2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科（四川卷）1、设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案：A解析：本题考查集合的运算以及一元二次不等式的解法,属于送分题. 易知A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|-1<x<2},所以A∪B={x|-1<x<3},选A.2、设i是虚数单位,则复数i3-=A.-iB.-3iC.iD.3i答案：C解析：本题考查复数的四则运算,属于容易题.i3-=-i-=-i+2i=i,选C.3、执行如图所示的程序框图,输出S的值为A.-B.C.-D.答案：D解析：本题考查程序框图与特殊角的三角函数值的计算,求解的关键是读懂循环结束的条件“k>4 ?”.由程序框图与循环结束的条件“k>4 ?”可知,最后输出的S=sinπ=sinπ,选D.4、下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A.y=cos(2x+π)B.y=sin(2x+π)C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案：A解析：本题考查三角函数的周期性和奇偶性,只需将已知函数化为正弦型函数f(x)=A sin(ωx+φ),即可判断.采用验证法.由y=cos(2x+π)=-sin 2x,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A.5、过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=A. B.2 C.6 D.4答案：D解析：本题考查双曲线的标准方程、简单几何性质以及两点间的距离公式,属于基础题.由双曲线的标准方程x2-=1得,右焦点F(2,0),两条渐近线方程为y=±x,直线AB:x=2,所以不妨取A(2,2),B(2,-2),则|AB|=4,选D.6、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有A.144个B.120个C.96个D.72个答案：B解析：本题考查两个计数原理的灵活运用、排列组合的概念及运算,求解的关键是按最高位分两类处理:①万位为4,②万位为5.当五位数的万位为4时,个位可以是0,2,此时满足条件的偶数共有=48(个);当五位数的万位为5时,个位可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有=72(个),所以比40 000大的偶数共有48+72=120(个),选B.7、设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=A.20B.15C.9D.6答案：C解析：本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等.选择,为基向量.∵=3,∴+++,又=2,∴+-,于是·=(+)·(-)=(4+3)·(4-3)=(16||2-9||2)=9,故选C.8、设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：本题考查指数函数、对数函数的图象和性质,考查充要关系的判定,属于中档题.由指数函数的性质知,若3a>3b>3,则a>b>1,由对数函数的性质,得log a 3<log b 3;反之,取a=,b=,显然有log a 3<log b 3,此时0<b<a<1,于是3>3a>3b,所以“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件,选B.9、如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[,2]上单调递减,那么mn的最大值为A.16B.18C.25D.答案：B解析：本题考查二次函数的图象、单调区间、最值的求法以及线性规划的综合运用.由已知得f'(x)=(m-2)x+n-8,又对任意的x∈[,2],f'(x)≤0,所以′′,即.画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令mn=t,则当n=0时,t=0,当n≠0时,m=.由线性规划的相关知识知,只有当直线2m+n=12与曲线m=相切时,t 取得最大值.由,解得n=6,t=18,所以(mn)max=18,选B.10、设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 答案：D解析：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系的判定,考查化归与转化思想、数形结合思想. 当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,所以0<r<5;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则.又,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),k AB=.设圆心为C(5,0),则k CM=.因为直线l与圆相切,所以·=-1,解得x0=3,于是=r2-4,r>2,又<4x0,即r2-4<12,所以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4,选D.11、在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案：-40解析：本题主要考查二项展开式指定项的系数的求解,属于基础题.由二项展开式的通项T r+1=(2x)5-r(-1)r(r=0,1,…,5)知,当r=3 时,T4=(2x)5-3(-1)3=-40x2,所以含x2的项的系数是-40.12、sin 15°+sin 75°的值是.答案：解析：本题主要考查两角和与差的正弦公式的运用,考查考生的运算求解能力.sin15°+sin75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=2sin45°·cos30°=.13、某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.答案：24解析：本题是指数函数的简单应用题,考查幂的运算法则及函数与方程思想.由题意得,即,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=·e b=()3×192=24(小时).14、如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F 分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为.答案：解析：本题考查异面直线的概念及异面直线所成角的余弦值的求法,考查考生的空间想象能力.取BF的中点N,连接MN,EN,则EN∥AF,所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角.在△EMN中,当点M与点P重合时,EM⊥AF,所以当点M逐渐趋近于点Q时,直线EN与EM的夹角越来越小,此时cos θ越来越大.故当点M与点Q重合时,cos θ取最大值.设正方形的边长为4,连接EQ,NQ,在△EQN中,由余弦定理,得cos∠QEN==-,所以cos θ的最大值为.15、已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).答案：①④解析：本题主要考查函数的图象、性质、导数及其应用,考查考生利用所学知识解决问题的能力.因为f(x)=2x在R上是单调递增的,所以对于不相等的实数x1,x2,m=>0恒成立,①正确;因为g(x)=x2+ax,所以n==x1+x2+a,正负不定,②错误;由m=n,整理得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2).令函数p(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax,则p'(x)=2x ln 2-2x-a,令t(x)=p'(x),则t'(x)=2x(ln 2)2-2,又t'(1)=2(ln 2)2-2<0,t'(3)=8(ln 2)2-2>0,从而存在x0∈(1,3),使得t'(x0)=(ln 2)2-2=0,于是p'(x)有极小值p'(x0)=ln2-2x0-a=-2log2-a,所以存在a=-2log2,使得p'(x0)=>0,此时p(x)在R上单调递增,故不存在不相等的实数x1,x2,使得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),不满足题意,③错误;由m=-n,得f'(x)=-g'(x),即-a=2x ln 2+2x.设h(x)=2x ln 2+2x,则h'(x)=2x(ln 2)2+2>0,所以h(x)在R上是单调递增的,且当x→+∞时,h(x)→+∞,当x→-∞时,h(x)→-∞,所以对于任意的a,y=-a与y=h(x)的图象一定有交点,④正确.16、设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)记数列{}的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.答案：(Ⅰ)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.所以T n=++…+=1-.由|T n-1|<,得|1--1|<,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10.解析：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和等基础知识,考查运算求解能力.由S n=2a n-a1,得a2=2a1,a3=4a1,再通过a1,a2+1,a3成等差数列确定首项a1=2是解决(Ⅰ)的切入点;由(Ⅰ)知{}是首项为,公比为的等比数列,所以T n=1-,然后解不等式即可.17、某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.答案：(Ⅰ)由题意,参加集训的男、女生各有6名.代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为. 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-.(Ⅱ)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X 1 2 3P因此,X的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.概率、分布列、数学期望等相关概念不熟,从题干中提取数据时被无关信息干扰,或计算出错.解析：本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.(Ⅰ)先求对立事件“A中学没有学生入选代表队”的概率,然后利用对立事件的概率计算公式即可得解;(Ⅱ)参赛的男生人数X的可能取值为1,2,3,分别求出X=1,2,3的概率,由此求出X的分布列和数学期望.18、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(Ⅰ)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(Ⅱ)证明:直线MN∥平面BDH;(Ⅲ)求二面角A-EG-M的余弦值.答案：(Ⅰ)点F,G,H的位置如图所示.(Ⅱ)连接BD,设O为BD的中点,连接OM,OH.因为M,N分别是BC,GH的中点,所以OM∥CD,且OM=CD,HN∥CD,且HN=C D.所以OM∥HN,OM=HN.所以MNHO是平行四边形,从而MN∥OH.又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,所以MN∥平面BDH.(Ⅲ)方法一连接AC,过M作MP⊥AC于P.在正方体ABCD-EFGH中,AC∥EG,所以MP⊥E G.过P作PK⊥EG于K,连接KM.所以EG⊥平面PKM,从而KM⊥E G.所以∠PKM是二面角A-EG-M的平面角.设AD=2,则CM=1,PK=2.在Rt△CMP中,PM=CM sin 45°=.在Rt△PKM中,KM=.所以cos∠PKM=.即二面角A-EG-M的余弦值为.方法二如图,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),所以=(2,-2,0),=(-1,0,2).设平面EGM的一个法向量为n1=(x,y,z),由得取x=2,得n1=(2,2,1).在正方体ABCD-EFGH中,DO⊥平面AEGC,则可取平面AEG的一个法向量为n2==(1,1,0),所以cos<n1,n2>=,故二面角A-EG-M的余弦值为.解析：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.(Ⅰ)利用平面展开图的有关知识求解;(Ⅱ)考虑用三角形的中位线寻找平行于平面BDH的直线即可证明;(Ⅲ)作出二面角的平面角,在三角形中求解,也可以建立空间直角坐标系,求出平面ACGE的法向量、平面MEG的法向量,即可求得结论.19、如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(Ⅰ)证明:tan;(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.答案：(Ⅰ)tan .(Ⅱ)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(Ⅰ),有tan +tan +tan +tan=++°°+°°=+.连接B D.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C,所以AB2+AD2-2AB·AD cos A=BC2+CD2+2BC·CD cos A. 则cos A=.于是sin A=.连接A C.同理可得cos B=,于是sin B =. 所以tan +tan +tan +tan= + =+ = .解析：本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.第(Ⅰ)问三角恒等式的证明,利用二倍角公式化简即得;第(Ⅱ)问,首先由A 与C 、B 与D 互补及(Ⅰ)的结果,得tan +tan ,tan +tan ,然后由余弦定理,得cos A = ,cos B = ,即可获解.20、如图,椭圆E : + =1(a >b >0)的离心率是,过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点.当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 .(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得 恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.答案：(Ⅰ)由已知,点( ,1)在椭圆E 上.因此,解得a =2,b = . 所以椭圆E 的方程为 + =1.(Ⅱ)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C ,D 两点.如果存在定点Q 满足条件,则有 =1,即|QC|=|QD|.所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-).由,有,解得y0=1,或y0=2.所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2).下面证明:对任意直线l,均有.当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-.因此+=2k.易知,点B关于y轴对称的点B'的坐标为(-x2,y2).又k QA==k-,K QB'==-k+=k-,所以k QA=k QB',即Q,A,B'三点共线..所以′故存在与P不同的定点Q(0,2),使得恒成立.解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.(Ⅰ)由题意得点(,1)在椭圆E上,然后进行求解;(Ⅱ)分动直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论,其中对运算的变形是求解的难点所在.21、已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.答案：本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想.(Ⅰ)由已知得g(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+),g'(x)=,通过判断函数y=x2-x+a(x>0,a>0)的正负确定g(x)的单调性;(Ⅱ)通过构造新函数,结合函数的零点存在性定理进行证明.解析：(Ⅰ)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+),所以g'(x)=2-+.当0<a<时,g(x)在区间(0,),(,+∞)上单调递增,在区间(,)上单调递减;当a≥时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+)=0,解得a=.令φ(x)=-2(x+)ln x+x2-2()x-2()2+.则φ(1)=1>0,φ(e)=--2()2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(Ⅰ)知,f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.。
