2016年四川省高考数学试卷(理科)及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】由题可知，A Z {2,1,0,1,2}=--I ，则A Z I 中元素的个数为5，故选C ． 【提示】由A 与Z ，求出两集合的交集，即可做出判断． 【考点】交集及其运算． 2.【答案】A【解析】由题可知，含4x 的项为24246C x i 15x =-，选A ．【提示】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【考点】等比数列的通项公式． 6.【答案】B【解析】初始值n 3=，x 2=，程序运行过程如下所示v 1=i 2=，v 1224=⨯+=i 1=，v 4219=⨯+=i 0=，v 92018=⨯+=i 1=-跳出循环，输出v 18=，选B ．【提示】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当i 1=-时，不满足条件i 0≥，跳出循环，输出v 的值为18．p 是q 的必要不充分条件．故选A ．第8题图【提示】由题意可得p F ,02⎛⎫⎪⎝⎭，设200y p ,y 2p ⎛⎫⎪⎝⎭，要求OM k 的最大值，设0y 0>，运用向量的加减运算可得200y y 12p OM OP OF ,336p 33⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r ，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【提示】设出点1P ，2P 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线1l 与2l 的斜率，由两直线垂直求得1P ，2P 的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A ，B 两点的纵坐标，得到AB ，联立两直线方程求得P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB △的面积的取值范围． 【考点】平面向量数量积的运算． 10.【答案】B第10题图【提示】由DA DB DC ==u u u r u u u r u u u r，可得D 为ABC △的外心，又DA DB DB DC DC DA 2===-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，可得D 为ABC △的垂心，则D 为ABC △的中心，即ABC △为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC △的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为X 轴建立直角坐标系XOY ，求得B ，C 的坐标，再设P 点的坐标为(cos ,sin )θθ，[0,2π)θ∈，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【提示】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【提示】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数3X~B2,4⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E(X)．【提示】根据()f x 是周期为2的奇函数即可得到511f f f 222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用当0x 1<<时，x f (x)4=，求出5f 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再求出f (1)，即可求得答案．【提示】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【提示】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．3第18题图【提示】（Ⅰ）延长AB 交直线CD 于点M ，由点E 为AD 的中点，可得1AE ED=AD 2=，由1BC CD=AD 2=，可得ED BC =，已知ED BC ∥．可得四边形BCDE 为平行四边形，即EB CD ∥．利用线面平行的判定定理证明得直线CM ∥平面PBE 即可．（Ⅱ）如图所示，由ADC PAB 90∠=∠=o ，异面直线PA 与CD 所成的角为90o ，AB CD M =I ，可得AP ⊥平面ABCD ．由CD PD ⊥，PA AD ⊥．因此PAD ∠是二面角P CD A --的平面角，大小为45o ．PA AD =．不妨设AD 2=，则1BC CD AD 12===．经计算可得出．【提示】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列n {a }为首项等于1、公比为q 的等比数列，再根据22a ，3a a ，2a 2+ 成等差数列求得公比q 的值，可得n {a }的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得n e =，根据25e 3==，求得q 的值，可得n {a }的解析式，再利用放缩法可得∴n-1n 4e 3⎛⎫=> ⎪⎝⎭，从而得证不等式成立．【提示】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C 与左右焦点1F 、2F 构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E 只有一个交点，利用判别式0∆=，即可求出椭圆E 的方程和点T 的坐标；（Ⅱ）设出点P 的坐标，根据l OT '∥写出l '的参数方程，代人椭圆E 的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出2PT 、PA 和PB ，由2PT PA PB =λg 求出λ的值．【提示】（Ⅰ）利用导数的运算法则得出f (x)'，通过对a 分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令1x 21x 11g(x)f (x)e ax lnx e a x x --=-+=--+-，可得g(1)0=，从而g (1)0'≥，解得1a 2≥， 又，当1a 2≥时，31x 1x 23312x x 2F (x)2a e e x x x --+-'=+-+≥+，可得F (x)'在a 2≥时恒大于0， 即F(x)在x (1,)∈+∞单调递增．由F(x)F(1)2a 10>=-≥，可得g(x)也在x (1,)∈+∞单调递增，进而利用g(x)g(1)0>=，可得g(x)在x (1,)∈+∞上恒大于0，综合可得a 所有可能取值．【考点】利用导数研究函数的单调性，导数最值问题的应用．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<，{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，故3A B x x 32⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．【提示】解不等式求出集合A ，B ，结合交集的定义，可得答案． 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】(1i)x 1yi +=+，x xi 1yi ∴+=+，即x 1x y =⎧⎨=⎩，解得x 1y 1=⎧⎨=⎩，即x yi 1i +=+【解析】等差数列又10a 8=，【解析】双曲线两焦点间的距离为，方程】f (x)y =(0,1)∈，故排除x ||e 在[0,2]【解析】a b 1>>上为减函数，故a log c1<α平面ABCD α平面ABA 11CB D △所成角就是60∠，则m 、2【解析】πx 4=-为1πT 2=，即ππ(n 2=∈ω2n 1N (n +∈为正奇数，f (x)在⎛ ⎝1812-=，即T =≥ωk π=，k ∈，π2ϕ≤，，π2ϕ≤，∴ϕ，结合πx =-【答案】2-222a b a b +=+，可得a b 0=，向量a (m,1)=，b (1,2)=，【考点】平面向量数量积的运算n123n(q++++-…z2100x900y=+经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值210060900100216000⨯+⨯=元．（Ⅰ）在12ab2，(a∴+（Ⅰ）ABEF 为正方形，AFD 90∠=， ，DF EF F =，AF ∴⊥平面EFDC AF ⊂平面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面（Ⅱ）由AF AF ⊥平面BE EF ⊥可得DFE 60∠．AB EF ∥EFDC 平面EFDC平面ABCD AB CD ∴∥， EFDC 为等腰梯形，以EB (0,2a,0)∴=，a BC ,2⎛= ，AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为1m (x ,y =，则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，则，取m (3,0,=的法向量为22n (x ,y ,z =n BC=0n AB0⎧⎪⎨=⎪⎩，则，取n (0,3,4)=m n 4|m ||n |31316-==++，则二面角E-BC-A1EX EX <解法二：购买零件所用费用含两部分，当n 19=时，费用的期望为：222222143m 41m 1m ||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时，S 取得最小值12，又10>，可得3S 24833<=（Ⅰ）函数（Ⅱ）1x ，2x 是(x 2)e g(x)(x 1)-=-，[(x g (x)'=，OA OB =120，OK ∴30，1OAsin30OA 2=与O 相切； 2OD =，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，设=圆的圆心，OA OB（Ⅰ）设K30，1=OAsin30OA2（Ⅱ）设圆心为T，证明曲线当x ≥时，4x 1->，解得x 5>或x 3<，即有x 3≤<或x 5>． (1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f (x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；时，当31x 2-<<时，当。

2016年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学1.(2016四川,理1)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},故其中的元素个数为5,选C.2.(2016四川,理2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4答案A二项式(x+i)6展开的通项T r+1=C x6-r i r,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C62x4i2=-15x4,故选A.3.(2016四川,理3)为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D由题意,为得到函数y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)],只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度,故选D.4.(2016四川,理4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.5.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200130,两边取常用对数得n lg 1.12>lg200130,∴n>lg2-lg1.3lg1.12≈0.30-0.110.05=3.8.∴n ≥4,故选B .6.(2016四川,理6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为( )A.9B.18C.20D.35答案B 程序运行如下n=3,x=2→v=1,i=2≥0→v= 1×2+2=4,i=1≥0→v=4×2+1=9,i=0≥0→v=9×2+ 0=18,i=-1<0 ,结束循环,输出v=18,故选B .7.(2016四川,理7)设p :实数x ,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q :实数x ,y 满足{y ≥x -1,y ≥1-x ,y ≤1,则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A 画出可行域 (如图所示),可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内,即p q ,q ⇒p ,所以p 是q 的必要不充分条件.故选A .8.(2016四川,理8)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p>0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.√33B.23C.√22D.1答案C 设P (2pt 2,2pt ),M (x ,y )(不妨设t>0),F (p2,0),则FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2pt 2-p 2,2pt),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -p 2,y). ∵FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13FP ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{x -p2=2p3t 2-p6,y =2pt 3,∴{x =2p3t 2+p3,y =2pt3.∴k OM =2t2t 2+1=1t+12t ≤12√12=√22, 当且仅当t=√22时等号成立.∴(k OM )max =√22 ,故选C .9.(2016四川,理9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx ,0<x <1,lnx ,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设P 1(x 1,ln x 1),P 2(x 2,-ln x 2)(不妨设x 1>1,0<x 2<1),则由导数的几何意义 易得切线l 1,l 2的斜率分别为k 1=1x 1,k 2=-1x 2.由已知得k 1k 2=-1,所以x 1x 2=1. 所以x 2=1x 1.所以切线l 1的方程分别为y-ln x 1=1x 1(x-x 1),切线l 2的方程为y+ln x 2=-1x 2(x-x 2),即y-ln x 1=-x 1(x -1x 1).分别令x=0得A (0,-1+ln x 1),B (0,1+ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x11+x 12,ln x 1+1-x 121+x 12). ∵x 1>1,∴S △PAB =12|y A -y B |·|x P |=2x11+x 12<1+x 121+x 12=1. ∴0<S △PAB <1,故选A .10.(2016四川,理10)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是 ( )A.434B.494C.37+6√34D.37+2√334答案B 由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.以D 为原点,直线DA 为x 轴,过D 的DA 垂线为y 轴 建立平面直角坐标系 ,如图,则A (2,0),B (-1,-√3),C (-1,√3).设P (x ,y ),由已知|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-2)2+y 2=1, ∵PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M (x -12,y+√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+12,y+3√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x+1)2+(y+3√3)24,它表示圆(x-2)2+y 2=1上点(x ,y )与点(-1,-3√3)距离平方的14, ∴(|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)max =14(√32+(0+3√3)2+1)2=494,故选B .11.(2016四川,理11)cos 2π8-sin 2π8= . 答案√22解析由三角函数二倍角公式 得,cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22.12.(2016四川,理12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 答案32解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果 有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-(12)2=34.所以在2次试验中成功次数X 的取值为0,1,2,其中P (X=0)=(14)2=116,P (X=1)=C 21×34×14=38,P (X=2)=34×34=916, 所以在2次试验中成功次数X 的均值是EX=0×116+1×38+2×916=32.13.(2016四川,理13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 . 答案√33解析由三棱锥的正视图知,三棱锥的高为1,底面边长分 别为2√3 ,2,2,所以底面三角形的高为√22-(√3)2=1,所以,三棱锥的体积为V=13×12×2√3×1×1=√33.14.(2016四川,理14)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=4x ,则f (-52)+f (1)= .答案-2解析因为函数f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,所以f (-1)+f (1)=0,f (-1)=f (-1+2)=f (1) . 所以f (1)=0,f (-52)=f (-12-2)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,所以f (-52)+f (1)=-2.15.(2016四川,理15)在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为P'(yx 2+y 2,-xx 2+y 2);当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C'定义为曲线C 的“伴随曲线.”现有下列命题:①若点A 的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A ; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身;③若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线”C'关于y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 (写出所有真命题的序号). 答案②③解析对于①,若令P (1,1),则其伴随点 为P'(12,-12),而P'(12,-12)的伴随点为(-1,-1),而不是P ,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P (cos x ,sin x ),其伴随点为P'(sin x ,-cos x )仍在单位圆 上,故②正确;对于③,设A (x ,y )与B (x ,-y )为关于x 轴对称的两点,则A 的“伴随点”为A'(y x 2+y 2,-xx 2+y 2),B 点的伴随点为B'(-y x 2+y 2,-xx 2+y 2),A'与B'关于y 轴对称,故③正确; 对于④,取直线l :y=1.设其“伴随曲线”为C ,其上任一点M (x ,y ), 与其对应的直线l 上的点为N (t ,1).则由定义可知{x =1t 2+1,y =-tt 2+1,①②①2+②2得x 2+y 2=1+(-t )2(t 2+1)2=11+t 2=x , 整理得x 2+y 2-x=0,显然不是一条直线.故④错误; 所以正确的序号为②③.16.(2016四川,理16)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨).估计x 的值,并说明理由. 解(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3. 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 17.(2016四川,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cosAa +cosBb =sinCc . (1)证明:sin A sin B=sin C ; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc ,求tan B. 解(1)根据正弦定理,可设a sinA =b sinB =c sinC=k (k>0).则a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C.代入cosA a +cosB b =sinC c 中,有cosA ksinA +cosB ksinB =sinCksinC ,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B= sin(A+B ).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B )=sin(π-C )=sin C ,所以sin A sin B=sin C. (2)由已知,b 2+c 2-a 2=65bc , 根据余弦定理,有cos A=b 2+c 2-a 22bc =35,所以sin A=√1-cos 2A =45.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B , 所以45sin B=45cos B+35sin B ,故tan B=sinBcosB=4. 18.(2016四川,理18)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD ,E 为棱AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1)在平面PAB 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PBE ,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下: 由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,所以CM∥平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以∠PDA=45°.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=√22.在Rt△PAH中,PH=√PA2+AH2=3√22,所以sin∠APH=AHPH =13.方法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA ⊥AB ,可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1,则在Rt △PAD 中,PA=AD=2.作Ay ⊥AD ,以A 为原点,以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),P (0,0,2),C (2,1,0),E (1,0,0).所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面PCE 的法向量为n =(x ,y ,z ). 由{n ·PE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x -2z =0,x +y =0.设x=2,解得n =(2,-2,1).设直线PA 与平面PCE 所成角为α, 则sin α=|n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√2+(-2)+1=13.所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.19.(2016四川,理19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *. (1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (2)设双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.解(1),S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2, 即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2. 所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率e n =√1+a n2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=53,解得q=43.因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以√1+q 2(k -1)>q k-1(k ∈N *). 于是e 1+e 2+…+e n >1+q+…+q n-1=q n -1q -1, 故e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.20.(2016四川,理20)已知椭圆E :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l :y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(2)设O 是坐标原点,直线l'平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,且与直线l 交于点P ,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值. 解(1)由已知,a=√2b ,则椭圆E 的方程为x 22b2+y 2b2=1.由方程组{x 22b 2+y 2b2=1,y =-x +3,得3x 2-12x+(18-2b 2)=0. ① 方程①的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,此时方程①的解为x=2, 所以椭圆E 的方程为x 26+y 23=1,点T 坐标为(2,1). (2)由已知可设直线l'的方程为y=12x+m (m ≠0),由方程组{y =12x +m ,y =-x +3,可得{x =2-2m3,y =1+2m3.所以P 点坐标为(2-2m 3,1+2m 3),|PT|2=89m 2. 设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组{x 26+y 23=1,y =12x +m , 可得3x 2+4mx+(4m 2-12)=0. ②方程②的判别式为Δ=16(9-2m 2), 由Δ>0,解得-3√22<m<3√22. 由②得x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=4m 2-123.所以|PA|=√(2-2m 3-x 1)2+(1+2m3-y 1)2=√52|2-2m3-x 1|, 同理|PB|=√52|2-2m3-x 2|. 所以|PA|·|PB|=54|(2-2m 3-x 1)(2-2m 3-x 2)| =54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(x 1+x 2)+x 1x 2| =54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(-4m 3)+4m 2-123| =109m 2.故存在常数λ=45,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.21.(2016四川,理21)设函数f (x )=ax 2-a-ln x ,其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>1x -e 1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数). 解(1)f'(x )=2ax-1x =2ax 2-1x(x>0). 当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x )=0,有x=√2a. 此时,当x ∈(0,1√2a )时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(1√2a,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增. (2)令g (x )=1x −1e x -1,s (x )=e x-1-x. 则s'(x )=e x-1-1.而当x>1时,s'(x )>0,所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又由s (1)=0,有s (x )>0,从而当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x<0. 故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时,√2a >1. 由(1)有f (√2a )<f (1)=0,而g (√2a)>0, 所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x>1时,h'(x )=2ax-1x +1x 2-e 1-x >x-1x +1x 2−1x =x 3-2x+1x 2>x 2-2x+1x 2>0. 因此,h (x )在区间(1,+∞)单调递增. 又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈[12,+∞).。

结束输出v i =i 1 v =vx +ii ≥ 0?i =n 1v = 1 开始 输入n, x 否 是2016年四川卷理科数学试题逐题详解考试时间:2016年 6月 7日(星期二)15:00～17:00本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150分.考试时间 120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共 50分)一、 选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.1. 设集合 { }22 A x x =-££ ,Z 为整数集,则集合A Z I 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】C ；由题可知, { } 2,1,0,1,2 A =-- Z I ,则 A Z I 中元素的个数为5. 2. 设i 为虚数单位,则( ) 6i x + 的展开式中含 4x 的项为( )A ． 4 15x -B ． 415x C ． 4 20i x - D ． 420i x【解析】A ；由题可知,含 4x 的项为 24246 C i 15 x x =- .3. 为了得到函数 π sin 2 3 y x æö =- ç÷ èø的图象,只需把函数 sin 2 y x = 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动 π 3 个单位长度B ．向右平行移动 π 3 个单位长度C ．向左平行移动 π6个单位长度D ．向右平行移动 π6个单位长度【解析】D ；因为 ππ sin 2sin 2 36 y x x éù æöæö =-=- ç÷ç÷ êú èøèø ëû ,所以只需把 sin 2 y x = 的图象向右平移 6 p个单位. 4. 用数字1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72【解析】D ；由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5；分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 13 C ,再将剩下的4个数字排列得到 44 A ,则满足条件的五位数有 1434 C A 72 ×= .5. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12% ,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年 份是( )(参考数据:lg1.120.05 » ,lg1.30.11 » ,lg 20.30 = ) A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【解析】B ；设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,( )130112%200 x+= ,解得 1.12200lg 2lg1.3 log 3.80 130lg1.12x - ==» ,因资金需 超过200万,则x 取4,即2019年.6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示 的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ,x 的值 分别为3,2.则输出v 的值为( ) A ．9B ．18C ．20D ．35【解析】B ；初始值 3,2 n x == ,程序运行过程: 2 i = , 1224 v =´+= ； 1 i = ,详解提供: 南海中学 钱耀周(1,1) C (2,1) B (1,0)A (0,1)Oy xy =1y = x+1y =x 1P MFxO y4219 v =´+= ； 0 i = , 92018 v =´+= ； 1 i =- ,跳出循环,输出 18 v = .7. 设 p :实数 , x y 满足( ) ( ) 22 112 x y -+-£ ,q :实数 , x y 满足 11 1 y x y x y ³- ì ï³- í ï £ î,则 p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】A ；如图,( ) ( ) 22112 x y -+-£ ①表示圆心为( ) 1,1 ,半径为 2 的圆内区域所有点(包括边界)； 11 1 y x y x y ³- ì ï³- í ï £ î② 表示 ABC D 内部区域所有点(包括边界).实数 , x y 满足②则必然满足①,反之不成立,则 p 是q 的必要不充分条件.8. 设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线 22 y px = ( 0 p > )上任意一点,M 是线段PF 上的点,且2 PM MF = ,则直线OM 斜率的最大值为( )A ．3 3B ．2 3C ．2 2D ．1【解析】C ；如图,由题可知 ,0 2 p F æö ç÷ èø ,设P 点坐标为 2 00 , 2 y y p æö ç÷ èø,显然,当 0 0y < 时, 0 OM k < ； 0 0 y > 时, 0 OM k > ,要求 OM k 最大值,不妨设 0 0 y > ,则OM OF FM =+= uuuu r uuu r uuuu r OF +uuu r( )200 1112 , 3333633 y y p FP OF OP OF OP OF p æö=+-=+=+ ç÷ èø uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r , 020 0 02 32 63 OM y k y p y p p y p == + +2 22 £ 2 2 = ,当且仅当 220 2 y p = 等号成立.[或]设 ( ) 2 2,2 P pt pt , ( ) , M x y ,则 2 2,2 2 p FP pt pt æö =- ç÷ èø uuu r , 又 1 3 FM FP = uuuu r uuu r ,所以 2 2 236 p p p x t -=- 且 2 3 pt y = ,即 2 2 33 p p x t =+ 且 2 3 pt y = ,所以 OM k =2 2112 1 212 12 2 2t t t t =£= + + ,所以( ) max2 2 OM k = . 9. 设直线 1 l , 2 l 分别是函数 ( ) ln ,01 ln ,1 x x f x x x -<< ì= í > î 图象上点 1 P , 2 P 处的切线, 1 l 与 2 l 垂直相交于点P ,且1 l ,2 l 分别与 y 轴相交于点 , A B ,则 PAB D的面积的取值范围是( ) A ．( )0,1 B ．( )0,2 C ．( )0,+¥ D ．( )1,+¥ 【解析】A ；由题设知,不妨设 12 , P P 点的坐标分别为 ( ) ( ) 111222 ,,, P x y P x y ,其中 12 01 x x <<< ,则由于 12, l l 分别是点 12 , P P 处的切线,由导数几何意义可知 1 l 的斜率 1 k 为 1 1 x - , 2 l 的斜率 2 k 为 21x ；又 1 l 与 2 l 垂直, 且 12 0 x x << ,可得: 1112 1211 11 k k x x x x ×=-×=-Þ×= ,且 1 l 的方程为: ( ) 11 1 1ln y x x x x =--- ①, 2 l2D P C (3, 3)C (3, 3) x A y PAMCBxDy的方程分别为 ( ) 22 2 1ln y x x x x=-+ ②,此时点 A 的坐标为( ) 1 0,1ln x - , B 的坐标为( ) 2 0,1ln x -+ ,由此可得: ( ) 1212 2ln ln 2ln 2 AB x x x x =--=-×= ,①、②两式联立可解得交点P 的横坐标为x =121212 2ln 2 x x x x x x - = ++ , PAB D 的面积为 12 1 1 1122 21 1 22 PAB xS AB P x x x x D =×=´´=£ + + ,当且仅当 1 1 1x x=即 1 1 x = 时等号成立,而 1 01 x << ,所以 1 PAB S D < . 10.在平面内,定点 ,,, A B C D 满足 == DA DB DC uuu r uuu r uuu r , 2 DA DB DB DC DC DA ×=×=×=- uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r,动点P ,M满足 =1 AP uuu r ,PM MC = uuuu r uuu u r ,则 2BM uuuu r 的最大值是( )A ．434B ．494 C ． 3763 4 + D ．37233 4+ 【解析】B ；由题意, DA DB DC == uuu r uuu r uuu r,所以 D 到 ,, A B C 三点的距离相等, D 是 ABC D 的外心；2 DA DB DB DC DC DA ×=×=×=- uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ( )0 DA DB DB DC DB DA DC DB CA Þ×-×=×-=×= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,所以DB AC ^ ,同理可得, , DA BC DC AB ^^ ,从而D 是 ABC D 的垂心； 所以 ABC D 的外心与垂心重合,因此 ABC D 是正三角形,且D 是 ABC D 的中心, cos DA DB DA DB ADB DA DB ×=Ð= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 1 2 2 æö´-=-ç÷ èø所以 2 DA = uuu r,所以正三角形 ABC D 的边长为23,以 A 为原点建立直角坐标系, ,, B C D 三点坐标分别为 ( ) ( )3,3,3,3 B C - , ( ) 2,0 D ,由 1 AP = uuu r,设 ( ) cos ,sin P q q ,其中 [ ) 0,2π q Î ,而PM MC = uuuu r uuu u r,即M 是PC 的中点,可以写出M 的坐标为 3cos 3sin , 22 M q q æö++ ç÷ ç÷ èø,则 22 cos3 2 BM q - æö =+ ç÷ èø uuuu r 23712sin 33sin 371249 6 2444 p q q æö +- ç÷ æö ++ èø =£= ç÷ ç÷ èø,当 2 3 q p = 时, 2 BM uuuu r 取得最大值 49 4 . [或]甴已知易得 120 ADC ADB BDC Ð=Ð=Ð=°, 2 DA DB DC === uuu r uuu r uuu r,以D 为原点,直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系,则 ( ) 2,0 A , ( )1,3 B -- , ( )1,3 C - ,设 ( ) , P x y ,由已知 1 AP = uuu r ,得( ) 2 2 21 x y -+= ,又PM MC = uuuu r uuu u r ,所以 13 , 22 x y M æö -+ ç÷ ç÷ èø ,所以 133 , 22 x y BM æö ++ =ç÷ ç÷ èøuuuu r ,所以 ( ) ( )222 133 4x y BM -++ = uuuu r ,它表示圆( ) 2 221 x y -+= 上点( ) . x y 与点 ( )1,33 -- 距离平方的 1 4 ,所以 ( )( )22 2 2max 149 3331 44 BM æö =+-+= ç÷ èøuuuu r .13 3CBAP1133第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.11. 22 ππ cos sin = 88- __________．【解析】2 2 ； 22 πππ2 cos sin cos 8842-== (直接考查二倍角公式). 12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是__________．【解析】 3 2 ； 由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为 113 1 224P =-´= , 因为 2次独立试验成功次数X 满足二项分布 3 ~2, 4 X B æö ç÷ èø,则 ( ) 33 2 42E X =´= 13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是_________.【解析】 33；由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得几何体P ABC - ,且三棱锥高为 1 h = ,则体积 13V Sh ==113 2311 323 æö´´´´= ç÷ èø. 14.已知函数 ( ) f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当01 x << 时, ( ) 4 xf x = ,则 5 2 f æö-+ ç÷ èø ( ) 1 f = __________.【解析】 2 - ；由周期性知 ( ) ( ) 11 f f =- ,由奇函数知 ( ) ( ) 11 f f =-- ,即 ( ) 10 f = ,又 5 2 f æö -= ç÷ èø11 22 f f æöæö-=- ç÷ç÷ èøèø12 42 =-=- ,所以 ( ) 5 12 2 f f æö-+=- ç÷ èø. 15.在平面直角坐标系中,当 ( ) , P x y 不是原点时,定义P 的“伴随点”为 2222 , y x Px y x y æö- ¢ ç÷++ èø；当P 是 原点时,定义P 的“伴随点”为它自身,平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ¢定义为曲线C 的“伴随曲线”,现有下列命题:① 若点A 的“伴随点”是点A ¢,则点A ¢的“伴随点”是点A ；② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；③ 若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线” ' C 关于 y 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是__________(写出所有真命题的序号).【解析】②③；①设 ( ) , A x y ,伴随点 2222 , y x Ax y x y æö- ¢ ç÷++ èø , A ¢的伴随点横坐标为 2222 2222x x yy x x y x y - + æöæö - + ç÷ç÷ ++ èøèøx =- ,同理可得纵坐标为 y - ,故 ( ) , A x y ¢¢ -- ,错误；② 设单位圆上的点P 的坐标为( ) cos ,sin q q ,则 P 的伴随点的坐标为 ( ) sin ,cos P q q ¢ -= ππ cos ,sin 22 q q æö æöæö -- ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø ,所以P ¢也在单位圆上,即P ¢点是P 点延顺时针方向旋转 π2 .正确；③设曲线C 上点 A 的坐标( ) , x y ,其关于x 轴对称的点 ( )1 , A x y - 也在曲线C 上,所以点 A 的伴随点 2222 , y x Ax y x y æö - ¢ ç÷ ++ èø ,点 1 A 的伴随点 1 2222 , y x A x y x y æö -- ¢ ç÷ ++ èø, A ¢与 1 A ¢ 关于 y 轴对称.正确；④反例:例如 1y = 这条直线,则 ( ) 0,1 A , ( ) 1,1 B , ( ) 2,1 C ,而这三个点的伴 随点分别是 ( ) 1112 1,0,,,, 2255 A B C æöæö¢¢¢ -- ç÷ç÷ èøèø,而这三个点不在同一直线上.下面给出严格证明:设点 ( ) , P x y 在直线 :0 l Ax By C ++= ,P 点的伴随点为 ( ) 00, P x y ¢ ,则 0 22 0 22 y x x yx y x y ì = ï + ï í - ï = ï + î ,解得 022 000 2200y x x y x y x y - ì = ï + ï í ï = ï + î , 代入直线方程可知 00222200000 y x AB C x y x y - ++= ++ ,化简得 ( ) 22 0000 0 Ay Bx C x y -+++= ,当 0 C = 时, ()2200 C x y + 是一个常数, ' P 的轨迹是一条直线；当 0 C ¹ 时, ()2200 C x y + 不是一个常数,P ¢的轨迹不是一条直线.所以,直线“伴随曲线”不一定是一条直线. 错误.三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟 确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议 价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按 照[ ) 0,0.5 ,[ ) 0.5,1 ,…,[ ] 4,4.5 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ) 求直方图中a 的值；(Ⅱ) 设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由； (Ⅲ) 若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x (吨),估计x 的值,并说明理由.a 0.52 0.40 0.160.12 0.08 0.044.5 43.532.521.510.5月均用水量（吨）组距频率 【解析】(Ⅰ)由直方图得 ( ) 0.50.080.160.40.520.120.080.0421 a ´+++++++= ,解得 0.3 a = .(Ⅱ)由图,不低于3吨人数所占百分比为 ( ) 0.50.120.080.04=12% ´++ , 所以全市月均用水量不低于3吨的人数为:3012%=3.6 ´ (万) (Ⅲ)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:EPDCBAG M FAB CDPE( ) 0.50.080.160.30.40.520.73 ´++++= ,即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故2.53 x << , 假设月均用水量平均分布,则 ( ) 85%73%0.5 2.50.5 2.9 0.3x -¸ =+´= (吨).所以,估计用水量为2.9吨时,85%的居民每月均用水量不超过标准. 17.(本小题满分 12分)在 ABC D 中,角 ,, A B C 所对的边分别是 ,, a b c ,且cos cos sin A B Ca b c+= . (Ⅰ) 证明:sin sin sin A B C = ； (Ⅱ) 若 2226 5b c a bc +-= ,求tan B .【解析】(Ⅰ)依题意,结合正弦定理得 cos cos sin 1 sin sin sin A B CA B C+== ,两边同时乘以sin sin A B ,可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += ,又sin cos sin cos B A A B += ( ) ( ) sin sin sin A B C C p +=-= ,从而sin sin sin A B C = .(Ⅱ)由题 22265 b c a bc +-= ,根据余弦定理可知, 2223 cos 25b c a A bc +- == ,又 ( ) 0, A p Î ,sin 0 A > ,则 234sin 1 55A æö =-= ç÷ èø ,即 cos 3 sin 4 A A = ,由(Ⅰ)可知 cos cos sin 1 sin sin sin ABC A B C +== ,所以 cos 11 sin tan 4 B B B ==所以tan 4 B = .18.(本小题满分 12分)如图,在四棱锥P ABCD - 中, // AD BC , 90 ADC PAB Ð=Ð=°, 12BC CD AD == ,E 为棱 AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(Ⅰ) 在平面PAB 内找一点M ,使得直线 // CM 平面PBE ,并说明理由；(Ⅱ) 若二面角P CD A -- 的大小为45°,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)延长AB ,交直线CD 于点M ,因为E 为 AD 中点,所以 1 = 2AE ED AD = ,因为 1 = 2BC CD AD = ,所以ED BC = ,因为 // AD BC 即 // ED BC ,所以四边形BCDE 为平行四边形, // BE CD ,即 // CM BE ,又BE Ì 面PBE ,CM Ë 面PBE ,所以 // CM 面PBE .此时M 在DC 延长线上,且DC CM = . (事实上:延长AP 至N 使AP PN = ,则所找的点可以是MN 上任意一点!)(Ⅱ)过A 作 AF EC ^ 交EC 于点F ,连结PF ,过A 作 AG PF ^ 交PF 于点G , 因为 90 PAB =° ∠ ,PA 与CD 所成角为90°,所以PA AB ^ ,PA CD ^ ,又 = AB CD M I , 所以PA ^平面 ABCD ,又EC Ì面ABCD ,所以PA EC ^ ,因为EC AF ^ 且 AF AP A = I ,z E PD C BAx M y 所以CE ^面PAF ,又 AG Ì面PAF ,所以AG CE ^ ,因为 AG PF ^ 且 AG AF A = I , 所以AG ^面PFC ,所以 APF ∠ 为所求PA 与面PCE 所成的角,因为PA ^面 ABCD , 90 ADC =° ∠ 即 AD DC ^ .所以 PDA ∠ 为二面角P CD A -- 所成的平面角, 由题意可得 45 PDA =° ∠ ,而 90 PAD =° ∠ ,所以PA AD = ,因为BC CD = ,四边形BCDE 是平行四边形, 90 ADM =° ∠ ,所以四边形BCDE 是正方形, 所以 45 BEC =° ∠ ,所以=45 AEF BEC = o∠∠ ,因为 90 AFE = o∠ ,所以 2= 2AF AE , 所以 22 4 tan == 4 AD AF APF AP AP = ∠ ,所以 1sin = 3APF ∠ , 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为 13.向量法:由已知CD PA ^ ,CD AD ^ ,PA AD A = I ,所以CD ^平面PAD ,于是CD PD ^ ,故 PDA Ð 为二面角P CD A -- 的平面角,所以 45 PDA =° ∠ ,由PA AB ^ ,PA CD ^ ,又 = AB CD M I ,所以PA ^平面ABCD ,不妨设 1 BC = , 则在Rt PAD D 中, 2 PA AD == ,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A xyz - 如图所示,则( ) 0,0,0 A , ( ) 0,0,2 P , ( ) 2,1,0 C , ( ) 1,0,0 E , () 1,0,2 PE =- uuu r , ( ) 1,1,0 EC = uuu r , ( ) 0,0,2 AP = uuu r, 设平面PCE 的法向量为 ( ) ,, x y z = n ,则 0 0 PE EC ì ×= ïí ×= ï îuuu r uuu r n n ,得 20 0 x z x y -= ì í += î ,解得 2 2 x z y z = ì í=- î , 令 1 z = ,得 ( ) 2,2,1 =- n ,设直线PA 与平面PCE 所成角为q ,则 21sin 233AP AP q × === ´ uuu ruuu r n n , 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为 13. 19.(本小题满分 12分)已知数列{ } n a 的首项为1, n S 为数列{ } n a 的前n 项和, 1 1 n n S qS + =+,其中 0 q > , *n ÎN . (Ⅰ) 若 232 2,,2 a a a + 成等差数列,求{ }n a 的通项公式； (Ⅱ) 设双曲线 2 22 1 ny x a -= 的离心率为 n e ,且 253 e = ,证明: 12 1 43 3 n nn n e e e - - ++×××+> . 【解析】(Ⅰ)当 1 n = 时, 21 1 S qS =+ ,即 121 1 a a qa +=+ ,又 1 1 a = ,所以 2 a q = .当 2 n ³ 时, 1 1 n n S qS + =+ , 1 1 n n S qS - =+ ,相减得 1 n n a qa + = ,又 21 a qa q == , 所以{ }n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 又 232 2,,2 a a a + 成等差数列,所以 3222 22232 a a a a =++=+ ,即 22320 q q --= , 解得 2 q = 或 12q =- (舍去),所以 1* 2, n n a n - =ÎN .(Ⅱ) 2221 =1 1n n n a e a + =+ ,由(Ⅰ)可得,{ } n a 为首项为1,公比为q 的等比数列,故 22225 11 3 e a q =+=+= ,即 4 3 q = ,所以 14 3 n n a - æö= ç÷ èø,所以 22221444 1 333 n n n n e --- æöæöæö =+>= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø所以 21 123 1 4 1 44443 3 ...1... 4 3333 1 3nn n nn n e e e e - - æö- ç÷ - æöæö èø ++++>++++== ç÷ç÷ èøèø - ,不等式得证.20.(本小题满分 13分)已知椭圆E : 2222 1 x y a b+= ( 0 a b >> )的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l : 3 y x =-+ 与椭圆E 有且只有一个公共点T .(Ⅰ) 求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(Ⅱ) 设O 是坐标原点,直线l ¢平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明: 存在常数l ,使得 2PTPA PB l =× ,并求l 的值.【解析】(Ⅰ)设短轴一端点为 ( ) 0, C b ,左,右焦点分别为 ( ) 1 ,0 F c - , ( ) 2 ,0 F c ( 0 c > ),则 222c b a += .由题意, 12 F F C D 为直角三角形,所以 2221212 F F FC F C =+ ,解得 22b c a == , 所以E : 22 22 1 2 x y b b += ,代入 3 y x =-+ 消去 y 整理得 223121820 x x b -+-= (*),由 ( ) 2212121820 b D =--= ,解得 2=3 b ,所以椭圆E 的方程为 221 63x y += .此时(*)为 2440 x x -+= ,解得 2 x = ,则 31 y x =-+= ,所以T 的坐标为( ) 21 , .(Ⅱ)设l ¢: 1 2 y x m =+ ( 0 m ¹ ),联立直线l 的方程可解得 22 2,1 33 m m P æö -+ ç÷ èø,故 2 2 8 9 PT m = ,设 ( ) ( ) 1122 ,,, A x y B x y ,联立直线l ¢与椭圆E 的方程消去 y 整理得22344120 x mx m ++-= , 由 ( ) 2216124120 m m D =--> ,解得 3232 22 m -<< ,且 12 4 3 mx x +=- , 212 412 3m x x - = , 所以 22111 2252 212 3323 m m m PA x y x æöæö=--++-=-- ç÷ç÷ èøèø,同理 2 52 2 23 m PB x =-- ,所以 12 522 22 433 m m PB PB x x æöæö ×=---- ç÷ç÷ èøèø ( ) 21212 522 22 433 m m x x x x æöæö =---++ ç÷ç÷ èøèø2 2 5224412 (2)(2)() 43333m m m m - =----+210 9 m = , 故存在常数 45l = ,使得 2PTPA PB l =× .[参数方程法]设 ( ) 00 ,3 P x x - 在l 上,由 12 OT k = ,l ¢平行OT ,得l ¢的参数方程为 0 02 3 x x t y x t =+ ì í =-+ î ,代入椭圆E 整理可得 2200 24440 t t x x ++-+= ,设两根为 A t , B t ,则有 ( ) 20 2 2A B x t t - =,而 ( ) ( )()( ) 22222000 23122 PTx x x =-+--=- , 5 A PA t = , 5 B PB t = ,故有 ( ) 2 0 5 552 2A B PA PB t t x ×=×=- ,由题意 2PT PA PB l =× , 所以 2220 2(2) 4 5 5 (2) 2PT x PA PB x l - === × - ,故存在常数 4 5 l = ,使得 2 PT PA PB l =× ,21.(本小题满分 14分)设函数 ( ) 2ln f x ax a x =-- ,其中a ÎR .(Ⅰ) 讨论 ( ) f x 的单调性；(Ⅱ) 确定a 的所有可能取值,使得 ( ) 1 1 e xf x x- >- 在区间( ) 1,+¥ 内恒成立(其中e 2.718 = …为自然 对数的底数).【解析】(Ⅰ)由题意, ( ) 2121'2 ax f x ax x x- =-= ( 0 x > ),① 当 0 a £ 时, 2210 ax -£ , ( ) 0 f x ¢ £ , ( ) f x 在( ) 0,+¥ 上单调递减.② 当 0 a > 时,当 1 0, 2 x a æöÎç÷ ç÷ èø 时, ( ) 0 f x ¢ < ；当 1 , 2 x a æö Î+¥ ç÷ ç÷ èø时, ( ) 0 f x ¢ > . 故 ( ) f x 在 1 0, 2a æöç÷ ç÷ èø 上单调递减,在 1 , 2a æö +¥ ç÷ ç÷ èø上单调递增. (Ⅱ)原不等式等价于 ( ) 1 1 e 0 xf x x - -+> 在 ( ) 1, x Î+¥ 上恒成立.一方面:令 ( ) ( ) 121 11 e ln e x xg x f x ax x a x x-- =-+=--+- ,只需 ( ) g x 在( ) 1,+¥ 上恒大于0即可,又 ( ) 10 g = ,故 ( ) g x ¢ 在 1 x = 处必大于等于0,令 ( ) ( ) 1 2 112e x F x g x ax x x- ¢ ==-+- , ( ) 10 g ¢ ³ ,可得 12 a ³ .另一方面:当 1 2 a ³ 时, ( ) 3 111 2323312122 2e 1e e x xx x x F x a x x x x x--- +- ¢ =+-+³+-+=+ , 因为 ( ) 1, x Î+¥ ,故 3 20 x x +-> ,又 1 e 0 x - > ,故 ( ) F x ¢ 在 12a ³ 时恒大于0.所以当 12a ³ 时, ( ) F x 在 ( ) 1, x Î+¥ 单调递增.所以 ( ) ( ) 1210 F x F a >=-³ ,故 ( ) g x 也在 ( ) 1, x Î+¥ 单调递增.所以 ( ) ( ) 10 g x g >= ,即 ( ) g x 在 ( ) 1, x Î+¥ 上恒大于0. 综上,a 的所有可能取值为 12a ³ .[法二]令 ( ) 1 11ex g x x - =- , ( ) 1 e x s x x - =- ,则 ( ) 1 e 1 x s x - ¢ =- ,当 1 x > 时, ( ) 0 s x ¢ > ,故 ( ) s x 递增, 又由 ( ) 10 s = ,有 ( ) 0 s x > ,从而当 1 x > 时, ( ) 0 f x > ,当 0 a £ , 1 x > 时, ( ) ( )2 1ln 0 f x a x x =--< , 故当 ( ) ( ) f x g x > 在区间( ) 1,+¥ 内恒成立时,必有 0 a > . 当 10 2a << 时,1 1 2a > ,由(Ⅰ)由 ( ) 1 102 f f a æö <= ç÷ èø ,从而 1 0 2g a æö > ç÷ èø , 所以此时 ( ) ( ) f x g x > 在区间( ) 1,+¥ 内不恒成立. 当 12a ³ 时,令 ( ) ( ) ( ) h x f x g x =- ( 1 x ³ ),当 1 x > 时, ( ) 32 1 2222111112121 2e 0 xx x x x h x ax x x x x x x x x - -+-+ ¢ =-+->-+-=>> ,因此, ( ) h x 在( ) 1,+¥ 上递增,又 ( ) 10 h = ,所以当 1 x > 时, ( ) 0 h x > ,即 ( ) ( ) f x g x > 恒成立, 综上,a 的所有可能取值为 12a ³ .。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年四川，理1，5分】设集合，Z为整数集，则集合中元素的个数是（）（A）3 （B）4（C）5 （D）6【答案】C【解析】由题可知，，则中元素的个数为5，故选C．【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．（2）【2016年四川，理2，5分】设为虚数单位，则的展开式中含的项为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由题可知，含的项为，故选A．【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式的展开式可以改为，则其通项为，即含的项为．（3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】由题可知，，则只需把的图象向右平移个单位，故选D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．（4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有，再将剩下的4个数字排列得到，则满足条件的五位数有，故选D．【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．（5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B【解析】设年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，，解得，因资金需超过200万，则取4，即2019年，故选B．【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【2016四川（理）】设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，【2016四川（理）】设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【答案】A【解析】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，【2016四川（理）】（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin （2x﹣）的图象，【2016四川（理）】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【答案】D【解析】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．【2016四川（理）】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【答案】B【解析】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．【2016四川（理）】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【答案】B【解析】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．【2016四川（理）】设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，【2016四川（理）】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．【2016四川（理）】（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【答案】A【解析】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．【2016四川（理）】在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【2016四川（理）】（2013秋•南开区期末）﹣=．【答案】【解析】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：【2016四川（理）】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【答案】【解析】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【答案】【解析】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，【2016四川（理）】已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f （x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．【答案】﹣2【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）时，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．【答案】②③【解析】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【2016四川（理）】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅱ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨【2016四川（理）】（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解析】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【解析】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【2016四川（理）】已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【解析】解：（Ⅰ）∵S n+1=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相加你可得a n+1=q•a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2=q=a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【解析】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代人椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．【2016四川（理）】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【解析】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【2016四川（理）】设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．【2016四川（理）】设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix43．【2016四川（理）】为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．【2016四川（理）】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．【2016四川（理）】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．【2016四川（理）】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．【2016四川（理）】设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．【2016四川（理）】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．【2016四川（理）】设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）10．【2016四川（理）】在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．【2016四川（理）】﹣=．12．【2016四川（理）】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．13．【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．【2016四川（理）】已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．【2016四川（理）】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．17．【2016四川（理）】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．【2016四川（理）】已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．【2016四川（理）】已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21．【2016四川（理）】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．。

2016年四川高考理科数学试题（带答案）2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（A）3（B）4（C）5（D）6 2.设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4 3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24（B）48（C）60（D）72 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年 6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A）9 （B）18 （C）20 （D）35 7.设p：实数x，y满足(x�C1)2�C(y�C1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且 =2 ,则直线OM的斜率的最大值为（A）（B）（C）（D）1 9.设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P¬2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 10.在平面内，定点A，B，C，D满足 = = , �q = �q = �q =-2，动点P，M满足 =1，= ，则的最大值是（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ）A. 3B.4C. 5D. 62. 设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）A. 415x -B. 415xC. 420i x -D. 420i x3. 为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A. 向左平行移动3π个单位长度 B. 向右平行移动3π个单位长度 C. 向左平行移动6π个单位长度 D. 向右平行移动6π个单位长度 4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （ ）A. 24B.48C. 60D.725. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据:lg1. 120. 05≈，lg1. 30. 11≈，lg 20. 30≈)A. 2018年B. 2019年C. 2020年D. 2021年6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，判断出v 的值为（ ）A. 9B. 18C. 20D. 357. 设p ：实数x ，y 满足22()(11)2x y ---≤，q ：实数x ，y 满足1,11,y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≤,则p 是q 的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A. B.23C.2D. 19. 设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01,()ln , 1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PBC △的面积的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (0,2)C. (0,)+∞D. (1,)+∞10. 在平面内，定点,,,A B C D 满足||||||D A D B D C ==，DA DB DB DC DC ⋅=⋅=⋅2DA =-，动点,P M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A. 434B. 494C. 374+D.374+姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------第Ⅱ卷（选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11. 22cossin88ππ-=________.12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________.13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.14. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则52()(1)f f +-=________.15. 在平面直角坐标系中，当,()P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222'(,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________（写出所有真命题的序列）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全 市居民中月均用水量不低于3吨 的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居 民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由.17.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ADBC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==.E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒. （Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM平面PBE ，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P CD A --的大小为45︒，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，n ∈*N .（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n nn n e e e --+++>.20.（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221x y a b+=0a b >>（）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点,A B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.21.（本小题满分14分）设函数2()ln f x ax a x =--，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得11()e xf x x->-在区间(1,)+∞内恒成立(e = 2.718为自然对数的底数).2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】由题可知，AZ {2,1,0,1,2}=--，则A Z 中元素的个数为5，故选C ．【提示】由A 与Z ，求出两集合的交集，即可做出判断． 【考点】交集及其运算． 2.【答案】A【解析】由题可知，含4x 的项为24246C x i 15x =-，选A ．【提示】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当i 1=-时，不反之不成立．则p是q 的必要不充分条件．故选A ．0时，OM ；0时，OM ，要求OM 最大值，不妨设则20y 1112OM OF FM OF FP OF (OP OF)OP OF ⎛=+=+=+-=+=y 2223第8题图【提示】由题意可得p F ,02⎛⎫⎪⎝⎭，设200y p ,y 2p ⎛⎫⎪⎝⎭，要求OM k 的最大值，设0y 0>，运用向量的加减运算可得200y y 12p OM OP OF ,336p 33⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，再由直线的斜率公式，结合基本不等，x 1≠，故【提示】设出点1P ，2P 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线1l 与2l 的斜率，由两直线垂直求得1P ，2P 的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A ，B 两点的纵坐标，得到AB ，联立两直线方程求得P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，由题意，DA DB DC ==，所以的外心，DA DB DB DC DC DA 2===-DA DB DB DC DB (DA DC)DB CA 0⇒-=-==，所以DB DC AB ⊥D 是ABC △的垂心；ABC ∴△的外心与垂心重合，因此ABC △是正三角形，且D 是ABC △1DA DBDA DB cos ADB DA DB 2DA 23⎛⎫=∠=⨯-=-⇒= ⎪所以正三角形ABC △的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系，B(3,3)-，C(3, AP 1=，设而P M M C =，即M 点，可以写出2cos BM ⎛= ⎝2π3θ=时，2BM 取得最大值DA DB DC==，DA DB DB DC DC DA 2===-，可得D 为ABC △的垂心，则D 为ABC △的中心，即ABC △为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC △的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为X 轴建立直角坐标系XOY ，求得B ，C 的坐标，再设P 点的坐标为(cos ,sin )θθ，[0,2π)θ∈，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三【提示】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即2【提示】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数3X ~B 2,⎛⎫⎪，由此能求出在2次试验中成功次数X 的均值E(X)．由题可知，三棱锥每个面都是腰为3323⎝⎭【提示】根据()f x 是周期为2的奇函数即可得到f f f 222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用当0x 1<<时，x f (x)4=，求出5f 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再求出f (1)，即可求得答案．【考点】函数奇偶性的性质． 15.【答案】②③频率【提示】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；AA【提示】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．点BCADAB CD M=CD∈，CM BE∥，BEM90∠，PA90，AB CD=M，ABCD⊥，EC⊂面ABCDEC AF AP A=，，AG，AG AG AF A=，PA与面PCEPA ADC=90即AD所成的平面角，由题意可得PDA=45，而PAD=90∠，BC ADM=90，45，BEC45=，90∠，AE，第18题图【提示】（Ⅰ）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得1AE ED=AD2=，由1BC CD=AD2=，可得ED BC=，已知ED BC∥．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB CD∥．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（Ⅱ）如图所示，由ADC PAB90∠=∠=，异面直线PA与CD所成的角为90，AB CD M=，可得AP⊥平面ABCD．由CD PD⊥，PA AD⊥．因此PAD∠是二面角P CD A--的平面角，大小为45．PA AD=．不妨设AD2=，则1B C C D A D12===．经【提示】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列n{a}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据22a，3a a，2a2+成等差数列求得公比q的值，可得n{a}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得ne=，根据25e3==，求得q的值，可得n{a}的解析式，再利用放缩法可得∴n-1n4e3⎛⎫=> ⎪，从而得证不等式成立．243(182b-A B(xt2-=AB 05PA PB 5t 5t (x 2==-2PT PA PB =λ．22020PT2(x 2)45PA PB (x 2)2-==-【提示】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C 与左右焦点1F 、2F 构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E 只有一个交点，利用判别式0∆=，即可求出椭圆E 的方程和点T 的坐标；（Ⅱ）设出点P 的坐标，根据l OT '∥写出l '的参数方程，代人椭圆E 的方程中，整理得出方程，PB 求出又g(1)x 【提示】（Ⅰ）利用导数的运算法则得出f (x)'，通过对a 分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性； （Ⅱ）令1x 21x 11g(x)f (x)e ax lnx e a x x--=-+=--+-，可得g(1)0=，从而g (1)0'≥，解得1a 2≥， 又，当1a 2≥时，31x1x 23312x x 2F (x)2a e e x x x --+-'=+-+≥+，可得F (x)'在a 2≥时恒大于0，即F(x)在x (1,)∈+∞单调递增．由F(x)F(1)2a 10>=-≥，可得g(x)也在x (1,)∈+∞单调递增，进而利用g(x)g(1)0>=，可得g(x)在x (1,)∈+∞上恒大于0，综合可得a 所有可能取值．【考点】利用导数研究函数的单调性，导数最值问题的应用．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A ∩Z 中元素的个数是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62. 设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43. 为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6. 秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357. 设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 8. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33（B ）23（C ）22（D ）1 9. 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 10. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA →=DB →=DC → ,DA →﹒DB →=DB →﹒DC →=DC→﹒DA →=-2，动点P ，M 满足AP →=1，PM →=MC→，则2BM →的最大值是（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B+=+24S Rp=如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A B P A P B?球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343V Rp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=…第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x+的展开式中2x的系数是（）A、42B、35C、28D、212、复数2(1)2ii-=（）A、1B、1-C、iD、i-3、函数29,3()3ln(2),3xxf x xx x⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x=处的极限是（）A、不存在B、等于6C、等于3D、等于04、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE=，连接EC、ED则sin CED∠=（）A、10B、10C、10D5、函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）6、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9（B ）18（C ）20（D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33（B ）23（C ）22（D ）19.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1)（B ）(0,2)（C ）(0,+∞)（D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA=-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合A = {x\-2<x<2], Z为整数集，则AAZ中元素的个数是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62•设i为虚数单位，则(x + i)6的展开式中含7的项为(A) 一15A4 (B) 15A4 (C) -20i A4 (D) 20iF3.为了得到函数y = sin(2x —为的图象，只需把函数y = sin 2x的图象上所有的点3(A)向左平行移动丄个单位长度(B)向右平行移动上个单位长度3 3(C)向左平行移动£个单位长度(D)向右平行移动£个单位长度6 64.用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，苴中奇数的个数为(A) 24 (B) 48 (C) 60 (D) 725•某公司为激励创新，汁划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12^0.05, lg 1.3^0.11, lg2^0.30)(A) 2018 年(B) 2019 年(C) 2020 年(D) 2021 年6•秦九韶是我国南宋使英的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提岀的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给岀了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入小X的值分别为3, 2,则输岀V的值为(A) 9 (B) 18 (C) 20 (D) 35y>x-l,7.设P ：实数X, y 满足(x-l)2-(y-l)2W2, q ：实数x, y 满足则p 是彳的 g ，(A 〉必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 8•设0为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线/ =2/zr(p>0)±任意一点，M 是线段PF 上的点，且 |PM 卜2|M 鬥侧直线OM 的斜率的最大值为(A) T (B) I (c) f (D) 19•设直线?2分别是函数Av)=<^_lnX，0<A<1,图象上点凡，B 处的切线，厶与h 垂直相交于点P ，且厶， In x,x > 1, h 分别与y 轴相交于点A ，B.则△刊B 的而积的取值范围是(A) (OJ) (B) (02) (C) (0,+ 8) (D) (1,+ 8)10.在平而内，左点月，B, \C, D 满足网=盟=网.页• DB = DB • DC = DC .页=2,动点P, M 满足附卜1, PM^MC.则丽1的最大值是二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川.理1.5分】设集合{|22}A x x =-≤≤.Z 为整数集.则集合A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】由题可知. {}2,1,0,1,2A =--Z .则A Z 中元素的个数为5.故选C ．【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点.几乎是每年必考内容.属于容易题．一般是结合不等式.函数的定义域值域考查.解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．（2）【2016年四川.理2.5分】设i 为虚数单位.则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A【解析】由题可知.含4x 的项为24246C i 15x x =-.故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算.复数的概念及运算也是高考的热点.几乎是每年必考内容.属于容易题．一般来说.掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i .则其通项为66r r r C x -i .即含4x 的项为46444615C x x -=-i ．（3）【2016年四川.理3.5分】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题可知.ππsin 2sin 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位.故选D ．【点评】本题考查三角函数的图象平移.在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响.变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+.再把横坐标变为原来的1ω倍.纵坐标不变.得sin()y ωx φ=+的图象.另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1ω倍.纵坐标不变.得sin y ωx =的图象.向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．（4）【2016年四川.理4.5分】用数字1.2.3.4.5构成没有重复数字的五位数.其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题可知.五位数要为奇数.则个位数只能是1.3.5；分为两步：先从1.3.5三个数中选一个作为个位数有13C .再将剩下的4个数字排列得到44A .则满足条件的五位数有1434C A 72⋅=.故选D ．【点评】利用排列组合计数时.关键是正确进行分类和分步.分类时要注意不重不漏.分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中.个位是特殊位置.第一步应先安排这个位置.第二步再安排其他四个位置．（5）【2016年四川.理5.5分】某公司为激励创新.计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元.在此基础上.每年投入的研发资金比上一年增长12%.则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈.lg1.30.11≈.lg20.30=） （A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元.由题可知.()130112%200x+=.解得 1.12200lg 2lg1.3log 3.80130lg1.12x -==≈.因资金需超过200万.则x 取4.即2019年.故选B ． 【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用.解题时要注意把哪个作为数列的首项.然后根据等比数列的通项公式写出通项.列出不等式或方程就可解得结论．（6）【2016年四川.理6.5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家.普州（现四川省安岳县）人.他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法.至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.【题设】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，{2,1,0,1,2}A Z =-- ，故其中的元素个数为5，选C. 考点：集合中交集的运算.2. 【题设】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.3. 【题设】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.考点：三角函数图像的平移.4. 【题设】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A ，故选D. 学科.网考点：排列、组合5. 【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B考点：等比数列的应用.6. 【题设】秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35 【答案】B考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.7. 【题设】设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.8. 【题设】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33 （B ）23 （C ）22（D ）1【答案】C 【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222max 22,,2112223633,,12221221,,22332OM OM p p p p p x t x t t k k pt pt t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩，故选C.考点：1.抛物线的简单的几何性质；2.平面向量的线性运算. 学科.网9. 【题设】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.10. 【题设】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA=-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA资料来自高中数学教师交流分享群（群号码545423319）欢迎全国数学老师入群讨论为x 轴建立平面直角坐标系，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2221334x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点()1,33--距离平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=+-+= ⎪⎝⎭，故选B 。