本第8讲矩阵分块法矩阵运算知识题

矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。

这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。

矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。

这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。

在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。

例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。

这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。

矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。

在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。

在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。

矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。

这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。

因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。

矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。

矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。

在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。

拉普拉斯分块矩阵公式例题【原创版】目录一、拉普拉斯分块矩阵公式的概念与意义二、拉普拉斯分块矩阵公式的例题解析三、拉普拉斯分块矩阵公式在实际应用中的价值正文一、拉普拉斯分块矩阵公式的概念与意义拉普拉斯分块矩阵公式是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将高阶矩阵分解为低阶矩阵的乘积，从而简化了矩阵的运算过程。

在拉普拉斯分块矩阵公式中，分块矩阵是一种重要的工具，它能够将高阶矩阵转化为低阶矩阵，使矩阵的结构变得更加简单和清晰。

二、拉普拉斯分块矩阵公式的例题解析举例来说，假设有一个 4 阶矩阵 A，我们可以通过拉普拉斯分块矩阵公式将其分解为两个 2 阶矩阵的乘积，即 A=PDP^-1，其中 P 是投影矩阵，D 是对角矩阵，P^-1 是 P 的逆矩阵。

具体来说，我们可以先将矩阵 A 分解为它的特征值对角矩阵和特征向量矩阵的乘积，即 A=UDU^-1，其中 U 是特征向量矩阵，D 是特征值对角矩阵。

然后，我们再将特征向量矩阵 U 分解为两个投影矩阵 P 和 Q 的乘积，即 U=PQ，那么原矩阵 A 就可以表示为 A=PDP^-1 的形式。

三、拉普拉斯分块矩阵公式在实际应用中的价值拉普拉斯分块矩阵公式在实际应用中有着广泛的应用价值。

例如，在复杂网络聚类算法中，基于拉普拉斯特征值的谱聚类方法具有严密的数学理论和较高的精度，但受限于该方法对簇结构数量、规模等先验知识的依赖，难以实际应用。

针对这一问题，基于拉普拉斯矩阵的 Jordan 型变换，提出了一种先验知识的自动获取方法，实现了基于 Jordan 矩阵特征向量的初始划分。

基于 Jordan 型特征值定义了簇结构的模块化密度函数，并使用该函数和初始划分结果完成了高精度聚类算法。

此外，拉普拉斯分块矩阵公式在信号处理、图像处理、机器学习等领域也有着广泛的应用。

矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。

矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。

以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。

1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。

具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。

可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。

可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。

1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。

矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。

二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。

行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。

列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

矩阵分块法矩阵分块法是一种常用的矩阵计算方法，它将大规模的矩阵分割成若干个小块，然后对每个小块进行计算，最终将结果合并得到原始矩阵的计算结果。

这种方法可以有效地提高计算速度和减少内存占用。

一、矩阵分块法的基本思想矩阵分块法的基本思想是将大规模的矩阵划分成若干个小块，然后对每个小块进行计算。

这种方法可以有效地减少内存占用和提高计算速度。

具体来说，可以将一个 $n \times n$ 的矩阵划分成 $\sqrt{p} \times \sqrt{p}$ 个大小为 $\frac{n}{\sqrt{p}} \times\frac{n}{\sqrt{p}}$ 的子矩阵。

其中 $p$ 表示处理器数量。

二、矩阵乘法的分块实现对于两个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积 $C = AB$，可以采用如下的分块实现：1. 将 $A$ 和 $B$ 分别划分为 $\sqrt{p} \times \sqrt{p}$ 个子矩阵：$$\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1\sqrt{p}} \\A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2\sqrt{p}} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{\sqrt{p}1} & A_{\sqrt{p}2} & \cdots & A_{\sqrt{p}\sqrt{p}} \end{bmatrix},B =\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1\sqrt{p}} \\B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2\sqrt{p}} \\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\B_{\sqrt{p}1}& B_{\sqrt{p}2}& \cdots& B_{\sqrt{p}\sqrt{p}}\end{bmatrix}.$$其中 $A_{ij}$ 和 $B_{ij}$ 分别表示 $A$ 和 $B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的子矩阵。

1分块矩阵的应用相关例题分块矩阵是为了简化矩阵的运算而产生的一种工具，在处理高阶矩阵的时 候，可以将大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，这就将矩阵中的元素由数扩展为 矩阵，在运算时，把这些小矩阵当作数来处理，这就是分块矩阵的运算。

分块矩 阵的运算在形式上和数字矩阵完全一样，在本文中不再叙述。

本文主要列举了分块矩阵在高等代数课程中的若干应用。

分为三章，第一章 讲了分块矩阵在化简运算方面的应用，包括对矩阵乘法新的理解和Gramer 法则 的证明。

第二章讲了分块矩阵的思想在证明一些经典定理中的应用，主要证明了 Cayley-Hamilton 定理和齐次线性方程组解的结构定理。

第三章列举了一些运用 分块矩阵的例题。

关键词：高等代数；分块矩阵：化简运算。

1.1.1 例题1：给定〃X”?矩阵A .试求出下面矩阵方程的通解: 4X=X'A.解：设矩阵A 的秩为已知存在〃阶非异方阵尸和川阶非异方阵。

，使得由此可知此=kA 。

，所以(kAQ-i)' X = X /-么。

7,即(。

『A'(P 广 X = X' P-AQ-I .等式两边左乘以。

、再右乘以。

，于是等式变成A'(P")'XQ = Q'X'P7A = ((P-|)'X0)'A.利用矩阵的分块,将〃 X ，n 矩阵(P-) X 。

和A 同法分块,即记(P-，，XQ =PAQ = A =E r 0、 、02即左=0, %=丫」.所以Y 0 (PT)'X0=" I 21 22 )这证明了所求的〃 X m 矩阵X 可表为x = p ，j 。

-\7 21 ^22 7反之，任意上面形式的〃 X m 矩阵X ,只要，•阶方阵适合条件％ ' = % ,则 4X=X ，A.故求出了矩阵方程4X = X ，A 的通解.1.1.2 例题2：设A8分别为数域户上的机阶方阵和〃阶方阵，C 为数域尸上秩 为,的m x 〃阶矩阵,其中机＞〃且AC = CB .证明：A 与8至少有r 个公共特征值, 且1 ＞若A 与8的特征多项式互素,则C = 0.2＞若C 为列满秩矩阵,则B 的特征值全部为A 的特征值.证明：首先对特殊的C 进行证明，假设°) 4)(。

分块矩阵的应用相关例题分块矩阵是为了简化矩阵的运算而产生的一种工具，在处理高阶矩阵的时候，可以将大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，这就将矩阵中的元素由数扩展为矩阵，在运算时，把这些小矩阵当作数来处理，这就是分块矩阵的运算。

分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵完全一样，在本文中不再叙述。

本文主要列举了分块矩阵在高等代数课程中的若干应用。

分为三章，第一章讲了分块矩阵在化简运算方面的应用，包括对矩阵乘法新的理解和Gramer 法则的证明。

第二章讲了分块矩阵的思想在证明一些经典定理中的应用，主要证明了Cayley-Hamilton 定理和齐次线性方程组解的结构定理。

第三章列举了一些运用分块矩阵的例题。

关键词：高等代数；分块矩阵；化简运算。

1.1 例题1.1.1 例题1：给定n m ⨯矩阵A ,试求出下面矩阵方程的通解：''A X X A =.解：设矩阵A 的秩为r .已知存在n 阶非异方阵P 和m 阶非异方阵Q ,使得000rEPAQ ⎛⎫=Λ= ⎪⎝⎭. 由此可知11A P Q --=Λ,所以1111()''P Q X X P Q ----Λ=Λ,即1111(')'(')'Q P X X P Q ----Λ=Λ.等式两边左乘以'Q ,再右乘以Q ,于是等式变成111'()'''(()')'P XQ Q X P P XQ ---Λ=Λ=Λ.利用矩阵的分块,将n m ⨯矩阵1()'P XQ -和Λ同法分块,即记111212122()'Y Y P XQ Y Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是有 1112112121221222''00''0000rr Y Y Y Y EE Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此 11111212'0'000Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即120Y =,1111'Y Y =.所以11121220()'YP XQ Y Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,1111'Y Y =.这证明了所求的n m ⨯矩阵X 可表为11121220'Y X P Q Y Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,1111'Y Y =.反之,任意上面形式的n m ⨯矩阵X ,只要r 阶方阵适合条件1111'Y Y =,则''A X X A =.故求出了矩阵方程''A X X A =的通解.1.1.2 例题2：设,A B 分别为数域F 上的m 阶方阵和n 阶方阵,C 为数域F 上秩为r 的m n ⨯阶矩阵,其中m n >且AC CB =.证明：A 与B 至少有r 个公共特征值,且1>若A 与B 的特征多项式互素,则0C =.2>若C 为列满秩矩阵,则B 的特征值全部为A 的特征值. 证明：首先对特殊的C 进行证明,假设000rI C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11122122A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11122122B B B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则 112100A AC A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,111200B B CB ⎛⎫=⎪⎝⎭. 由AC CB =得1111A B =,210A =,120B =.显然,A 和B 至少有r 个相同的特征值.现在来证明一般情形.因为C 的秩等于r ,不妨设000rE C P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中P 是m 阶可逆矩阵,Q 是n 阶可逆矩阵,则000000rrEE AC AP Q CB P QB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是 11000000rr EE P AP QBQ --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由前面的证明,1P AP -和1QBQ -至少有r 个相同的特征值,因此A 和B 至少有r 个相同的特征值.1>A 与B 的特征多项式互素,说明A 与B 有零个公共特征值,则矩阵C 秩为零,所以0C =.2>若C 为列满秩矩阵,即C 的秩为n ,则A 与B 至少有n 个公共特征值,又因为B 是n 阶方阵,故B 的特征值全部为A 的特征值.1.1.3 例题3：令A ,B ,C 为数域F 上的n 阶方阵,A 可逆,并且0i CB CA B ==,1,2,,i n =.证明：A B C A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆,并求其逆矩阵.证明：先证()()r C r B n +=的情形.设()r C r =,我们知道存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得 000rEPCQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1112112122B B Q BP B B --⎛⎫= ⎪⎝⎭,111212122A A Q AQ A A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中矩阵分块方式都遵照PCQ 的形式. 由条件0i CB CA B ==,1,2,,i n =.及分块矩阵运算可知110B =,120B =.()()122122122221220i A B B A A B B ==,1,2,,1i n =-. (7)则可记 11121212221221000000**0**r A A A B Q A A B B Q M C A P E P --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 其中1****PAP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.由于11()()r Q BP r B n r --==-和式(7)知,()2122B B 中存在()()n r n r -⨯-可逆矩阵022B 使得012220A B =,则120A =.所以11122det()det()det()0Q AQ A A -=⋅≠,则11A 可逆.于是我们可以对M 左乘初等行变换矩阵1P ,使得1112122212211100000000**0**A A B Q A A B B Q PM P C A P P --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, (8) 故 1121det()det()det()det()0PM Q AQ PAP A --=⋅=≠, 这就说明det 0A B C A ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,A B C A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆得证.由于以上对A B C A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的操作都是可逆的,并且上三角可逆矩阵0a b c ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵是11110a a bc c ----⎛⎫- ⎪⎝⎭,则可以求出A B C A ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵,对之后讨论的情形,求逆矩阵方式都类似,不再赘述.我们还是把重点放在证明上. 下面证()()r C r B n +<的情形.易知()0r C =或()0r B =时结论一定成立,设()0r C r =>,()0r B s =>. 我们先从简单情形入手,令3n =,1r =,1s =,这时1112212221221000**0**a A A A B B M E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 可对其进行初等行变换消去()2122B B 的一行并对M 进行初等列变换让33b 为可逆量(此时即非零量)11121313233100000**0**00**a A M b b b E ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,即111213222321133331000****0**00**a a a a a a M a b E ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中*代表无关紧要的量.由条件式(7)计算后可知130a =,12230a a =,1222230a a a =.若120a =,则110a ≠,经初等行变换可消去1E ,得类似式(8)的11222321233330000000****00**00**a a a a M a b ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,随即得证.若230a =,则330a ≠,经初等列变换消去()2122B B 的最后一行,得到1112222123310000000**0000**00**a a a a M a E ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,类似之前的讨论也可证明结论成立.到此3n ≤时结论成立.以上讨论是从求C 的等价标准型的角度出发,若从求B 的等价标准型开始,也能得到以上结论,也就是说C 和B 有某种“对称性”,所以我们只考虑()()r C r B ≤的情形.再证一下4n =的情形,则需要考虑的有两种情况：()()1r C r B ==或()1r C =,()2r B =.()()1r C r B ==时,对M 进行类似之前的处理后得111222214414410000*****0**00**a A A Ab M a E ⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中m n A ⨯代表矩阵A 中的m n ⨯小矩阵. 由条件式(7)计算后可知12210A A ⨯⨯=,1222210i A A A ⨯⨯⨯=,1,2i =. (9)若120A ⨯=或210A ⨯=,则对应的11a 可逆或33a 可逆,则进行适当的初等行变换或列变换就得到我们想要的式(8)或“对称”的类似式,总之都能得证.反之,1221()()1r A r A ⨯⨯==,对1M 中12A ⨯所在的列进行初等列变换,对21A ⨯所在的行进行初等行变换,得111222233334442441000000*******0**00**a a a a a ab M a E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 由条件式(9)得230a =,22330a a =,2232330a a a =,则220a =或330a =,对应的进行初等行变换或列变换可以消去12a 或34a ,进而可消去1E 或44b ,进而可证结论成立.()1r C =,()2r B =时, 对M 进行类似之前的处理后得1112221222122100000****0**00**a a a A B M A E ⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,由条件式(7)知12120a A ⨯=,由此说明120a =或120A ⨯=,则类似之前讨论,可证结论成立.最后证一般情形,处理后的()()()()()()()000000**00**rrr n r s n r s n r s n r s sn r rs n r s ss s n r s ss sr rA A A A AA AB B M B E ⨯----⨯----⨯-⨯⨯--⨯--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中ss B 是可逆矩阵. 由条件式(7)可得()()()()()()0i r n r s n r s s r n r s n r s n r s n r s s A A A A A ⨯----⨯⨯----⨯----⨯==,1,2,,2i n =-. (10)若()0r n r s A ⨯--=或()0n r s s A --⨯=,则对应的rr A 可逆或ss A 可逆,则进行适当的初等行变换或列变换就得到我们想要的式(8)或“对称”的类似式,总之都能得证.反之,我们可以继续对()()()(),,r n r s n r s n r s n r s s A A A ⨯----⨯----⨯仿照矩阵,,C A B 的形式进行分块,经过适当处理后可得到()()n r s n r s A --⨯--中类似式(10)的条件式,并重复上述判别,若能消去()r n r s A ⨯--或()n r s s A --⨯中对应的类似“r E ”或“ss B ”的矩阵,则能消去r E 或ss B ,进而证明结论.不行的话就对新得到的条件式中的相应矩阵再分块…,由于n 是有限数,如此进行下去,最终能得到条件0LN =,而其中一定有一个矩阵是一阶的,也就是一定有0L =或0M =,再经过适当行变换列变换可使M 变成类似式(8)的矩阵,从而结论得证.。

分块矩阵是指将一个矩阵按照一定的规则分成若干个小块，每个小块都是一个矩阵。

分块矩阵在矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程。

下面通过例题来详解分块矩阵的运算方法。

例题1：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求AB和BA。

解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则AB = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡可以看出，AB和BA的每个元素都是原矩阵对应位置元素的乘积之和，因此可以直接计算得到结果。

例题2：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求A^2和(AB)^2。

解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则A^2 = AB * BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡×⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡＝ (ai*mi + ai*ni + bi*mi + bi*ni + ...) * (mi*ai + mi*ai + ni*bi + ni*bi + ...)＝ (a^2 + b^2) * (a^2 + b^2) = a^4 + b^4 + 2a^2b^2.同理可得，(AB)^2 = (a^2 + b^2)(m^2 + n^2) = a^4 + b^4 + a^2m^2 + b^2n^2.。

矩阵分块求行列式矩阵分块求行列式是一种通过将一个大矩阵分割成多个小矩阵来计算行列式的方法。

这种方法通常在处理大型矩阵时非常有用，因为它可以将复杂的行列式计算问题简化为计算较小矩阵的行列式问题。

具体来说，假设我们有一个n×n的矩阵A，可以将其分成若干个大小相等的块矩阵。

设A的形式如下：A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm]其中，每个Aij都是一个子矩阵。

根据矩阵行列式的性质，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式：det(A) = det([A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm])根据该公式，我们可以将整个矩阵的行列式计算问题转化为计算每个子矩阵的行列式问题。

这样做的好处是，每个子矩阵的大小通常较小，因此计算它们的行列式相对容易。

例如，假设我们将矩阵A分成4个大小相等的子矩阵：A = [A11 A12A21 A22]其中，A11、A12、A21和A22都是n/2×n/2的子矩阵。

那么，根据上述公式，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式：det(A) = det([A11 A12A21 A22])接下来，我们可以依次计算子矩阵A11、A12、A21和A22的行列式，并将它们的值代入上述公式来计算整个矩阵的行列式。

需要注意的是，矩阵分块求行列式的关键在于合理选择子矩阵的大小和分割方式。

通常情况下，选择子矩阵的大小使得它们的行列式能够更容易地计算出来。

此外，还需要考虑子矩阵之间的关系，以确保计算的正确性。

总结起来，矩阵分块求行列式是一种通过将大矩阵分解成小矩阵来计算行列式的方法，可以简化复杂的计算问题。

然而，具体的分块策略需要根据矩阵的特点和计算要求进行合理选择。

矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。

矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。

表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。

例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。

例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。

例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。

规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。

例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。

逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。

第8讲矩阵的直积及其应用内容：1.矩阵直积的定义与性质2.矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程 研究领域有十分重要的应用.运用矩阵直积运算，能够将线 性矩阵方程转化为线性代数方程组.§ 1矩阵直积的定义与性质 1.1矩阵直积定义1.1 设A=（a j ）・c mn , Bwc pq ，称如下的分块积，张量积），记为A ® B . A ®B 是一个m"个块的分块矩阵， 简写为 A 二 B =(a ij B) C mp nq .显然A _ B 与Bi A 为同阶矩阵，但一般 A ： B = B ： A ，即矩例1.1 设 A t ;], —Jxy T 二X ： y T ，称xy T 为向量x 与y 的外积.#1 -1 0 0、*1 0-1 0B =,A =2 0 1T 」 7<0 1 0T 」右 x = (X 1,X 2,…，X n )T , y = (%”2,…，y n )T • C n , 则a n Ba 12B … a 1n B矩阵B =a 21B I-a 22B … a 2n B al a m1Ba m2B …amnB为A 与B 的直积（Krionecker阵的直积不满足交换律对单位矩阵， 有 E m ： E n 二 E n ： E mmn ・定义1.21.2 矩阵直积的性质定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质:(1)k(A ：B) =(kA) ：B = A ：(kB)；(2)(A：B)：C=A：(B：C)；(3) A ：工(B C) = A：." B A：.“ C , (B C )：." A = B ：.“ A C ：.“ A ；(4)(A ：B)^A T：B T；(5)(A ：B)H= A H：B H；(6)若A C m n B C p q,C • C n s,D C q t,则(A ：B)(C ：D) =(AC) ：(BD),若 B 二E g , C 二E n，贝y (A ：E g)(E n ：D) = A _ D ；(7)若A , B均可逆，则A _ B可逆，且(A： B)"1"'：B J；(8)若A和B都是对角矩阵、上(下)三角矩阵、实对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则A二B也分别是这种类型的矩阵.l定义 1.3二元复系数多项式为 f (x, y)二為cx y j，若矩阵,j=0A C m m,BC n n，则mn阶矩阵f(A,B) l八 C j A i : B j，其中A^ E m , i,j £B— E n .定理1.2l设 f (x, y) = V C ij X i y j,i,j=0lf(A,B)八• C j A，：B j, A m m 的i, j=0特征值为‘1,‘2,…,'m , B nn的特征值为」1匕，…,J，则f (代B)的全体特征值为fU j)，(i =1,2/ ,m, j =1,2/ ,n).证明由Schur定理知存在酉矩阵P,Q使得% *、佔*、P H AP = '-2+=A , QH AQ =+=B1 ,I '-m丿其中A , B i为上三角矩阵，由定理 1.1知，P：Q为酉矩阵，A ： B i j为上三角矩阵，贝Ul(P . Q)」f(A, B)(P _ Q)=為q(p H _ Q H)(A i - B j)(P ： Q)i,j=0l l二 ' C j(P H A i P^ (Q H B j Q)二 ' C j A；：B?二f(A,BJi,j =0 i,j=0也是上三角矩阵.且f （代B）与f（A；,B i）有相同的特征值.则f（A,,B；）的对角元即为f （A,B）的全部特征值.因为勺 1 B1j* ' 个k出* \A1@ =爲B j+，，-k B1 =< 几j 2 i A j< 人kh因此，f(A；,B i)的对角元为f('「j)，(i =12…，m, j =1,2,…，n).推论1.1 设A m渐的特征值为几入2,…，g , B n濒的特征值为•1匕,…C，则(1 ) A：B 的特征值为v l j , (i =1,2,…，m, j =1,2,…，n)；(2 ) A：E n E m：B的mn个特征值为「和，i=1,2，…，m , j =12 ,n ；(3)det(A ： B) =(det A))n (det(B))m；(4)tr(A ： B) =(trA)(trB).定理1.3 设 A C m n,B C p q，贝》rank(A ： B) =rank(A) rank(B).证明记rank(A)=「A , rank(B)=「B，有相应阶数的可逆矩阵PQS,T 使得PAQ=£A :L A I'SB T J] :1=B I , 1 0 0 1 0 0贝U A： B =(P J A I Q J^(S^B I T」)=(P「S」)(A I：B I)(Q‘：T‘)，由S」,Q「T 1可逆，则rank(A ： B)=rank(A ： BJ = r A r B二rank (A) rank(B).§ 2矩阵直积在解矩阵方程中的应用2.1 矩阵的拉直定义2/ 设 A =®)乏C m妙，码=(%®,…&)丁, (i =1,2,…,n)，令vec(A)=以;，称vec(A)为矩阵A的列拉直.矩阵A也可以按行拉芒n丿直为行向量，记作rvec(A)，有rvec( A) = (vec(A T ))T, vec(A T) = (rvec(A))T.定理 2.1 设A c m n,B• c n P,C • C p q，贝yvec(ABC) =(C T _ A)vec(B).证明记B^bb, ,b p),C=(cpC2, ,C q),则广AB GAB C2vec(ABC) = (ABc「AB C2，…，ABc q)=lABC q而AB G = 5人6 c2i Ab2飞pi Ab p = (5 A,c2i A, ,c pi A)vec(B)，c11A c21A …c p1A'_pz. c|2 A C22A c p2 A T故vec(ABC) = ：::: vec(B) = (C T竖A)vec(B).fjqAGqA C pq A 』 推论 2.1 设 A E C m >m ,B E C n >n ,X E C 吶，贝U(1) vec(AX) =(En ： A)vec(X); (2) vec(XB) =(B] E m )vec(X);(3)vec(AX XB)=(E n ： A 〜丁 ： E m )vec(X).2.2线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程( Lyapunov 型方程)AX XB 二F 的求解问题，其中A C m m ，C nn ，F • C m n 为已知常数矩阵，x c mn 为未知矩阵.利用矩阵的直积和拉 直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法一般的线性矩阵方程可表示为A .XB 1 • A 2XB 2• A p XB p 二C ，其中A ・C mm ,B 「C nn (i =12 ,P ),C C mn 为已知常数矩阵，X C mn 未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程 MBr A 2XB 2A p XB p 二c 有解的充分必要条件是 rank(A) = rank(A ：b)，其中 A -、B 「： A ，b = vec(C)，imA C mm ,B 「C nn (i =1,2' ,p),^ C m n 为已知常数矩阵，X- C mn 未知 矩阵.pp证明 7 AXB j =C 有解，=vecL A XB j )=vec(C)有解i =1i =1pp='、vec (AXBj =vec(C)有解，=' (Bj ： AJvec(X) =vec(C)有解i =1i dau rank (A) = rank (A b)定理2.3 设A mm 的特征值为■1/2/ ,'m ，B n n 的特征值为 人廿…,叫，则矩阵方程 AX • XB 二F 有唯一解的充要条件是i」j =0 , (i =1,2,…,m, j =1,2,…,n)，其中 A C m m, B C n n, F • C m n 为已知常数矩阵，X c mn为未矩阵.证明AX X^F 有唯一解，二vec(AX • XB)二vec(F)有唯一解二(E「A • Bj E m)vec(X)二vec(F)有唯一解= E^ A B^ Em的特征值不为零二i W =0 (i =1,2, ,m, j =1,2/ ,n)推论2.1 设A^xm的特征值为九」2,…丄m，B n述的特征值为•1,廿…，叫，则矩阵方程AX XB =0有非零解的充分必要条件是存在i 与j，使入+u j =0，(1 兰i 兰m,1 兰j 兰n).推论2.2 设A^C叹，则矩阵方程AX+XA—F有唯一解的充分必要条件是'S时必有• X /■ (A)，其中-(A)为A的谱，—为的共轭复数•定理2.4 设A mm的特征值为■1,'2/' ,-m , B n n的特征值为l，…,^n ,则矩阵方程V A'XB^ F有唯一解的充分必要条件是i m1 • Jj •…(C。

矩阵的运算和分块矩阵：数域 F 上 m ∗n 个数构成的数表。

虽然它只是⼀个数表，但这组数可以赋予多个不同的含义，如向量，⽅程系数，线性变换等，理解的⾓度不同，矩阵的运算便代表不同的含义。

单纯来看矩阵，其实就是⼀种书写⼿法，正是赋予了相应地运算，才能够使其具有⼀定地表现⼒。

1. 下⾯介绍下矩阵定义了哪些基本运算。

1）加减运算：两个 m ×n 的矩阵 A =(a ij ),B =(b ij )，两个必须为同型矩阵，它们的加法规定为(A +B )ij =a ij +b ij2）数乘运算：数 k 与矩阵 A 的乘积，记为 Ak 或者 kA ，规则为(kA )ij =(Ak )ij =ka ij3）矩阵转置：把矩阵 A 的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，称为 A 的转置矩阵，其规则为A T =(a ji )4）矩阵相乘：设矩阵 A =(a ij )ms ,B =(b ij )sn ，两个矩阵不必为同型矩阵，其乘法运算规定为AB =s∑k =1aik b kjm ×n以 k 来遍历，对于 A 矩阵，k 遍历第 i ⾏的每⼀个元素，对于 B 矩阵，k 遍历第 j 列的每⼀个元素，由于使⽤⼀个计数变量 k ， 故相乘的两个矩阵必须满⾜前⼀个矩阵的列数等于后⼀个矩阵的⾏数。

第 i ⾏第 j 列的内积和作为结果矩阵第 i ⾏第 j 列的值。

这样规定矩阵的乘法后，发现它具有很多合理性： 1）满⾜结合律：ABC = A (BC ) 2）满⾜分配律：A (B +C ) = AB +AC 但是不满⾜交换律，即 AB ≠BA 。

是不是很神奇，下⾯我们对结合律做⼀个证明： 设矩阵 A =(a ij )mn ,B =(b ij )np ,C =(c ij )pq ，则(ABC )ij =p∑k =1(AB )ik C kj =p∑k =1n∑l =1A il B lk C kj =p∑k =1n∑l =1A il B lk C kj=n ∑l =1p∑k =1A il B lk C kj=n∑l =1A il p∑k =1B lk C kj=n∑l =1A il (BC )lj =(A (BC ))ij注：理解连续求和，需要从外向内解读，相当于嵌套的 for 循环。