分块矩阵及其运算

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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b

A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0

a 其中A = 0 A O b = , B= E B 1 1 0 0 E = O= 0 1 0
二、分块矩阵的运算规则
(1 ) 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用
相同的分块法 , 有
A11 A= ⋮ A s1 ⋯ ⋯ A1 r B11 ⋮ , B = ⋮ B A sr s1 ⋯ ⋯ B1 r ⋮ B sr
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即
A1 O A2 A= , ⋱ O As
A1 O A2 A= , ⋱ O As
于是
B11 AB = A1 B11 + B21
1 −1 = −2 −1 0 4 4 1 1 0 3 3
A1 + B22 E
0 1 . 3 1例2源自a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
2 4 1. 0 0 24 5 5 34 0 14 7 0 10 − 1 3 5
0 3 17 − 1 17 0 0 0 5 34 2 17 2. 0 0 1 − 3 2 0 0 −2 7 2
C 11 AB = ⋮ C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r ⋮ ⋯ C sr (i = 1 , ⋯ , s ; j = 1 , ⋯ , r ). ⋯
T T T A11 ⋯ A r AT1 A11 ⋯ As1 1 s 11 T T (4 ) 设 A = ⋮ ⋮ , 则 A = ⋮ ⋮ . As1 ⋯ A T ATT ⋯ AT A1r sr sr sr 1r

第二章
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11