专题8.2 点、直线、平面平行与垂直的判定与性质(原卷版)

专题8.4 直线、平面垂直的判定及性质1.（2020·安徽月考（文））已知直线l 与平面α，β，满足l α⊄且αβ⊥，则“//l α”是“l β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2019·山东高考模拟（文））已知直线a ，b 和平面α，若a α⊂，α⊄b ，则“a b ⊥”是“b α⊥”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2019·山东高考模拟（文））下列说法错误的是（ ） A ．垂直于同一个平面的两条直线平行B ．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C ．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D ．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直4．（2019·河南高三月考（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC=（ ）A.12B.13C.1D.25. （2019·云南高考模拟（文））已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．l β∥或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥6. （2019·福建高考模拟（理））在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=.以下能使11A C BC ⊥的是（ ） A ．AB AC =B ．1AA AC =C ．1BB AB =D ．1CC BC =7．（2020·江苏启东中学高二开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,BC CD 的中点，则（ ） A ．11//MN C DB ．1MN BC ⊥C ．MN ⊥平面1ACD D ．MN ⊥平面1ACC8. （2019·湖南高三月考（理））如图所示，已知正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在的平面，AB 与AC 的交点为O ，M 、P 分别为AB 、EF 的中点，2AB =，1AF =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PCM ． （2）求三棱锥O PCM -的高．9. （2019·江苏海安高级中学高二月考）在四棱锥 P - ABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC.(1) 求证：BC ∥平面 PAD ； (2) 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ．10．（2020·内蒙古宁城·月考（文））在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是边长为2的正方形，且平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，13BCC π∠=，1BC =，D 为1CC 中点.（1）证明：1DB ⊥平面ABD ； （2）求1A 到平面1AB D 的距离.1．（2020·浙江开学考试）已知两个不重合的平面,αβ，若直线l α⊂，则“αβ⊥”是“l β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. （2019·福建高考模拟（理））已知等边△ABC 的边长为2，现把△ABC 绕着边BC 旋转到△PBC 的位置．给出以下三个命题：①对于任意点P ，PA BC ⊥； ②存在点P ，使得PA ⊥平面PBC ； ③三棱锥P ABC -的体积的最大值为1.以上命题正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．（2020·安徽省太和第一中学开学考试）四面体ABCD 中，3AB CD ==，其余棱长均为4，E ，F 分别为AB ，CD 上的点（不含端点），则（ ） A ．不存在E ，使得EF CD ⊥ B ．存在E ，使得DE CD ⊥ C ．存在E ，使得DE ⊥平面ABCD ．存在E ，F ，使得平面CDE ⊥平面ABF4．（2018·山东高考模拟）如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -， ,E F 分别是11,D B A C 上不重合的两个动点，给山下列四个结论：①1CE D F ∥； ②平面AFD ∥平面11B EC ； ③1AB EF ⊥； ④平面AED ⊥平面11ABB A . 其中，正确结论的序号是__________．5．（2018·江苏高三月考）已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）.①若l m ，则αβ∥ ②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥6．（2020·重庆市广益中学校期末）如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC ． 其中正确的是___________7．（2020·北京101中学期末）设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).8．（2019·湖南高三期末（文））如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且//AE DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒．（Ⅰ）证明：EP ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．9．（2019·河北高考模拟（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，ABCD 是梯形，且//BE AD ，22AC CD AD ==，244AD PD BC ===.(1)求证：AE ⊥平面PCD ； (2)求三棱锥B PCD -的体积；(3)在棱PD 上是否存在点M ，使得//CM 平面PAB ？若存在，求PMPD得值；若不存在，说明理由. 10．（2018届云南省师范大学附属中学高三月考二）如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.1．（2020·山东海南省高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°2．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．3．（2017·全国高考真题（文））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______． 4.（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．5．（2018年全国卷II 文）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．6．（2020·全国高考真题（文））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO23π，求三棱锥P−ABC的体积.。

专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′­FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ­ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A ­PBE ＝V P ­ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .。

C组 教师专用题组
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则 ( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
答案 C 对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平行、斜交或异面,故B、 D错;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.故选C. 评析 本题考查了线面平行与垂直的性质及空间两条直线的位置关系.


答案 D 若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若
m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相
交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂
2.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有
.(填写所有正确命题的编号)
2.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B 由已知知m⊥α,若l⊥m,则l∥α或l⊂α.故充分性不成立.若l∥α,则一定有l⊥m.故必要 性成立.选B.
3.(2013课标Ⅱ,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β, 则 ( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l

1 / 8 专题8.4 直线、平面平行的判定及性质 【考纲解读与核心素养】 1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理； 2. 掌握公理、判定定理和性质定理. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 4. 高考预测： （1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明. （2）利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题. （3）空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式, 通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质，考查转化思想、空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力. 5.备考重点： (1) 掌握相关定义、公理、定理； （2）掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法. （3）证明平行关系，要充分利用中点、三角形中位线、平行四边形以及成比例线段.

【知识清单】 知识点1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理

图形

条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，

α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 知识点2．面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理

图形

条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b α∥β，a⊂β 2 / 8

结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 知识点3．线面、面面平行的综合应用 1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况． 2．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：aα，bα，且a∥b⇒a∥α； (3)其他判定方法：α∥β；aα⇒a∥β. 3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l⇒a∥l. 4．两个平面平行的判定 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β； (3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 5．两个平面平行的性质定理 (1)α∥β，aα⇒a∥β； (2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b. 6．与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b； (2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.