福建省泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查理科数学试卷 答案2

2013年福建普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷(选择题）和第II卷(非选择题），第II 卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照題号在各题的答题区域（黑色线框）内作答， 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 做选考题时,考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑.5. 保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：样本数据n x x x ,21，的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Sh V 31=，其中x 为样本的平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 24R S π=，334R V π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 表示球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. 已知复数z=1+i,A. z =-1-iB. | =2 D.2.已知向量a= (m 2，4)，b=(1，1)则“m= -2”是“a//b”的 A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3. 函数)22(cos log )(21ππ<<-=x x x f 的图象大致是4. 执行如图所示的程序框图,若输入的x 值为2，则输出的x 值为A. 3B. 126C. 127D. 1285. 设M ，N 是两条不同的直线，A ，β是两个不同的平面.下列命题正确的是 A. 若m//n, m 丄β,则n 丄β B. 若m//n ，m //β，则 n //βC. 若m //a ，m//β，则 a //βD. 若n 丄a, n 丄β,则a 丄β6. 已知函数1cos sin 32sin 2)(2-+=x x x x f 的图象关于点（ϕ，0)对称，则ϕ的值可以是A. -6πC.12π 7. 设抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为L ,P 为抛物线上一点，PA 丄l，垂足为A,如果ΔAPF 为 正三角形，那么|P F |等于A , 34B . 36C 6D . 128. 在矩形ABCD 中，AB = 1 ,AD),(R ∈+=μλμλ,则μλ3+的最大值为A.4236+ 9. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤--=0,ln 0,1)(2x x x kx x xx f 有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是A. (-4,0)B, ( -∞ ,0]C. ( -4,0]D, ( - ∞ ,0)10. 设数集S={a,b,c,d}满足下列两个条件： (1)S xy S y x ∈∈∀,,; (2) yz xz y x S z y x ≠≠∈∀则或,,,现给出如下论断：①A ，B ，C ，D 中必有一个为0; ②A 、b,c ，d 中必有一个为1;③若x∈S且xy =1.，则y ∈S; ④存在互不相等的x,y,z∈S,使得x 2=y,y 2=z.其中正确论断的个数是A 1 B.2 C. 3 D.4第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置. 11.(x+2)4展开式中含x 2项的系数等于________.12.若变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥--20113013y y x y x ，则z =2x +y 的最大值为_____.点A，则ΔMOA的面积等于______.14.如图.A1，A2，…A m-1(m≥2)将区间[0,l] m等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=e x所围成的区域为Ω1图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点,则该点取自Ω2的概率等于______.15.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=lg(10x+10y),x,y∈R 当.x①（a*b) * c=a* (b* c); ②（a * b)+c=(a+c) * (b+c);其e正确的结论是_____.(写出所有正确结论的序号）三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. (本小题满分13分）某几何体ABC-A1B1C1的三视图和直观图如图所示.(I)求证:A1C丄平面AB1C1(II)求二面角C1-AB1 -C的余弦值.17 (本小题满分13分）国IV标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80mg/km.根据这个标准，检测单位 从某出租车公司运营的A,B 两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量 进行检测，检测结果记录如下（单位:mg/km)由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A 、B 两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等,方差也相等.(I)求表格中x 与y 的值；(II )从被检测的5辆B 种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km” 的车辆数为ξ求ξ的分布列和数学期望.18. (本小题满分13分）如图,我海监船在D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行 至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东(I)求此时该外国船只与D 岛的距离；(II)观测中发现,此外国船只正以每小时4海里的速度 沿正南方向航行.为了将该船拦截在离D 岛12海 里处，不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海 监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据：）19. (本小题满分13分）)0(122>>=+b a by 的左、右焦点分别为F 1 F 2 ,(I)求椭圆E 的方程；(II)给出命题:“已知P 是椭圆E 上异于A 1,A 2的一点,直线 A 1P,A 2P 分别交直线l:x=t(t为常数）于不同两点M ，N, 点Q 在直线L 上.若直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共 点P,则Q 为线段MN 的中点”，写出此命题的逆命题，判 断你所写出的命题的真假,并加以证明；(III)试研究(II)的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双 曲线有且只有一个公共点S 的直线m ，并写出作图步骤. 注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.20. (本小题满分14分）已知函数x f =)((I )求a,b 的值及f(x)的单调区间；x 且与曲线y=f(x)没有公共点的直线？证明你的结论； (III ）设数列{a n }满足a 1=λ(λ≠l),a n + 1 =f(a n )，若{a n }是单调数列，求实数λ的取值 范围.21. 本题有（1)、（2)、（3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做， 则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.并 将所选题号填人括号中.(1) (本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1234 M ，向量，a=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 57a (I)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(II)求M 3a(2) (本小题满分7分）选修4-4:极坐标与参数方程 如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1，0),半径为1. (I )求圆C 的极坐标方程；(II)若以极点0为原点,极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=6sin 1πt y t x(3)(本小题满分7分）选修4一5 ：不等式选讲 已知函数x x x f -+=52)((I)求证：5)(≤x f ，并说明等号成立的条件；(II)若关于x 的不等式. |2|)(-≤m x f 恒成立,求实数m 的取值范围，。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013福建，理1)已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：由z＝1＋2i，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．(2013福建，理2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，故a＝3是A⊆B的充分条件；而若A⊆B，则a不一定为3，当a＝2时，也有A⊆B．故a＝3不是A⊆B的必要条件．故选A．3．(2013福建，理3)双曲线24x－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()．A．25B．45C D答案：C解析：双曲线24x－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x=±，即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离5d===.4．(2013福建，理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()．A．588 B．480 C．450 D．120答案：B解析：×10×(15．(2013福建，理5)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()．A．14 B．13 C．12 D．10答案：B解析：a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.6．(2013福建，理6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()．A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和答案：A解析：当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；……S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．(2013福建，理7)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()．AB． C ．5 D ．10 答案：C解析：∵AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD .又|AC |=，|BD |==S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝5. 8．(2013福建，理8)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案：D解析：选项A ，由极大值的定义知错误；对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．9．(2013福建，理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )． A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案：C解析：∵{a n }是等比数列， ∴1mn m m n ma a +(-)+＝q mn＋m －m (n －1)－m＝q m ，∴1n nc c +＝1211121··mn mn mn m m n m n m n m a a a a a a +++(-)+(-)+(-)+⋅⋅⋅⋅＝(q m )m ＝qm 2. 10．(2013福建，理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q答案：D解析：由题意(1)可知，S为函数y＝f(x)的定义域，T为函数y＝f(x)的值域．由(2)可知，函数y＝f(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y ∈N，满足条件；对于B，构造函数8,1,51,13,2xyx x-=-⎧⎪=⎨(+)-<≤⎪⎩满足条件；对于C，构造函数ππtan22y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈(0,1)，满足条件；对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013福建，理11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＞0”发生的概率为________．答案：2 3解析：由3a－1＞0得13a>，由几何概型知112313P-==.12．(2013福建，理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．答案：12π解析：由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径2r==r=S球＝4πr2＝4π×3＝12π.13．(2013福建，理13)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝3，AB＝AD＝3，则BD的长为________．解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝π2 .∵sin∠BAC＝3，∴πsin2BAD⎛⎫∠+=⎪⎝⎭∴cos∠BAD.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝2＋32－2××3×3＝3.∴BD.14．(2013福建，理14)椭圆Γ：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C．若直线y x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．1解析：由直线y(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝C．又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴1)c＝2a，即1e==.15．(2013福建，理15)当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋x n＋…＝11x -.两边同时积分得：111112222220000011d d d d d1nx x x x x x x xx +++++=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111C C C C 2223212n n nn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.答案：113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析：由0122C C C C n nn n n n x x x ++++…＝(1＋x )n ，两边同时积分得：1111012222220C1d Cd Cd Cd n n nnnnx x x x x x x ++++⎰⎰⎰⎰120(1)d n x x =+⎰，＝1111201111131|11112112n n n x n n n n +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(2013福建，理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=， 从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭， 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115， 即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E(X2)＝0×25＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)＞E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．17．(2013福建，理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x .(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x＞0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x ax，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝A．又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．18．(2013福建，理18)(本小题满分13分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连结OB i，过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y . 所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2＜0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0. 解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上． 证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得P i 的坐标为2,10i i ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)同解法一．19．(2013福建，理19)(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值； (3)现将与四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)．解：(1)取CD 的中点E ，连结BE . ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ， 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， 所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AA ⋅⋅n n 67=， 解得k ＝1，故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩20．(2013福建，理20)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象． (1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)是否存在x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得f (x 0)，g (x 0)，f (x 0)g (x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a 与正整数n ，使得F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x . 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x ＜2，0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解． 设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．因为x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增．又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π42G ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0， 即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0.当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解， 所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x =-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π)∪(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况． 令()cos2sin x h x x=-，x ∈(0，π)∪(π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =. 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞.故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2 013个交点；又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342.综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F(x)＝a sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋a sin x＋1.现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．设t＝sin x，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)＝1＞0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.当a＞1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)(另一个零点t2＞1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；当a＜－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2＜－1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；当－1＜a＜1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2∈(0,1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，nπ)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．当a＝1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．21．(2013福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵 1 20 1A ⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. ①求实数a ，b 的值；②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点P 的坐标． (2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为π4⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为ρπcos 4θ⎛⎫-⎪⎝⎭＝a ，且点A 在直线l 上． ①求a 的值及直线l 的直角坐标方程；②圆C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． (3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ． ①求a 的值；②求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．(1)选修4—2：矩阵与变换解：①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩ ②由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．(2)选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①由点A π4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a上，可得a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d2＜1， 所以直线l 与圆C 相交．(3)选修4—5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -≥，解得12＜a≤32.又因为a∈N*，所以a＝1.②因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.。

2013届泉州市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1． B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 9 C ． 10．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、； 12、15； 13、ln 1x +； 14、3； 15、4个③和1个⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．本小题主要考查三角函数的性质、两角和与差的三角函数公式、解三角形以及数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分． 解：（Ⅰ） a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.……………………………………1分又1cos 2C =-， ∴222122a b c ab +-=-， …………………………4分 ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.………………………………5分 又 4c >，∴7c =. ………………………………………6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，………………8分11分…………………………12分……………………13分17．本小题主要考查概率统计的基础知识和独立性检验、频率估计概率、样本估计总体等统计思想方法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分．解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，它的分布列为………………………………………………………………3分则有()E X=3×0.8+1×0.14+（-1）×0.06=2.48（元）.所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元.………6分（Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个.制作2×2列联表如下:……9分计算2K=2100(40203010)1004.7625050703021⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.…………………………11分考察参考数据并注意到3.841 4.762 5.024<<，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．………………………………13分18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、函数等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）在图1中，由平几知识易得DE BC⊥，……1分在图2中，∵,DE BE DE CE⊥⊥，∴BEC ∠是二面角B DE C --的平面角，…………………………………………2分 ∵二面角B DE C --是直二面角，∴BE CE ⊥. ……………………………3分 ∵DE BE E = ，,DE BE ⊂平面ABED ，CE ∴⊥平面ABED ， ………4分 又CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABED ． ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,DE BE CE 两两互相垂直，以E 为原点，分别以,,EB EC ED 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示．(2,0,0)B ，(0,1,0)C ,0).设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，8分10分11分 ==…………12分所以，当1x =时，||MB 即点M 到点B …………………………………………13分19．本题主要考查抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分13分．解：（Ⅰ）方法一：∵542pMF ==+，∴2p =，…………………………………………2分 ∴抛物线C ：24y x =．…………………………………………………3分 又()()4,0M t t >在抛物线C 上，∴244164t t =⨯=⇒=．∴()4,4M ．…………………………………4分A B C D E 图1 F方法二：∵()()4,0M t t >为抛物线C 上的点，∴28t p =…①. …1分∵抛物线C : ()220y px p =>的焦点F 坐标为(,0)2p，且5MF =， ∴22(4)252p t -+=…②． …3分 联立①②解得2,4(0)p t t ==>，∴抛物线C 的方程为24y x =，点M 的坐标为()4,4. …4分（Ⅱ）（ⅰ）设直线()11:44l y k x -=-，∵1l 与抛物线C 交于M 、A 两点，∴10k ≠.………………5分由()12444y k x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得：211416160k y y k -+-=，………………6分设()11,A x y ，则111114416164y k k y k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，……………………………7分∴()211112114144,k k y x k k --==，即()2112114144,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.………………8分 同理可得()2222224144,k kB k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…………………………………………9分 12210,k k k k +=∴=- ，()2112114144,k k B k k ⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭. ∴()()111132211214444124141AB k k k k k k k k k -+--===---+．………………10分（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知()()()()()121221123212122112122221212121244442411.141122k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----==+----==-+--+1321121k k k ∴+-=，1231112k k k +-=，即证得123111k k k +-为定值．……………13分 20．本题主要考查函数、导数、零点、算法初步等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）∵()3331f x x x =--，∴()2333f x x '=-，……………1分当1x >时，()30f x '>；当01x <<时，()30f x '<.……………3分∴当1x =时，()3f x 取得唯一的一个极小值3-，无极大值.……………………………4分（Ⅱ）函数()n f x在区间上有且只有一个零点. ……………5分3110-=-<，3110nf =-=>，0nnf f ⋅<，∴函数()n f x在区间上必定存在零点. …………………………6分∵()23n f x x n '=-，∴当x∈时，()220n f x n n '>-=>，∴()n f x在区间上单调递增， ………………………8分∴函数()n f x在区间上的零点最多一个. ………………………9分综上知：函数()n f x在区间上存在唯一零点．（Ⅲ）程序框图的算法功能：找出最小的正整数n ,使()n f x 的零点n an a ≥.………………………10分∵31n f n =-⎝⎭⎝⎭1=-， ∴当03n <≤时，0()2n n n f f a ⎛<= ⎝⎭； 当4n ≥时，0()n n n f f a >=⎝⎭. ……11分 又 ()n f x在区间上单调递增，∴当3n ≤时，2n a <；当4n ≥时，2n a >.……………13分∴输出的n 值为4． …………………………………………………………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）复合变换90R σ︒⋅对应的矩阵为0110-⎛⎫= ⎪⎝⎭AB 1010210012-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………3分 所以，复合变换90R σ︒⋅的坐标变换公式为12x y y x '=-⎧⎪⎨'=⎪⎩. ……………4分（Ⅱ）设圆C 上任意一点(,)P x y 在变换90R σ︒⋅的作用下所得的点为(,)P x y '''，由（Ⅰ）得12x yy x '=-⎧⎪⎨'=⎪⎩，即2x y y x '=⎧⎨'=-⎩，………………………………………5分 代入圆:C 221x y +=，得22(2)()1y x ''+-=，所以，曲线C '的方程是2241x y +=．………………………………………7分（2）（本小题满分7分）选修4—4:坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想.满分7分.（Ⅰ）由2,x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0y +-=，\直线l0y +-=. ……………………………3分（Ⅱ）当0y =时，2x =，\点P 的直角坐标为(2,0)；当0x =时，y =\点Q的直角坐标为．∴线段PQ 的中点M的直角坐标为，∵2ρ==和tan 1θ==，且10,0x y =>>，………5分∴M 的极坐标为(2,)3p ， ……………………………………………………6分 直线OM 的极坐标方程为：()3R pq r =． …………………………………7分 （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想.满分7分.（Ⅰ）∵不等式21|x |->的解集为{|13}x x x <>或，……………………1分∴不等式20x ax b -+>的解集为{|13}x x x <>或.从而1,3为方程20x ax b -+=的两根，………………………………………2分10930a b a b -+=⎧∴⎨-+=⎩， 解得：4,3a b ==．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为]5,3[，且显然有0>y ，由柯西不等式可得：y =≤=……………5分当且仅当3354-=-x x 时等号成立， ………………………………………6分 即25107=x 时，函数取得最大值25．………………………………………………7分。

数学试题(理工农医类)(福建卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013福建,理1)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由z=1+2i,得z=1-2i,故复数z对应的点(1,-2)在第四象限.2.(2013福建,理2)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若a=3,则A={1,3}⊆B,故a=3是A⊆B的充分条件;而若A⊆B,则a不一定为3,当a=2时,也有A⊆B.故a=3不是A⊆B的必要条件.故选A.3.(2013福建,理3)双曲线x 24-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于().A.25B.45C.2√55D.4√55答案:C解析:双曲线x 24-y2=1的顶点为(±2,0),渐近线方程为y=±12x,即x-2y=0和x+2y=0.故其顶点到渐近线的距离d=√1+4=√5=2√55.4.(2013福建,理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为().A.588B.480C.450D.120答案:B解析:由频率分布直方图知40~60分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2,故估计不少于60分的学生人数为600×(1-0.2)=480.5.(2013福建,理5)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为().A.14B.13C.12D.10答案:B解析:a=0时,方程变为2x+b=0,则b为-1,0,1,2都有解;a≠0时,若方程ax2+2x+b=0有实数解,则Δ=22-4ab≥0,即ab≤1.当a=-1时,b可取-1,0,1,2.当a=1时,b可取-1,0,1.当a=2时,b可取-1,0,故满足条件的有序对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.6.(2013福建,理6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是().A.计算数列{2n-1}的前10项和B.计算数列{2n-1}的前9项和C.计算数列{2n-1}的前10项和D.计算数列{2n-1}的前9项和答案:A解析:当k=10时,执行程序框图如下:S=0,i=1;S=1,i=2;S=1+2,i=3;S=1+2+22,i=4;… …S=1+2+22+…+28,i=10; S=1+2+22+…+29,i=11.7.(2013福建,理7)在四边形ABCD 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2),则该四边形的面积为( ). A.√5 B.2√5 C.5 D.10答案:C解析:∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-4)+2×2=0,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+22=√5,|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-4)2+22=√16+4=2√5,S 四边形ABCD=12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5. 8.(2013福建,理8)设函数f (x )的定义域为R ,x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点,以下结论一定正确的是( ). A.∀x ∈R ,f(x)≤f(x 0) B.-x 0是f(-x)的极小值点 C.-x 0是-f(x)的极小值点 D.-x 0是-f(-x)的极小值点 答案:D解析:选项A ,由极大值的定义知错误;对于选项B ,函数f(x)与f(-x)的图象关于y 轴对称,-x 0应是f(-x)的极大值点,故不正确;对于C 选项,函数f(x)与-f(x)图象关于x 轴对称,x 0应是-f(x)的极小值点,故不正确;而对于选项D ,函数f(x)与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,故正确.9.(2013福建,理9)已知等比数列{a n }的公比为q ,记b n =a m (n-1)+1+a m (n-1)+2+…+a m (n-1)+m ,c n =a m (n-1)+1·a m (n-1)+2·…·a m (n-1)+m (m ,n ∈N *),则以下结论一定正确的是( ).A.数列{b n }为等差数列,公差为q mB.数列{b n }为等比数列,公比为q 2mC.数列{c n }为等比数列,公比为q m 2D.数列{c n }为等比数列,公比为q m m 答案:C解析:∵{a n }是等比数列,∴a mn+ma m (n -1)+m =q mn+m-m(n-1)-m =q m ,∴c n+1c n=a mn+1·a mn+2·…·a mn+m am (n -1)+1·a m (n -1)+2·…·a m (n -1)+m=(q m )m =q m 2.10.(2013福建,理10)设S ,T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数y=f (x )满足:(1)T={f (x )|x ∈S };(2)对任意x 1,x 2∈S ,当x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ). A.A=N *,B=NB.A={x|-1≤x ≤3},B={x|x=-8或0<x ≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z ,B=Q 答案:D解析:由题意(1)可知,S 为函数y=f(x)的定义域,T 为函数y=f(x)的值域.由(2)可知,函数y=f(x)在定义域内单调递增,对于A ,可构造函数y=x-1,x ∈N *,y ∈N ,满足条件; 对于B ,构造函数y={-8,x =-1,52(x +1),-1<x ≤3,满足条件;对于C ,构造函数y=tan (π2x -π2),x ∈(0,1),满足条件;对于D ,无法构造函数其定义域为Z ,值域为Q 且递增的函数,故选D .第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013福建,理11)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a -1>0”发生的概率为 . 答案:23解析:由3a-1>0得a>13,由几何概型知P=1-131=23.12.(2013福建,理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是 . 答案:12π解析:由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体,球的直径2r=√22+22+22=√12,所以r=√3,故该球的表面积为S 球=4πr 2=4π×3=12π.13.(2013福建,理13)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin ∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD 的长为 . 答案:√3解析:∵AD ⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠BAD +π2)=2√23, ∴cos ∠BAD=2√23. 由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3. ∴BD=√3.14.(2013福建,理14)椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=√3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 答案:√3-1解析:由直线y=√3(x+c)知其倾斜角为60°,由题意知∠MF 1F 2=60°,则∠MF 2F 1=30°,∠F 1MF 2=90°. 故|MF 1|=c,|MF 2|=√3c.又|MF 1|+|MF 2|=2a,∴(√3+1)c=2a, 即e=√3+1=√3-1.15.(2013福建,理15)当x ∈R ,|x|<1时,有如下表达式: 1+x+x 2+…+x n +…=11-x. 两边同时积分得:∫ 1201d x+∫ 120x d x+∫ 120x 2d x+…+∫ 120x n d x+…=∫12011-xd x,从而得到如下等式:1×12+12×(12)2+13×(12)3+…+1n+1×(12)n+1+…=ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:C n0×12+12C n1×(12)2+13C n2×(12)3+…+1n+1C n n ×(12)n+1=.答案:1n+1[(32)n+1-1] 解析:由C n 0+C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n =(1+x)n ,两边同时积分得:C n 0∫ 1201d x+C n 1∫ 120x d x+C n 2∫ 120x2d x+…+C n n ∫ 120x nd x=∫ 12(1+x)n d x, 12C n0+12C n 1(12)2+13C n 2(12)3+…+1n+1C n n(12)n+1=[1n+1(1+x )n+1]|012=1n+1(1+12)n+1−1n+1=1n+1[(32)n+1-1]. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013福建,理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X ≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A, 则事件A 的对立事件为“X=5”, 因为P(X=5)=23×25=415,所以P(A)=1-P(X=5)=1115,即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2).由已知可得,X 1~B (2,23),X 2~B (2,25),所以E(X 1)=2×23=43,E(X 2)=2×25=45, 从而E(2X 1)=2E(X 1)=83,E(3X 2)=3E(X 2)=125. 因为E(2X 1)>E(3X 2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A,则事件A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的事件,因为P(X=0)=(1-23)×(1-25)=15,P(X=2)=23×(1-25)=25,P(X=3)=(1-23)×25=215, 所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=1115, 即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1,都选择方案乙所获得的累计得分为X 2,则X 1,X 2的分布列如下:所以E(X 1)=0×19+2×49+4×49=83,E(X 2)=0×925+3×1225+6×425=125. 因为E(X 1)>E(X 2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 17.(2013福建,理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)=x-a ln x(a ∈R ). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ax.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-2x (x>0), 因而f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. (2)由f'(x)=1-ax =x -ax,x>0知:①当a ≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.又当x ∈(0,a)时,f'(x)<0;当x ∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a 处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a 处取得极小值a-a ln a,无极大值.18.(2013福建,理18)(本小题满分13分)如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1,A 2,…,A 9和B 1,B 2,…,B 9.连结OB i ,过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9).(1)求证:点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M,N,若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1,求直线l 的方程.解法一:(1)依题意,过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x=i ,B i 的坐标为(10,i),所以直线OB i 的方程为y=i 10x. 设P i 的坐标为(x,y),由{x =i ,y =i 10x ,得y=110x 2,即x 2=10y.所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E 的方程为x 2=10y. (2)依题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx+10. 由{y =kx +10,x 2=10y ,得x 2-10kx-100=0,此时Δ=100k 2+400>0,直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M,N.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则{x 1+x 2=10k ,①x 1·x 2=-100,②因为S △OCM =4S △OCN ,所以|x 1|=4|x 2|. 又x 1·x 2<0,所以x 1=-4x 2,分别代入①和②,得{-3x 2=10k ,-4x 22=-100,解得k=±32. 所以直线l 的方程为y=±32x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0. 解法二:(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E :x 2=10y 上.证明如下:过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x=i , B i 的坐标为(10,i),所以直线OB i 的方程为y=i10x.由{x =i ,y =i 10x ,解得P i 的坐标为(i ,i 210),因为点P i 的坐标都满足方程x 2=10y,所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E 的方程为x 2=10y. (2)同解法一.19.(2013福建,理19)(本小题满分13分)如图,在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD,AB ∥DC,AA 1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0). (1)求证:CD ⊥平面ADD 1A 1;(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67,求k 的值;(3)现将与四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).解:(1)取CD 的中点E,连结BE.∵AB ∥DE,AB=DE=3k, ∴四边形ABED 为平行四边形, ∴BE ∥AD 且BE=AD=4k.在△BCE 中,∵BE=4k,CE=3k,BC=5k, ∴BE 2+CE 2=BC 2, ∴∠BEC=90°,即BE ⊥CD, 又∵BE ∥AD,∴CD ⊥AD.∵AA 1⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD, ∴AA 1⊥CD.又AA 1∩AD=A, ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4k,0,0),C(0,6k,0),B 1(4k,3k,1),A 1(4k,0,1), 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4k,6k,0),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3k,1),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). 设平面AB 1C 的法向量n =(x ,y ,z ),则由{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{-4kx +6ky =0,3ky +z =0.取y=2,得n =(3,2,-6k ).设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ,则sin θ=|cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n || =√36k +13=67, 解得k=1,故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案.f(k)={72k 2+26k ,0<k ≤518,36k 2+36k ,k >518. 20.(2013福建,理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为(π4,0).将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;(2)是否存在x 0∈(π6,π4),使得f (x 0),g (x 0),f(x 0)g (x 0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x 0的个数;若不存在,说明理由;(3)求实数a 与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n π)内恰有2 013个零点.解法一:(1)由函数f(x)=sin (ωx+φ)的周期为π,ω>0,得ω=2πT =2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为(π4,0),φ∈(0,π),故f (π4)=sin (2×π4+φ)=0,得φ=π2,所以f (x )=cos 2x. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x 的图象,再将y=cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )=cos (x -π2)的图象,所以g (x )=sin x. (2)当x ∈(π6,π4)时,12<sin x<√22,0<cos 2x<12, 所以sin x>cos 2x>sin x cos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin x cos 2x 在(π6,π4)内是否有解.设G(x)=sin x+sin x cos 2x-2cos 2x,x ∈(π6,π4),则G'(x)=cos x+cos x cos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x ∈(π6,π4),所以G'(x )>0,G (x )在(π6,π4)内单调递增.又G (π6)=-14<0,G (π4)=√22>0,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(π6,π4)内存在唯一零点x 0,即存在唯一的x 0∈(π6,π4)满足题意.(3)依题意,F(x)=a sin x+cos 2x,令F(x)=a sin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=k π(k ∈Z )时,cos 2x=1,从而x=k π(k ∈Z )不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x 的方程a=-cos2x sinx ,x ≠k π(k ∈Z ).现研究x ∈(0,π)∪(π,2π)时方程a=-cos2x sinx的解的情况.令h(x)=-cos2x sinx ,x ∈(0,π)∪(π,2π), 则问题转化为研究直线y=a 与曲线y=h(x),x ∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况.h'(x)=cosx (2sin 2x+1)sin 2x ,令h'(x )=0,得x=π2或x=3π2. 当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:当x>0且x 趋近于0时,h(x)趋向于-∞,当x<π且x 趋近于π时,h(x)趋向于-∞,当x>π且x 趋近于π时,h(x)趋向于+∞,当x<2π且x 趋近于2π时,h(x)趋向于+∞.故当a>1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点.由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2 013个交点;又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.解法二:(1)、(2)同解法一.(3)依题意,F(x)=a sin x+cos 2x=-2sin2x+a sin x+1.现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况.设t=sin x,p(t)=-2t2+at+1(-1≤t≤1),则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线,又p(0)=1>0,p(-1)=-a-1,p(1)=a-1.当a>1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0)(另一个零点t2>1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(π,2π);当a<-1时,函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2<-1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(0,π);当-1<a<1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0),另一个零点t2∈(0,1),F(x)在(0,π)和(π,2π)分别有两个零点.由正弦函数的周期性,可知当a≠±1时,函数F(x)在(0,nπ)内总有偶数个零点,从而不存在正整数n 满足题意.当a=1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0),另一个零点t2=1;当a=-1时,函数p(t)有一个零点t1=-1,另一个零点t2∈(0,1),从而当a=1或a=-1时,函数F(x)在(0,2π]有3个零点.由正弦函数的周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.21.(2013福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换已知直线l:ax+y=1在矩阵A=(1 20 1)对应的变换作用下变为直线l':x+by=1. ①求实数a,b 的值;②若点P(x 0,y 0)在直线l 上,且A (x 0y 0)=(x 0y 0),求点P 的坐标. (2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为(√2,π4),直线l 的极坐标方程为ρcos (θ-π4)=a ,且点A 在直线l 上.①求a 的值及直线l 的直角坐标方程;②圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),试判断直线l 与圆C 的位置关系. (3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲设不等式|x-2|<a (a ∈N *)的解集为A ,且32∈A ,12∉A.①求a 的值;②求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.(1)选修4—2:矩阵与变换解:①设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M'(x',y').由(x 'y ')=(1 20 1)(x y )=(x +2y y ), 得{x '=x +2y ,y '=y .又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,依题意得{a =1,b +2=1,解得{a =1,b =-1.②由A (x 0y 0)=(x 0y 0),得{x 0=x 0+2y 0,y 0=y 0,解得y 0=0. 又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=1.故点P 的坐标为(1,0).(2)选修4—4:坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:①由点A (√2,π4)在直线ρcos (θ-π4)=a 上,可得a=√2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,从而直线l 的直角坐标方程为x+y-2=0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1,所以圆C 的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C 到直线l 的距离d=√2=√22<1,所以直线l 与圆C 相交.(3)选修4—5:不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分. 解:①因为32∈A,且12∉A,所以|32-2|<a,且|12-2|≥a,解得12<a ≤32.又因为a ∈N *,所以a=1.②因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x ≤2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.。