第六章 多元函数微分学及其应用
主要考点：必考内容. 计算容易得分.难点：
（1）涉及概念或结合应用的问题.
（2）抽象函数的相关的计算
（3）二元函数的泰勒公式
（从未考过）
概念：
①多元函数微分学的基本概念及其联系．
计算：
②常见函数的偏导数、全微分等概念与计算（包括利用定义）．
体会复合函数球偏导数的方法；理解一阶微分形式不变性．
③抽象复合函数的偏导数、全微分的计算
④隐函数的偏导数、全微分的概念与计算．．
⑤变量替换下方程的变形．
⑥方向导数与梯度（只对数一）．
应用：
⑦几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一）．
⑧多元函数的极最值．
常见题型：选择题、填空题、计算题.
知识网络图
一 多元函数微分学的基本概念及其联系
几个概念之间的关系： ⇑
⇐⇒
⇓连续
偏导数方向连续偏导数可微分
方向导数存在
注意：关注几个典型的例子!!!
【例】（97）
二元函数
⎪
⎩⎪
⎨⎧
=≠
+=
)0,0(),(,0)0,0(),(,
),(22
yxyx
yxxy
yxf
在点（0，0）处 （ ） P87
（A）连续，偏导数存在， （B）连续，偏导数不存在，
（C）不连续，偏导数存在， （D）不连续，偏导数不存在。
【例】（02）考虑二元函数的下面4条性质： P87
（1）在点处连续； （2）在点处的两个偏导数连续； ),(yxf),(
00yx),(yxf),(
00yx
（3）在点处可微； （4）在点处的两个偏导数存在。 ),(yxf),(
00yx),(yxf),(
00yx
【例】(07)二元函数(,)fxy
在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ） P153
（A）
()()()()
,0,0lim,0,00
xyfxyf
→−=⎡⎤
⎣⎦
（B） ()()
0,00,0
lim0
xfxf
x
→−
=
，且()()
00,0,0
lim0
yfyf
y
→−
=
（C）
()(
)()()
22,0,0,00,0
lim0
xyfxf
第七章 多元函数的微分法
前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.
§7.1 多元函数的基本概念
一、二元函数及其图形
在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系，举例如下：
例1 任意三角形的面积S与底x高y有下列关系: S=)0,0(21yxxy
底与高可以独立取值，是两个独立的变量(称为自变量)。在它们的变化范围内，当的值取定后，三角形的面积就有一个确定的值与之对应。
例2 从物理学中知道，理想气体的体积V与绝对温度T、压强P之间有下列关系:
),0,0(是常数RPTPRTV
T,P可以独立取值，是两个独立的变量，在它们的变化范围内，当T,P的值取定后，体积V就有一个确定的值与之对应。
以上两个例子的具体意义虽然不同，但却具有一个共同的特征，抽去它们的共性，就得到二元函数的定义如下：
定义1 设有三个变量x、y、z，若对于变量x、y在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z称为x、y的二元函数，记作z＝f（x，y）。称x、y为自变量，z为因变量。自变量的变化范围称为函数的定义域。
当自变量x、y分别取值x0、y0时，因变量z的对应值z0称为函数z＝f（x，y）的当x=x0， y=y0时的函数值，记作z0= f（x0、y0）。
类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数。二元以及二元以上的函数都称为多元函数。
注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域的边界。不包括边界的区域叫做开区域，连同边界在内的区域叫做闭区域。如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的。如果区域总可被包围在一个以原点为中心而半径适当大的圆内，则称此区域是有界的。易见,例1、例2中函数的定义域都是无界的。
多元函数微分学的应用
一、极值问题
多元函数微分学最重要的应用之一是求解极值问题。通过求取函数的偏导数，我们可以找到函数的极值点。这对于经济学家、物理学家和其他相关领域的研究者来说是非常重要的。例如，在经济学中，我们可以使用多元函数微分学来确定产品的最优产量和价格，以使利润最大化。在物理学中，我们可以使用多元函数微分学来优化力学系统的能量和动量。
二、方向导数与梯度
方向导数是一个重要概念，它描述了函数在其中一点沿着一些方向的变化率。梯度是一个向量，它指向函数值增加最快的方向，并且梯度的模表示函数在其中一点的最大变化率。方向导数和梯度在工程技术中的应用非常广泛。例如，在机器学习中，我们可以使用梯度下降算法来优化模型的参数，以最小化损失函数。
三、偏微分方程
偏微分方程是描述自然现象的重要数学工具，包括热传导、扩散、波动等。多元函数微分学为解偏微分方程提供了重要的数学基础。通过偏微分方程的分析解或数值解，我们可以深入了解自然现象的行为和性质。例如，在工程技术中，我们可以使用多元函数微分学来解决电磁场、弹性力学和流体力学等方面的问题。
四、约束优化
约束优化是指在满足一定条件下找到使目标函数最大或最小的参数的问题。多元函数微分学是解决约束优化问题的重要工具。通过拉格朗日乘数法，我们可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，并应用多元函数微分学的方法求解。约束优化问题在经济学、运筹学和供应链管理等领域有着广泛的应用。例如，在经济学中，我们可以使用约束优化来确定消费者的最优选择。
五、多元函数积分学
多元函数微分学与多元函数积分学是紧密相关的。多元函数微分学提供了计算多元函数导数的方法，而多元函数积分学则通过对函数的积分来研究函数的整体性质。应用多元函数积分学，我们可以计算多元函数在其中一区域上的平均值、总值和概率密度等。多元函数积分学在统计学、物理学和金融工程学等领域有广泛的应用。例如，在统计学中，我们可以使用多元函数积分学来计算多维随机变量的期望和方差。
多元函数微分法
第十章 多元函数微分学
一、学习要点
1。关于二元函数
会求二元函数的定义域和相应的函数值.求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。
2。关于二元函数微分
(1）熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f （x2－y2 ，exy)等的复合函数的偏导数.能熟练地求全微分.
偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时,将另一变量视为常数。如求函数32lnzyxu的偏导数
32121zyxxu（y,z为常数)，32221zyxyyu（x，z为常数)
复合函数求偏导数是难点.一般用链式法则，即z=f (u，v）,u=u（x，y)，v=v（x，y),有
yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz
具体情况有两种：
（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2vuz，xyevyxu,22.
的偏导数yzxz,，可以把u，v代入z中，再求偏导数，即 z=ln(x2+y2+e2xy），求偏导数有
xyxyeyxyexxz222222 xyxyeyxxeyyz222222
（二)部分函数关系没有给出:此时只有用链式法则。如求函数z=f（xy，x2+y3)，的一阶偏导数,则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy，v=x2+y3，用链式法则
xvfyufxvvzxuuzxz2，23yvfxufyz 多元函数微分法
上例也可以用链式法则，有
xyxyxevuvyvuyzyevuvxvuxz2222221,221
求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用,方法仍然同一元隐函数的求导.
