一轮复习-直线、平面垂直的判定及其性质

课时作业1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【答案】　D2．(2022·大庆二模)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥β，m α，α∩β＝n，则m∥n【解析】　由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m α，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥m，则n与α相交、平行或n α，故B错误；在C中，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m∥β，m α，α∩β＝n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故D正确．【答案】　D3．(2022·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的是( )A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【答案】　B4．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确结论的序号是________．【答案】　①②③5．(2022·福建四地六校月考)点P在正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的命题序号是________．【答案】　①②④6．(2022·临沂三模)如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．(1)求证：平面SBC⊥平面SOD；(2)如果∠AOC＝∠SDO＝60°，BC＝23，求该圆锥的侧面积．【解】　(1)证明：由题意知SO⊥平面OBC，又BC 平面OBC，∴SO⊥BC，在△OBC中，OB＝OC，CD＝BD，∴OD ⊥BC ，又SO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面SOD ， 又BC 平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SO D ． (2)在△OBC 中，OB ＝OC ，CD ＝BD ， ∵∠AOC ＝60°，∴∠COD ＝60°， ∵CD ＝12BC ＝3，∴OD ＝1，OC ＝2，在△SOD 中，∠SDO ＝60°，又SO ⊥OD ，∴SO ＝3， 在△SAO 中，OA ＝OC ＝2，∴SA ＝7， ∴该圆锥的侧面积为S 侧＝π×OA ×SA ＝27π．7．(2022·铜川二模)如图，△ABC 为边长为2的正三角形，AE ∥CD ，且AE ⊥平面ABC ，2AE ＝CD ＝2．(1)求证：平面BDE ⊥平面BCD ； (2)求三棱锥D BCE 的高． 【解】　(1)如图所示：取BD 边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG ，FG ，EF ，由题意可知，FG 是△BCD 的中位线所以FG ∥AE 且FG ＝AE ，即四边形AEFG 为平行四边形， 所以AG ∥EF由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF 面BDE ， 故平面BDE ⊥平面BCD ．(2)过B 做BK ⊥AC ，垂足为K ，因为AE ⊥平面ABC ， 所以BK ⊥平面ACDE ，且BK ＝2×32＝3所以V 四棱锥B ACDE ＝13×12(1＋2)×2×3＝3V 三棱锥E ABC ＝13×12×2×3×1＝33所以V 三棱锥D BCE ＝V 四棱锥B ACDE －V 三棱锥E ABC ＝3－33＝233因为AB ＝AC ＝2，AE ＝1，所以BE ＝CE ＝5，又BC ＝2 所以S △ECB ＝12×2×5－1＝2设所求的高为h ，则由等体积法得13×2×h ＝233所以h ＝3．8．(2022·石家庄)如图，在四棱锥A EFCB 中，四边形EFCB 是梯形，EF ∥BC 且EF ＝34BC ，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上射影为点G ，且FG ＝3，CF ＝212，BF ＝52．(1)证明：平面FGB ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥E GBC 的体积．【解】　(1)证明：由顶点F 在AC 上投影为点G ，可知，FG ⊥A C ．取AC 的中点为O ，连结OB ，G B ． 在Rt △FGC 中，FG ＝3，CF ＝212，所以CG ＝32． 在Rt △GBO 中，OB ＝3，OG ＝12，所以BG＝13 2．∴BG2＋GF2＝FB2，即FG⊥BG．∵FG⊥AC，FG⊥GB，AC∩BG＝G∴FG⊥面AB C．又FG 面FGB，∴面FGB⊥面AB C．(2)∵EF∥BC，EF 面ABC，BC 面ABC ∴EF∥面ABC．V E GBC＝V F GBC∴三棱锥E GBC的体积V E GBC＝V F GBC＝13×S△GBC×h＝13×334×3＝34．9．(2022·保定二模)如图，在四棱锥P ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PBD；(Ⅱ)若PE＝3，求点B到平面PEM的距离．【解】　(Ⅰ)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PO⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥PO．因为OP 平面PBD，BD 平面PBD，且OP∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD．所以平面PAC⊥平面PBD．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OP为点P到平面BME的高．所以V B PEM＝V P BEM＝13S△BEM×OP．连接OE．因为PO⊥平面ABCD，OE 平面ABCD，所以PO⊥OE．因为OE＝2，PE＝3，所以OP＝5．又因OA＝OB＝OC＝OD，所以PA＝PB＝PC＝PD．在△PEM中，PE＝PM＝3，ME＝12AC＝22，所以S△PEM＝12×22×32－（2）2＝14．设点B到平面PEM的距离为h，由V B PEM ＝13×S △PEM ×h ＝V P BEM ＝13S △BEM ×OP ＝13×12×2×2×5＝253，得143h ＝253， 所以h ＝707．所以点B 到平面PEM 的距离为707． 10．(2022·郑州质检)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1，M 为AB的三等分点．现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC ．(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离． 【解】　(1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC ．理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP ． 在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12， 因为△ADB 中，AP PB ＝12，所以AD ∥PN ．因为AD 平面MPC ，PN 平面MPC ， 所以AD ∥平面MPC ．(2)因为平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ， 平面AMD 中AM ⊥DM ，所以AM ⊥平面MBCD ．所以V P MBC ＝13×S △MBC ×A M 2＝13×12×2×1×12＝16．在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2，又PC ＝(12)2＋12＝52，所以S △MPC ＝12×2×(52)2－(22)2＝64． 所以点B 到平面MPC 的距离为d ＝3V P MBCS△MPC＝3×1664＝63．11．(2022·福建质检)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形．(1)求证：AE ∥平面BCF ；(2)若AD ⊥DE ，AD ＝DE ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60°，求三棱锥F AEC 的体积． 【解】　(1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AD ∥BC ．又AD 平面BCF ，BC 平面BCF ，所以AD ∥平面BCF ，因为四边形BDEF 是矩形，所以DE ∥BF ．又DE 平面BCF ，BF 平面BCF ，所以DE ∥平面BCF ．因为AD ∩DE ＝D ，AD 平面ADE ，DE 平面ADE ， 所以平面ADE ∥平面BCF ．因为AE 平面ADE ，所以AE ∥平面BCF ．(2)设AC 与BD 交于点O ，则O 为AC 的中点．连接OE ，OF ，如图．故V F AEC ＝V C －AEF ＝2V O －AEF ＝2V A OEF ．在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ，所以BD ＝3，所以AB 2＝AD 2＋BD 2，所以AD ⊥BD ．又DE ⊥AD ，BD ∩DE ＝D ，BD 平面BDEF ，DE平面BDEF ，所以AD ⊥平面BDEF ，故AD 的长为点A 到平面BDEF 的距离．因为DE＝1，所以S△OEF＝12S四边形BDEF＝12BD·DE＝32，所以V A OEF＝13·S△OEF·AD＝36，故V F AEC＝2V A OEF＝33，即三棱锥F AEC的体积为33．12．(2022·太原模拟)如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3．(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD．(2)若cos∠BAD＝15，求几何体ABCDFE的体积．【解】　(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC．所以AC⊥平面BEFD．所以平面ACF⊥平面BEFD．(2)设AC与BD的交点为O，AB＝a(a>0)，由(1)得AC⊥平面BEFD，因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥BD，因为DF∥BE，所以DF⊥BD，所以BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，所以BD＝22，所以S四边形BEFD＝12(BE＋DF)·BD＝32，因为cos∠BAD＝15，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝85a2＝8，所以a＝5，所以OA2＝AB2－OB2＝3，所以OA＝3，所以V ABCDFE＝2V A－BEFD＝23S四边形BEFD·OA＝26．13．(2022·四川省宜宾市二模)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD⊥PD，AB＝AD＝1，CD＝2，PD＝3，E为线段PB的中点，且DE⊥BC．(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)若过三点C，D，E的平面将四棱锥P ABCD分成上，下两部分，求上面部分的体积V．【解】　(1)证明：连接BD，∵AB⊥AD，AB＝AD＝1，PD＝2∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝45°，∵CD＝2，∴BC2＝(2)2＋22－2×2×2cos 45°＝2，∴BC2＋BD2＝BC2，∴BC⊥BD ∵BC⊥DE，DE∩DB＝D，DE 平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥PD，∵AD⊥PD，AD与BC相交，∴PD⊥平面ABCD．(2)作PA的中点F，连接EF，EC，DF∵E为PB的中点，∴EF綊12 AB．又∵AB綊12CD，∴EF綊14CD，∴EF与CD共面，∴平面CDFE为过三点C，D，E的截面∵V P CDE＝V B－CDE＝12V P BCD，PD⊥平面ABCD，∴V P CDE＝12×13(12×2×2)×3＝12∵V P DFE＝14V P CDE，∴V P DFE＝18∴V＝18＋12＝58．14．(2022·安徽省安庆市二模)如图，在四棱锥P ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝2，BC＝22．(1)证明：CD⊥平面PBD；(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求点B到平面PCD的距离．【解】　(1)∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB⊥AD，∴BD＝AD2＋AB2＝2；作DE⊥BC于E，则DE＝CE＝2，∴CD＝DE2＋CE2＝2；在△BCD中，∵DC2＋DB2＝22＋22＝8＝(22)2＝BC2，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD；∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PB⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，∴PB⊥CD，∵PB，BD 平面PBD，PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD．(2)∵PB⊥平面ABCD，∴PD与底面ABCD所成的角是∠PDB＝60°．在Rt△PBD中，DB＝2，∠PDB＝60°，∴PB＝23，PD＝4；设h为点B到平面PCD的距离，∵V B PDC＝V P DBC，∴13×S△PDC×h＝13×S△DBC×PB，∴h＝S△DBC×PBS△PDC＝12×2×2×2312×2×4＝3，即点B到平面PCD的距离为3．。

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质【考纲要求】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2. 掌握公理、判定定理和性质定理.【知识清单】知识点1．直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥a l ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α知识点2．平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α 知识点3．线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点梳理】考点一：直线与平面垂直的判定与性质【典例1】（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E、F分别是AB和PC的中点．(1)求证：AB⊥平面P AD；(2)求证：EF//平面P AD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）∵侧棱P A垂直于底面，∴P A⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，这样，AB垂直于平面P AD内的两条相交直线，∴AB⊥平面P AD．（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，∴FG∥PD，FG∥面P AD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面P AD．故平面EFG ∥平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ．【典例2】（2019·甘肃高三期末（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，AB =，11B C =，1B C ⊥平面ABC .（1）证明：AC ⊥平面11BCC B ； （2）求点C 到平面11ABB A 的距离.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：因为1B C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1B C AC ⊥.因为1AC BC ==，AB ，所以AC BC ⊥， 又1BC B C ⋂，所以AC ⊥平面11BCC B . （2）设点C 到平面11ABB A 的距离为h ，因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AC ⊥，1B C BC ⊥.则1AB ，1BB AB =，所以1ABB ∆是等边三角形，故12ABB S ∆==111122C ABB A C ABB B ABC V V V ---==111233ABC B C S ∆=⨯⨯⨯=，11111123323C ABB A ABB A V S h h h -=⋅=⨯⨯⋅=.所以h【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 【变式探究】1. （2019·河南南阳中学高三开学考试（文））如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，AB CD AD AB ⊥，， 且24 3.AD CD AB PA PD PC ======，(1)若O 为AC 的中点，证明:PO ⊥平面.ABCD (2)求点C 到平面PAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】(1)证明：因为AB CD AD AB ⊥，，AD CD AC ∴⊥=，,又3PA PC ==，O 为AC 的中点PO AC ∴⊥，1PO ==连接OD ，在Rt ACD ∆中，O 为AC 的中点12OD AC ∴== ∵222OD OP PD +=，PO OD ∴⊥又ODAC O =∴PO ⊥平面ABCD(2)解：设点C 到平面PAB 的距离为h ，则12442ABC S ∆=⨯⨯=，PB ==在PAB ∆中，32PA AB PB ==，， ∴9452cos 2323PAB +-∠==⨯⨯.∴1322PAB S ∆=⨯⨯=由C PAB P ABC V V --=44PO =⨯=，解得h =2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =,060BAD ∠=，面PAD ⊥面ABCD ,PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面POB ；(2)若E 是PC 的中点，求三棱锥P EDB -的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】(1)证：因为O 为等边PAD ∆中边AD 的中点， 所以AD PO ⊥,又因为在菱形ABCD 中，060BAD ∠=， 所以ABD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以AD BO ⊥,而PO BO O =,所以AD ⊥平面POB .(2)解：由(1)知AD PO ⊥，面PAD ⊥面ABCD ,所以PO ⊥底面ABCD ，因为等边PAD ∆的边长为2，所以PO , 易知BCD ∆为边长为2的等边三角形，所以三棱锥P BCD -的体积为：21213P BCD V -==, 因为E 是PC 的中点，所以1122P EDB P BCD V V --==， 所以三棱锥P EDB -的体积为12．考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质【典例3】（2020·全国高考真题（文））如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π==2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 603AC r ==在等腰直角三角形APC 中，22AP AC ==在Rt PAO 中，PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333248P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯⨯⨯=△.【典例4】（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =．（1）证明：平面1AA B ⊥平面11AAC C ； （2）求三棱锥111B A BC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】（1）证明：∵1A B ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1A B AC ⊥．又∵AB AC ⊥，∵1AB A B B ⋂=， ∴AC ⊥平面1A AB ． 又∵AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1AA B ⊥平面11AAC C ．（2）111111111111111332B A BC B A B C A B C V V S A B --==⋅=⨯⨯⨯=△． 【规律方法】 1.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 2．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 【变式探究】1.在四边形ABCD 中，//,,45AD BC ADAB BCD，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC 【答案】D 【解析】在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆为等腰直角三角形，故45ABD ADB ∠=∠=︒， 所以45DBC ∠=︒，故CD BD ⊥，折起后仍然满足CD BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD BD =， 所以CD ⊥平面ABD ，因AB 平面ABD ，所以CD AB ⊥.又因为AB AD ⊥，AD CD D =，所以AB ⊥平面ADC ，因AB平面ABC ，所以平面ADC ⊥平面ABC .2．（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，BD 是线段AC 的中垂线，BD 与AC 交于点O ，8AC =，2PD =，3OD =，5OB =．（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）求点B 到平面PAC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥． 又因为BD AC ⊥，BDPD D =，所以AC ⊥平面PBD ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PBD ⊥平面PAC ． （2）因为8AC =，2PD =，3OD =，5OB =，所以由勾股定理得5AD CD ===，AP CP ==所以182PACS =⨯=△11852022ABC S AC OB =⋅=⨯⨯=△． 设点B 到平面PAC 的距离为h ．由B PAC P ABC V V --=，得1133PAC ABC S h S PD ⋅=⋅△△， 即1141320233h ⨯⨯=⨯⨯， 解得101313h =． 【总结提升】在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用【典例5】（2020·安徽省舒城中学月考（文））设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α；③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】由,m n 是空间两条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面． 在①中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误；在②中，设,,n n l l ααβ⊂⋂=⊥，因为αβ⊥，所以n β⊥，又m β⊥，所以//m n ，又m α⊄，n ⊂α，所以//m α，故②正确；在③中，若,,//m n m ααβ⊥⊥，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，设,m n γγα⊂⋂=，因为//m α，所以//m n ，又m l ⊥，所以n l ⊥， 又因为,,l n αβαβα⊥⋂⊂＝，所以n β⊥，所以m β⊥，故④正确． 故选：C ．【典例6】（2020·临猗县临晋中学月考（文））如图，在三棱锥P －ABC 中，P A －AB －P A －BC －AB －BC －P A －AB －BC －2－D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：P A ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；(3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13【解析】（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .（III ）因为PA 平面BDE ，平面PAC ⋂平面BDE DE =， 所以PA DE .因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【规律方法】1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．4.垂直关系的转化：【变式探究】1.（2019·四川高考模拟（理））如图所示，在RtΔABC中，AB=4，AC=3，BC=5，在BC边上任取一点D，并将ΔABD沿直线AD折起，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后B、C两点间距离的最小值为__________．【答案】√13【解析】如图所示，设∠BAD=θ，则∠CAD=π2−θ,过点C作CE⊥AD于E，过B作BF⊥AD交AD的延长线于点F，所以BF=4sinθ,CE=3sin(π2−θ)=3cosθ,AF=4cosθ,AE=3cos(π2−θ)=3sinθ，所以EF=4cosθ−3sinθ，所以|BC|=√CE2+EF2+BF2=√(3cosθ)2+(4cosθ−3sinθ)2+(4sinθ)2 =√9cos2θ+16cos2θ+9sin2θ−24sinθcosθ+16sin2θ=√25−24sinθcosθ=√25−12sin2θ，当sin2θ=1时，|BC|min=√13.2.（2019·云南高三月考（文））如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点，证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求四棱锥A 1﹣PBCD 的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】（1）证明：令1A B 的中点为F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC , 所以PD 是ABC △的中位线，所以//PD BC ,12PD BC =. 因为E 是1AC 的中点,且F 为1A B 的中点,所以EF 是1A BC 的中位线,所以//EF BC ，且12EF BC =，于是有PDEF ,所以四边形PDEF 为平行四边形,所以//DE PF , 又DE ⊄平面1PBA ，PF ⊂平面1PBA 所以有//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE AC ⊥. 又因为E 是1AC 的中点，所以1A D DC DA ==， 即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.因为在ABC △中,90B ∠=︒，//PD BC ，PDA 沿PD 翻折至1PDA ，且平面1PDA ⊥平面PDA ， 利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，所以111131·13322A PBCD PBCD V S A P -==⨯⨯=四棱锥四边形. 考点四： 平行、垂直的综合应用【典例7】（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥ 1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC又11BC ⊂平面11EBC F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF = 11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP ⋂平面11EB C F NP =∴//AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA ⋂平面ABC AM =，面1A NMA ⋂平面1111AB C A N = ∴//ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形 设ABC 边长是6m (0m >)可得：ON AP =，6NP AO AB m ===O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m∴16sin 603ON =⨯⨯︒=故：ON AP == //EF BC∴AP EPAM BM=3EP= 解得：EP m =在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =1B Q EP =且1//B Q EP∴四边形1B QPE 是平行四边形， ∴1//B E PQ由（1）11B C ⊥平面1A AMN故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ===sin10QN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：10.【典例8】（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析 【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．【总结提升】1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．2．证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决． 【变式探究】1. （2020·江苏省震泽中学期末）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为线段,PB PC 上的点（异于端点），平面PAB ⊥平面PBC .（1）若//BC 平面AMN ，求证：//BC MN ；（2）若M 为PB 的中点，求证：平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为//BC 平面AMN ，BC ⊂平面PBC ，平面AMN平面PBC MN =，由线面平行的性质可得//BC MN（2）因为M 为PB 的中点，且AP AB =，由等腰三角形的性质可得AM PB ⊥， 又因为平面PAB ⊥平面PBC ， 平面PAB ⋂平面PBC BC =，AM ⊂平面PAB ，由面面垂直的性质定理即可得：AM ⊥平面PBC ，又因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC2.如图(1)所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1—BCD ，如图(2)所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF . (2)求证：BD ⊥A 1F .(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？请说明理由． 【答案】【解析】(1)证明：∵D ，M 分别为AC ，FC 的中点， ∴DM ∥EF ，又∵EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF ， ∴DM ∥平面A 1EF .(2)证明：∵EF ⊥BD ，A 1E ⊥BD ，A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥A 1F .(3)直线A 1B 与直线CD 不能垂直．理由如下：∵平面BCD ⊥平面A 1BD ，平面BCD ∩平面A 1BD ＝BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面CBD ， ∴EF ⊥平面A 1BD ，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面MCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．。

第七篇 立体几何与空间向量 专题7.04 直线、平面垂直的判定及性质【考试要求】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示 符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba∩b ＝O a ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α【微点提醒】1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()【教材衍化】2.(必修2P66练习改编)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交3.(必修2P67练习2改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【真题体验】4.(2019·上海静安区质检)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC6.(2018·安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD.若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β【考点聚焦】考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.【规律方法】 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】(2019·青岛调研)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为312，求线段CE的长.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【规律方法】 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2018·泸州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD ＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面 △SAB 的面积.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【规律方法】 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.【规律方法】 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【规律方法】1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG .(2)求二面角P －AD －C 的正切值.(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.【反思与感悟】1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.3.转化思想：三种垂直关系之间的转化【易错防范】1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.【核心素养提升】【直观想象、逻辑推理】——立体几何中的动态问题1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(理科还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分 【例2】 (2018·石家庄一模)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是()【例3】如图，在棱长为2的正四面体A－BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝ 3.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于________(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积).【例4】已知ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为()A.43B.163C.49πD.83π【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n2.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m ⊂α，则m ⊥βB.若m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC.若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α3.(2019·泉州模拟)在下列四个正方体ABCD －A1B1C1D1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG 不垂直的是( )4.(2019·济南一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥nB.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n5.(2018·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部二、填空题6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____________.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.三、解答题9. (2019·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF12.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A.2B.3C.4D.513.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.14.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图②所示的几何体.(1)求证：AB⊥平面ADC；(2)若AD＝1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面ADE的距离.【新高考创新预测】15.(多选题)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法正确的是()A.当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形B.当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形C.当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形D.当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形。

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面.答案 A2.(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.答案 B3.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面P AED.平面PDE⊥平面ABC解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确.在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面P AE，DF∥BC，则DF⊥平面P AE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确.答案 D4.(2017·西安调研)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥βC.若α⊥β，l⊥α，则l∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析A中，α∥β或α与β相交，不正确.B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确.C中，l∥β或l⊂β，C 不正确.D中，l与β的位置关系不确定.答案 B5.(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD 为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC ＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.答案 B二、填空题6.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.解析∵P A⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.答案 47.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确.对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点.又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确.对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等.因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确.答案 ②③④三、解答题9.(2017·青岛质检)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D －BCG 的体积.(1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BCG .又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BDC ＝BC ，AO ⊂平面ABC ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半.在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12.10.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面P AC ；(2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由.(1)证明 因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC .又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面P AC.(2)证明因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥P A.又因为P A⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以P A∥平面CEF.11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.则下列说法正确的是()A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n ⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.答案 C12.(2017·贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心解析由题意可知P A，PE，PF两两垂直，所以P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩P A＝P，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心.答案 A13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；又平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A ＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确.答案①④14.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD.(1)在平面P AD内找一点M，使得直线CM∥平面P AB，并说明理由.(2)证明：平面P AB⊥平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为AD∥BC，BC＝12AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面P AB.CM⊄平面P AB.所以CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，P A⊥AB，P A⊥CD.因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，从而P A⊥BD.因为AD∥BC，BC＝12AD，M为AD的中点，连接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD. 所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.。

直线、平面垂直的判定与性质{INCLUDEPICTURE"基础知识要打牢.tif"|[知识能否忆起]一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．直线与平面垂直的性质定理二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理2．平面与平面垂直的性质定理[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α、β都垂直 解析：选D A 中平面可与α平行或相交，不正确． B 中直线可与α垂直或斜交，不正确． C 中平面可与直线l 平行或相交，不正确．2.(2012·厦门模拟)如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1解析：选D 易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1C 1⊥B 1O .3．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n B ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β解析：选C 对于选项A ，若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n ，或m ，n 是异面直线，所以A 错误；对于选项B ，n 可能在平面α内，所以B 错误；对于选项D ，m 与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．4.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案：45．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB.则下列命题正确的有________．①P A⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.解析：由P A⊥平面ABC，∴P A⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面P AE相交，BC∥AD，故不正确；④中PD与平面ABC所成角为45°.答案：①1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．典题导入[例1](2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n ⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案] ①③④由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．以题试法1．(2012·长春模拟)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α；②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 对于①，由b 不在平面α内知，直线b 或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b 与平面α相交，则直线b 与直线a 不可能垂直，这与已知“a ⊥b ”相矛盾，因此①正确．对于②，由a ∥α知，在平面α内必存在直线a 1∥a ，又a ⊥β，所以有a 1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a 与平面α相交于点A ，过点A 作平面α、β的交线的垂线m ，则m ⊥β，又α⊥β，则有a ∥m ，这与“直线a 、m 有公共点A ”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O 分别向平面α、β引垂线a 1、b 1，则有a ∥a 1，b ∥b 1，又a ⊥b ，所以a 1⊥b 1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.典题导入[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12|AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2|，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[自主解答] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ， 且EG ＝12|PH ＝12|.因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥AD .所以底面ABCD 为直角梯形．所以V E －BCF ＝13|S △BCF ·EG ＝13|·12|·FC ·AD ·EG ＝212|.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12|AB .又因为DF 綊12|AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．以题试法2．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明：(1)连接AC ，AN ，BN ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC ，在Rt △P AC 中，N 为PC 中点，∴AN ＝12|PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ， P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .∴BC ⊥PB .从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12|PC .∴AN ＝BN .∴△ABN 为等腰三角形，又M 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ， 又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .(2)连接PM ，MC ，∵∠PDA ＝45°，P A ⊥AD ，∴AP ＝AD .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴AP ＝BC . 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM . 而∠P AM ＝∠CBM ＝90°， ∴△P AM ≌△CBM . ∴PM ＝CM .又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .典题导入[例3] (2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[自主解答] (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1， CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD . 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .由题悟法1．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．以题试法3．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若点M 在线段PC 上，且PM ＝tPC (t >0)，试确定实数t 的值，使得P A ∥平面MQB .解：(1)因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD .连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°， 所以AB ＝BD . 所以BQ ⊥AD .因为BQ ⊂平面PQB ，PQ ⊂平面PQB ， BQ ∩PQ ＝Q ， 所以AD ⊥平面PQB .因为AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)当t ＝13|时，P A ∥平面MQB .证明如下：连接AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连接OM .在△AOQ 与△COB 中， 因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB .所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC |＝AQ CB |＝12|.所以AO AC |＝13|，即OC AC |＝23|.由PM ＝13|PC ，知CM CP |＝23|，所以CM CP |＝OCAC |，所以AP ∥OM .因为OM ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，所以P A ∥平面MQB .1．(2012·杭州模拟)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α解析：选C 对于选项C ，在平面α内存在c ∥b ，因为a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 选项中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 选项中一定有a ∥b .2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α；③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ⊄β，且l ∥α，则l ∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：选D 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l ⊥α，l ∩α＝A 时，l 上到A 距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B (1)错，也可能相交；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m ⊥β”的必要条件，命题错误；(4)当异面直线a ，b 垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误．4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－AB1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：选B对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2012·忻州一中月考)正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的长为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接SO ，取CD 的中点F ，SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，设EF 交AC 于点H ，连接GH ，易知AC ⊥EF ，GH ∥SO ， ∴GH ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ，故动点P 的轨迹是△EFG ，由已知易得EF ＝2|， GE ＝GF ＝62|，∴△EFG 的周长为2|＋6|，故动点P 的轨迹长为2|＋6|. 答案：2|＋6|9.(2013·蚌埠模拟)点P 在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________．解析：连接BD 交AC 于O ，连接DC 1交D 1C 于O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1. ∴BC1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变， ∴三棱锥P －AD 1C 的体积不变． 又VP －AD 1C ＝VA －D 1PC ，∴①正确． ∵平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ， ∴A 1P ∥平面ACD 1，②正确． 由于DB 不垂直于BC 1显然③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， ∴DB 1⊥平面AD 1C .DB 1⊂平面PDB 1， ∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确． 答案：①②④10. 如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC .证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .11.(2012·北京海淀二模)如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB |上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ；(2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥P A .因为P A ⊂平面P AC ，OE ⊄平面P AC ，所以OE ∥平面P AC .因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ，所以OM ∥平面P AC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面P AC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .因为BC ⊂平面PCB ，所以平面P AC ⊥平面PCB .12．(2012·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB ＝π2|. (1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2|，所以BC ⊥AC .又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB ＝∠DAC .所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2|，所以∠DAC ＝π6|，即∠CBO ＝π6|. 又因为∠ACB ＝π2|，CB ＝a ，所以CO ＝33|a .连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形，所以EM ＝CO ＝33|a .1.如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ，∴b ⊥面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△P AC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3|；②PB ⊥BC ；③平面P AB ⊥平面ABC .试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．解：法一：(1)选取条件①在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝2|.又∵P A＝AC，∴P A＝2|.∴在△P AB中，AB＝1，P A＝2|.又∵PB＝3|，∴AB2＋P A2＝PB2.∴∠P AB＝90°，即P A⊥AB.又∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC，V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×2|×12|×12＝26|.法二：(1)选取条件②∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.又∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC. ∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2|，∴P A＝2|，∴V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×12|AB·BC·P A＝13|×12|×1×1×2|＝26|.法三：(1)选取条件③若平面P AB⊥平面ABC，∵平面P AB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.∴P A ⊥平面ABC .(2)同法二．1．(2012·福建高考)如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(1)求三棱锥A －MCC 1的体积；(2)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .解：(1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1.又S △MCC 1＝12|CC 1×CD ＝12|×2×1＝1， ∴VA －MCC 1＝13|AD ·S △MCC 1＝13|. (2)证明：将侧面CDD1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值．由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点．连接A 1M ，B 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2|，MC ＝2|，CC 1＝2，∴CC 21|＝MC 21|＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1. 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，∴B 1C 1⊥CM .又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M .同理可证，B 1M ⊥AM .又AM ∩MC ＝M ，∴B 1M ⊥平面MAC .2．(2012·江西模拟)如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，P A ，NC 都垂直于平面ABCD ，且P A ＝AB ＝4，NC ＝2，M 是线段P A 上的一动点．(1)求证：平面P AC ⊥平面NEF ；(2)若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．解：(1)证明：连接BD ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD .∴BD ⊥平面P AC .又∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴EF ∥BD .∴EF ⊥平面P AC ，又EF ⊂平面NEF ，∴平面P AC ⊥平面NEF .(2)连接OM ，∵PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，∴PC ∥OM ，∴PM P A |＝OC AC |＝14|， 故PM ∶MA ＝1∶3.3．(2012·陕西高考)(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图1，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λ b ＋μ n ，则a·c ＝a·(λ b ＋μ n )＝λ(a·b )＋μ(a·n )．因为a ⊥b ，所以a·b ＝0.又因为a ⊂π，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图2，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a ⊂π，∴直线PO ⊥a .又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO .又c ⊂平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．。

第八章立体几何第五节直线与平面垂直的判定及其性质A级·基础过关|固根基|1.(2019届成都市二诊)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是( )A．若c⊂平面α，则a⊥αB．若c⊥平面α，则a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：选C 对于A，直线a可以在平面α内，也可以与平面α相交；对于B，直线a可以在平面α内，或者b在平面α内；对于D，如果a⊥α，b⊥α，则有a∥b，与条件中两直线异面矛盾．2．(2019届武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选C 构造正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故①错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，设l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C．3．(2019届合肥市一检)平面α外有两条直线a，b，它们在平面α内的投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是( )A．若a⊥b，则m⊥nB．若m⊥n，则a⊥bC．若m∥n，则a∥bD．若m与n相交，则a与b相交或异面解析：选D 对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面α垂直时，直线m，n重合，故A 不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCD－A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，AD，记为m，n，此时m⊥n，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCD－A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，CD，记为m，n，此时m∥n，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m 与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确．4．(2019届合肥市二检)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥S－ABCD，平面SCD⊥平面ABCD．因为AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD．又由三视图知SC⊥SD，同时由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D，所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD．综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，故选C．5．(2019届湖北七市高三联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：选B 在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；只要m⊄α，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B．6．(2019届贵阳监测)如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：选B 因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A、D正确；因为平面BPC⊥平面APC且平面BPC∩平面ACP＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC．又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；选项B中的条件不能判断出AP⊥BC，故选B．7．(2019届南昌市一模)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥BD；(2)求三棱锥B1－A1C1E的体积．解：(1)证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．如图，连接AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．由四棱台ABCD－A1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.所以BD⊥AA1.(2)连接BA1，BC1，CA1，CB1，由已知，得V三棱锥B1－A1C1E＝V三棱锥E－A1B1C1＝12V三棱锥B－A1B1C1＝12V三棱锥C－A1B1C1，又V三棱锥C－A1B1C1＝13S△A1B1C1·CC1＝13×12×22×sin 120°×4＝433，所以三棱锥B1－A1C1E的体积V三棱锥B1－A1C1E＝233.8．(2019届广州市调研测试)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB ＝2，BC＝EF＝1，AE＝6，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．(1)求证：FG∥平面BED；(2)求证：BD⊥平面AED ．证明：(1)如图，取BD 的中点O ，连接OE ，OG ，在△BCD 中，因为G 是BC 的中点， 所以OG∥DC 且OG ＝12DC ＝1.因为EF∥AB，AB∥DC，EF ＝1， 所以EF∥OG 且EF ＝OG ， 所以四边形OGFE 是平行四边形， 所以FG∥OE.又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG∥平面BED ．(2)在△ABD 中，AD ＝1，AB ＝2，∠BAD＝60°， 由余弦定理得BD ＝12＋22－2×1×2×12＝ 3.因为BD 2＋AD 2＝3＋1＝4＝AB 2， 所以BD⊥AD．因为平面AED⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED∩平面ABCD ＝AD ， 所以BD⊥平面AED ．9．(2019届贵阳市高三第一次适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD ，Q ，M 分别为AD ，PC 的中点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PBC⊥平面PQB ； (2)求三棱锥P －QMB 的体积．解：(1)证明：∵AD∥BC，Q 为AD 的中点，BC ＝12AD ，∴BC ═∥QD ， ∴四边形BCDQ 为平行四边形． ∵∠ADC ＝90°，∴BC⊥BQ.∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ⊥AD，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，∴PQ⊥BC．又PQ∩BQ＝Q ，∴BC⊥平面PQB ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PQB ．(2)解法一：∵在Rt △PQB 中，PQ ＝PA 2－AQ 2＝3，BQ ＝CD ＝3，∴S △PQB ＝12PQ ·QB ＝32.由(1)知BC⊥平面PQB ，连接QC ， ∴V 三棱锥C －PQB ＝13S △PQB ×BC ＝13×32×1＝12.又M 是线段PC 的中点，∴V 三棱锥P －QMB ＝V 三棱锥M －PQB ＝12V 三棱锥C －PQB ＝12×12＝14，故三棱锥P －QMB 的体积为14.解法二：如图，连接QC ，记QC 的中点为E ，连接ME.在△PQC 中，∵M 为PC 的中点，E 为QC 的中点，∴ME 为△PQC 的中位线，则ME ＝12PQ 且PQ∥ME.由(1)可知PQ⊥平面ABCD ， ∴ME ⊥平面ABCD ．在△PAD 中，∵PA＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点， ∴PQ ＝ 3.∵BC ＝12AD ＝1，AD∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形BCDQ 为长方形． 又CD ＝3，∴QB＝3， ∴S △BQC ＝12BC ·QB ＝32.∴V三棱锥P －QMB＝V三棱锥P －BQC－V三棱锥M －BQC＝13(PQ －ME)×S △BQC ＝13×12PQ ×S △BQC ＝16×3×32＝14，故三棱锥P －QMB 的体积为14.B 级·素养提升 |练能力|10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E.要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF.由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h.又2×2＝h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.在Rt △DB 1F 中，由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，解得x＝12，即线段B 1F 的长为12. 11．(2019届武汉调研)在矩形ABCD 中，AB<BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直． 其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE⊥BD 于E ，连接CE ，则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD ，BD⊥AC，AE∩AC＝A ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①不正确；②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D ，∴AB⊥平面ACD ，∴AB⊥AC，由AB<BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确；③假设AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D ，∴BC⊥平面ACD ，∴BC⊥AC，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB<BC ，故矛盾，假设不成立，③不正确．综上，填②.答案：②12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD ．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD ，所以PA⊥BD．又PA∩AC ＝A ，所以BD⊥平面PAC ，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD ．又PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD⊥平面PCD ．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)(答案不唯一)13．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD 内过点D 作DK⊥AB，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图①所示，过点K 作KM⊥AF 于点M ，连接DM ，易得DM⊥AF，与折前的图形对比，可知折前的图形中D ，M ，K 三点共线且DK⊥AF(如图②所示)，于是△DAK∽△FDA，所以AK AD ＝AD DF ，即t 1＝1DF ，所以t＝1DF .又DF∈(1，2)，故t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD ； (2)求证：AD⊥PB；(3)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF⊥平面ABCD ？并证明你的结论． 解：(1)证明：在菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为AD 的中点， 所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以BG⊥平面PAD ．(2)证明：如图，连接PG ，因为△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，所以PG⊥AD． 由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G ，所以AD⊥平面PGB ．因为PB ⊂平面PGB ，所以AD⊥PB． (3)当F 为PC 的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD ． 证明：如图，取PC 的中点F ，连接DE ，EF ，DF.在△PBC 中，FE∥PB，又FE ⊂平面DEF ，PB ⊄平面DEF ，所以PB∥平面DEF.在菱形ABCD 中，GB∥DE，又DE ⊂平面DEF ，GB ⊄平面DEF ，所以GB∥平面DEF.又PB ⊂平面PGB ，GB ⊂平面PGB ，PB∩GB＝B ，所以平面DEF∥平面PGB ．因为BG⊥平面PAD ，PG ⊂平面PAD ，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G ，所以PG⊥平面ABCD ． 又PG ⊂平面PGB ，所以平面PGB⊥平面ABCD ， 所以平面DEF⊥平面ABCD ．。

第五节直线与平面垂直的判定及其性质[最新考纲]［考情分析]［核心素养]1。

以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理,并能够证明相关性质定理.2。

能运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。

1。

以空间几何体为载体,考查线线、线面、面面垂直的证明。

2。

利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题.1.直观想象2.逻辑推理3。

数学运算‖知识梳理‖1．直线与平面垂直(1）直线与平面垂直的定义直线l与平面α1任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语符号语言言判定定理一条直线与一个平面内的错误!两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线错误!平行错误!⇒a∥b►常用结论1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b. 2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定一个平面过另一个平面的错误!垂线,则这两个平面垂直错误!⇒α⊥β理性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于错误!交线的直线与另一个平面垂直错误!⇒l⊥α‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)．(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.（)（2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（)（3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()答案：(1）×(2)×（3）×二、走进教材2．(必修2P66练习改编）已知直线a,b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为(）A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交答案：C3．（必修2P67练习2改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC．其中正确的是（)A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④答案：A三、易错自纠4.如图，在Rt△ABC中,∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC中共有直角三角形的个数为（)A．4 B．3C．2 D．1解析：选A由PA⊥平面ABC可得，△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB,即△PBC为直角三角形，故四面体P－ABC中共有4个直角三角形．5．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直"是“直线a与平面M垂直”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:选B根据直线与平面垂直的定义知由“直线a与平面M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”,反之成立，所以是必要不充分条件．6．设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对解析：选D过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的垂线与b确定的平面β⊥α,当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α，故选D．错误!【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；（2)PD⊥平面ABE.［证明](1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．因为AC⊥CD，PA∩AC＝A,所以CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE。

高三数学第一轮复习专题 垂直系统专题第一部分 直线与平面垂直的判定及性质一。

线面垂直的定义：l l αα若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称直线与平面垂直.记作：l α⊥。

l 直线叫做α平面的垂线，α平面叫做l 直线的垂面。

（★★★）线面垂直的定义可以作为线面垂直的性质定理使用： 若l 直线与α平面垂直，则l 直线与α平面内任意一条直线都垂直。

,l a l a αα⊥⊂⇒⊥ ⇒线面垂直线线垂直二。

线面垂直的判定定理：1。

判定定理1：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。

（★★★）⇒线线垂直线面垂直,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂⋂=⊥⊥⇒⊥两个核心条件：,l a l b ⊥⊥2。

判定定理2：若两平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

（★★）a ∥b ，a α⊥b α⇒⊥三。

线面垂直的性质定理：1。

性质定理1：垂直于同一平面的两直线平行。

a α⊥，b α⊥a ⇒∥bα2。

性质定理2：垂直于同一直线的两平面平行。

l α⊥，l β⊥⇒α∥β题型一：线线垂直与线面垂直的互相证明 ★★★★★判定定义线线垂直线面垂直这两个定理（定义）构成了一个很重要的小循环：⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅线线垂直线面垂直线线垂直线面垂直例1。

P 为ABC 所在平面外一点，PA ABC ⊥平面，090ABC ∠=，AE PB E ⊥于，AF PC F ⊥于。

求证：PC AEF ⊥平面。

（★★）规律：常用线面垂直来证明两直线“异面垂直”。

已知的是相交垂直，要证的是异面垂直。

分析：从后往前分析。

要证()PC AF PC AEF PC AE AE PBC ⎧⊥⎪⊥⇐⎨⊥⇐⊥⎪⎩已知平面平面 α()090AE PB BC AB ABC AE BC BC PAB BC PA PA ABC ⎧⊥⎪⎪⇐⎨⎧⊥⇐∠=⎪⊥⇐⊥⇐⎨⎪⊥⇐⊥⎩⎩已知平面平面 但写证明过程时要从前往后写。