洁的语言叙述。 二、探究新知 分析平移定义，探讨“沿某一方向”的意义，其实质是沿直线运动。 学生讨论“沿某一方向”的意义。 展示图片，让学生讨论图中的运动各在那种情况下是平移，图中还有哪些图形可以通过平移得到。 学生分组讨论： （1）能否通过平移得到。 （2）能平移得到的其基本图形是什么？有哪些方法？ 让学生列举生活中的平移实例，对理解有偏差的加以纠正。 展示静态图片，让学生观察图中具有特殊位置关系的线段，归纳猜想所能得到的结论；利用几何画板实验验证猜想。 小组同学讨论自己所能得到的结论。 第三章图形的平移与旋转复习要点 专点一：图形的平移 1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是由移动的方向和距离决定的。 2.平移的性质： （1）平移不改变图形的形状和大小：即平移前后的线段相等，平移前后的三角形或多边形全等。 （2）平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 （3）平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。 专点二：图形的旋转 ` 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 2.旋转的性质： （1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。 （2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。 （3）经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。 （4）任意一对对应点与旋转中心的距离相等。 考点三、中心对称 ( 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定 ^ 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点四、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） 3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） ： 专点五：利用轴对称、旋转和平移作图 1.平移作图的一般步骤： （1）确定平移的方向和距离； （2）确定构成图形的关键点（线段两个端点，三角形三个顶点，n边形n 个顶点）； （3）按照平移的方向和距离平移各个关键点； （4）顺次连接各个关键点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。 2.旋转作图的一般步骤： * （1）确定旋转中心、旋转角及旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）旋转个关键点，得到对应点； （4）依次连接各关键点的对应点，所得的图形就是旋转后的图形。 3.图形之间的变换关系： 在图形变换中，最常见的变换有轴对称、平移、旋转，它们都是把一个图形变成另外一个图形，并且这些变换都只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。八年级下册图形的平移与旋转教案
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