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弧长和扇形面积习题
一、 选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点
D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ） A ．1 B ．π C ．2 D ．2π
(1) (2) (3)
%
3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都
经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm
4．圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm
5．在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用剩余部分制作成一个底面直径
为80cm ，母线长为50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ） A ．228° B ．144° C ．72° D ．36°
6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，?从点A 出发
绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ） A ．333
．3．3 ~
二、填空题
1．如果一条弧长等于
4
π
R ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍． 3．母线长为L ，底面半径为r 的圆锥的表面积=_______．
4．矩形ABCD 的边AB=5cm ，AD=8cm ，以直线AD 为轴旋转一周，?所得圆柱体的表面积
是__________（用含π的代数式表示）
5
．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部铺
上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m 2
的油毡．
}
三、综合提高题
1．如图所示，AB 所在圆的半径为R ，AB 的长为3
π
R ，⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．
2．如图，若⊙O 的周长为20πcm ，⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ，⊙A 在⊙O?内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动6周回到原来的位置，而⊙A 只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗
3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD ，AB=1，AD=3，将画刷以B 为中心，按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置（A ′点转在对角线BD 上），求屏幕被着色的面积．
`
_
. 、
.
.
_B
_ ~ A _O
4．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：
（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）
（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少
5．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°,求圆锥全面积．
）
6．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．
2 、 选择题 九年级数学弧长与扇形面积练习题 1 一条排水管的截面如下左图所示，已知排水管的半径 OB=10， 水面宽 AB=16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 3 D. 6 2、如果一条弧长等于 l ，它的半径等于 R ，这条弧所对的圆心角增加 1o ， 则它的弧长增加（ lR Ａ． Ｂ． n 180 3、已知圆锥的母线长为 （） 2 A 、 18 cm 4、中央电视台 到 A 、1倍 180l Ｃ． R 6cm ，底面圆的半径为 l Ｄ． 360 3cm ，则此圆锥侧面展开图的面积为 B 、 36 cm C 开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加 （） B 、2 倍 C 、3倍 D 、4倍 6cm ，最大距离为 9cm ，则该圆的半径是 B 、 7.5cm C 、 1.5cm 或 7.5cm D 、 3cm 或 1:10000的地图上，若，某建筑物在图上的面积为 50 ） B 7、下列说法正确的是 （ ） A 、所有的等腰三角形都相似 C 、所有的正方形都相似 2 、 36 cm 、12 22 cm D 、 9 cm 5、一个点到圆的最小距离为 A 、 1.5cm 6、在比例尺为 占地面积为（ 2 A 、 50 m 2 、 7.5cm 2 、5000 m 2 22 C 、 50000 m 2 D 、500000 m 2 8、 扇形的周长为 16，圆心角为 Ａ． 16 9、 A 、 C 、 二次函数 ac>0 2 b -4ac<0 （） 15cm cm 2 ，则该建筑物实际 B 、四个角都是直角的两个四边形一定相 似 D 、四条边对应成比例的两个四边形相似 360 ，则扇形的面积是（ y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴 x=1，下列结论中，正确的（ ） B D 、b<0 、 2a+b=0 10、如图， A C 是⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的 弦， EC ∥ AB 交⊙ O 于 E ，则图中与 1 ∠BOC 相等的 角共有（ ）A 、2 个 B 、3 个 C 、4 个 D 、5 个
弧长与扇形面积 1. （2014?广西贺州）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（） A．B．C．D． 解答：解：连接OC， ∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2， ∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD， ∵sinA==， ∴∠A=30°， ∴∠COE=60°， ∴=sin∠COE，即=，解得OC=， ∵AE⊥CD， ∴=， ∴===． 故选B． 2．（2014·台湾）如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC＝EG，OG＝1，AG＝2，则与两弧长的和为( ) A．πB．4π 3 C． 3π 2 D． 8π 5 解：设AC＝EG＝a，CE＝2﹣2a，CO＝3﹣a，EO＝1＋a， ＋＝2π(3﹣a)×60° 360° ＋2π(1＋a)× 60° 360° ＝ π 6 (3﹣a＋1＋a)＝ 4π 3 ． 故选B． 3. （2014·浙江金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【】 A．5:4 B．5:2 C2 D 【答案】A. 【解析】 故选A.
4.（2014年山东泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（） A．（﹣1）cm2B．（+1）cm2C． 1cm2D．cm2 解：∵扇形OAB的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm2），半圆面积为：×π×12=（cm2），∴S Q+S M=S M+S P=（cm2），∴S Q=S P，连接AB，OD， ∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴S绿色=S△AOD=×2×1=1（cm2）， ∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm2）．故选：A． 5. （2014?海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A．cm B．cm C．3cm D．cm 解答：解：设此圆锥的底面半径为r， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得： 2πr=， r=cm． 故选A． 6. （2014?黑龙江龙东）一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（） A．10πcm B． 10cm C．5πcm D．5cm 解答：解：由题意可得出：OA=OA′=10cm， ==5π， 解得：n=90°， ∴∠AOA′=90°， ∴AA′==10（cm）， 故选：B． 7．（2014?莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（） A．πB．2πC．D．4π 解答：解：∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆 =S扇形ABA′= =2π， 故选B． 8．（2014?浙江绍兴）如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 24.4 弧长和扇形面积习题 一、选择题 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）． A．3πB．4πC．5πD．6π 2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（） A．1 B．πC．2D．2π (1) (2) (3) 3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（） A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm 4．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 5．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（） A．228°B．144°C．72°D．36° 6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，?从点A 出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（） A．3B．33 2 C．3D．3 二、填空题
1 ．如果一条弧长等于 4 π R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________． 2．如图3所示，OA=30B，则AD的长是BC的长的_____倍． 3．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______． 4．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，?所得圆柱体的表面积是__________（用含π的代数式表示） 5．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡． 三、综合提高题 1．如图所示，AB所在圆的半径为R，AB的长为 3 π R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长． 2．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O?内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？ 3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=3，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积． _... _B _A _O
人教版九年级数学（上）弧长与扇形面积测试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ） A.5π B. 4π C.3π D.2π 2. 如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A ．6cm B ．35cm C ．8cm D ．53cm 3．如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．180°12cm 6cm 4. 如图，Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22， 若把Rt ?ABC 绕边AB 所在直线旋转一周则所得的几何体得表面积为( ) A ． 4π B ． 42π C ． 8π D ． 82π 5. 如图.在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°,AC=4cm,将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C ′的位置，且A 、C 、B ′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A.43cm B. 8cm C. 163cm π D. 83 cm π 6. 如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为(3)a a ≥的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ） A.2a π- B. 2(4)a π- C. π D. 4π- 7.如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）. A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π 8.如图,圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC = 6cm ，点P 是母线BC 上一点,且PC =23 BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） A ．（64π +）cm B ．5cm C ．35cm D ．7cm 9.如图，半径为1的小圆在半径为 9 的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（ ） A . 17π B . 32π C . 49π D . 80π
弧长以及扇形面积的计算 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共3小题，共分） 1.如图，在中，，，以BC的中 点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长 为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接OE、OD， 设半径为r， 分别与AB，AC相切于D，E两点， ，， 是BC的中点， 是中位线， ， ， 同理可知：， ， ， 由勾股定理可知， ， 故选：B． 连接OE、OD，由切线的性质可知，，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型． 2.一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：一个扇形的弧长是，面积是， ，即， 解得：， ， 解得：， 故选B 利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数． 此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 3.的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】解：根据弧长的公式 得到： 解得． 故选C． 根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径r的值． 此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般． 二、填空题（本大题共1小题，共分） 4.如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的与 边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______． 5. 6. 7. 8. 【答案】 【解析】解：连接OD、OE，如图所示： 是等边三角形，
1.把一块边长是10分米的正方形铁片，剪成一个最大的圆形，这个圆的周长是多少分米? 2.在长10厘米，宽8厘米的长方形中剪下一个最大的圆，这个圆的直径是多少厘米?面积是多少厘米? 1. 已知⊙O半径为R，请探究下列问题：
（1）⊙O 的周长l 是多少？（用含R 的代数式表示） （2）1°圆心角所对弧长l 是多少？（用含R 的代数式表示） （3）ｎ°圆心角所对弧长l 是多少？（用含ｎ、R 的代数式表示） 在圆上任意取两点A 和B ，然后用实线连接AB 两点。圆上AB 两点之间的部分就叫做弧。读作弧AB 。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）。 等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说： 1、在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。 2、在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。 3、在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧。 弧长公式：在半径为R 的圆上有一弧，设以L 来表示弧长。 1）在六十分制下，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长，所以圆心角。n 所对的弧长为： 。 。180 R n L π= 2）在弧度制下，若弧所对的圆心角为θ，则有公式 θ?=R L 1. 半径为6 cm 的圆中，60°的圆周角所对的弧的弧长为 .
2. 已知100°的圆心角所对弧长为5cm ，则这条弧所在圆的半径是 cm. 3. 已知半径为6，则弧长为的弧所对的圆心角度数为_______ . 4.已知圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆的周长，求该弧所在的圆的半径. 5.一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），那么点A 、B 从开始至结束走过的路径长度分别是多少？ 扇形是由两条半径和圆上的一段曲线(弧)围成的。特点：它们都有一个角，角的顶点在圆心。顶点在圆心的角叫做圆心角。 扇形比较大小：在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形越大；反之，圆心角越小，扇形就越小。 扇形面积公式：设一扇形的半径为R,弧长为L,面积为S ，若扇形的顶角为?，那么 ππＡ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ
弧长和扇形面积测试题（带答案） 27.3.1弧长和扇形面积 一．选择题（共8小题） 1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（） A． B．1? C．?1 D．1? 2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A． cm B． cm C．3cm D． cm 3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（） A．6 B．9 C．18 D．36 4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（） A． B． C． D．5．一个扇形的半径为8cm，弧长为 cm，则扇形的圆心角为（）A．60° B．120° C．150° D．180° 6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（） A．5π B．6π C．8π D．10π 7．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（）A． B．π C． D． 8．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（） A． B．13πC．25πD．25 二．填空题（共6小题）9．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为 _________ °．（结果保留π） 10．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为_________ ． 11．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC 绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是_________ ． 12．通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一 圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为_________ ． 13．半 径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为_________ cm2． 14．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是
弧长与扇形面积练习题 1. 一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（） A.5π B. 4π C.3π D.2π 2. 如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去1 3 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那 么这个圆锥的高为（） A．6cm B ．．8cm D ．cm 3．如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（） A．60° B．90° C．120° D．180°12cm 6cm 7.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）. A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π 8.如图,圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC= 6cm，点P是母线BC上一点,且PC= 2 3 BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（） A．（ 6 4 π +）cm B．5cm C．cm D．7cm 9.如图，半径为1的小圆在半径为 9 的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（） A . 17π B . 32π C . 49π D . 80π 10. 如图，AB切⊙O于点B，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧⌒BC的弧长为（）． A． 3 3 πB． 3 2 πC．πD． 3 2 π 11. 在半径为 4 π 的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于．
12. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是m 。（结果用π表示） 13.如图，圆锥的底面半径OB 为10cm ，它的展开图扇形的半径AB 为30cm ，则这个扇形的圆心角a 的度数为____________． 14. 如图,点A 、B 、C 在直径为32的⊙O 上,∠BAC=45o, π). 2、如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1 ，则它的弧长增加（ ） Ａ． l n Ｂ． 180 R π Ｃ． 180l R π Ｄ． 360 l 3、已知圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥侧面展开图的面积为 （ ） A 、18πcm 2 B 、36πcm 2 C 、12πcm 2 D 、9πcm 2 4、圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加到（ ） A 、1倍 B 、2倍 C 、3倍 D 、4倍 5、一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是 （ ） A 、1.5cm B 、7.5cm C 、1.5cm 或7.5cm D 、3cm 或15cm 8、扇形的周长为16，圆心角为360π ，则扇形的面积是（ ） Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．16π 10、如图，AC 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，EC ∥AB 交⊙O 于E ，则图中与 1 2 ∠BOC 相等的角共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、如图，将三角尺ABC （其中∠B=60°，∠C=90°，AB=6）绕点B 按顺时针转动一个角度到A 1BC 1 的位置，使得点A 、B 、C 1在同一条直线上，点A 所经过的路程是（ ） A 、2π B 、4π C 、8π D 、12π 16、如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长为（ ）
知识点： 1、 弧长公式： l n R （牢记） 180 在半径是 R 的圆中， 360 度的圆心角多对的弧长就是圆的周长 C n R 2 1 2、扇形面积公式： S 扇形 = 或 S 扇形 = 1 lR （牢记） 360 2 3、圆锥的侧面积和全面积（难点） 圆锥的侧面展开图形是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的 母线长 R ，扇形的弧长是圆锥 底面圆的周长。 典型例题 1．已知圆锥的高是 30cm ，母线长是 50cm ，则圆锥的侧面积是 【关键词】圆锥侧面积、扇形 面积 答案： 2 2000 cm 2 ； 2. （2010 年福建省晋江市） 已知：如图，有一块含 30 的直角三角板 OAB 的直角边长 BO 的长恰与另一块等腰直角三角板 ODC 的斜边 OC 的长相等，把该套三角板放置在平面 直角坐标系中，且 AB 3. （1） 若双曲线的一个分支恰好经过点 A ，求双曲线的解析式； （2） 若把含 30 的直角三角板绕点 O 按顺时针方向旋转后，斜边 OA 恰好与 x 轴重叠， 点 A 落在点 A ，试求图中阴影部分的面积 （结果保留 ）. 弧长和扇形面积 答案：解： （1） 在 Rt OBA 中， AOB 30 ， AB 3， OB cot AOB ， AB ∴ OB AB cot30 3 3 ， ∴点 A 3,3 3 设双曲线的解析式为 y k k 0 x ∴3 3 k ， k 9 3 93 ，则双曲线的解析式为 y 3 x (2) 在 Rt OBA 中， AOB 30 ， AB 3 ， AB 3 sin AOB ， sin30 ， OA OA ∴ OA 6. 关键词】反比例函数、扇形面 积 y B O C A y A
弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的 弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧 长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形 面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计 算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积 ，所以又得到扇形面积的另一个计 算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积
知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
24.4弧长和扇形面积 知识点 1.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____________，n °的圆心角所对的弧长是______________. 2.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是____________，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=______________. 3.半径为R ，弧长为l 的扇形面积S 扇形=________. 一、选择题 1.（2013?潜江）如果一个扇形的弧长是3 4 π，半径是6，那么此扇形的圆心角为() A ．?40 B ．?45 C ．?60 D ．?80 2.（2013?南通）如图，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称 中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为() A ．4πcm B ．3πcmC．2πcm D ．πcm 3.（2013?宁夏）如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点A 、B 为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好外切， 若AC =2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A. 4 π B. 2 π C. 22 πD. 2π 4.（2013?资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是() A ．12 π B ．14 π C. 1 8 π D ．π 第2题 A B C D O 第3题 C ′ B ′ C B A 第5题
第8题 5.（2013?荆州） 如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB ＇C ＇，点B 经过的路径为弧BB ＇，若角∠BAC =60°，AC =１，则图中阴影部分的面积是() A . 2π B .3π C .4π D .π 6.（2013?恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的面积为（ ） A.122π + B.12 π+ C.1π+ D.12π+ 7.（2013?德州）如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB =90°，以AB 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为() A ．14π B ．π12- C ．12 D ．1142 π+ 8．（2013?襄阳）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 9πB.39πC.33322π- D.33223 π- 二、填空题 9.（2013?茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB 的圆心角120O ∠=o ，半径OA =3，则弧．AB ．． 的长度为（结果保留π）． 10.（2013?遂宁）如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是___________．（π≈3.14，结果精确到0.1） O A B 第7题 第6题 第10题 第12题 第11题
弧长与扇形面积 一、选择题 1、已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15 2、如图，在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A ． 2015π B ． 3019.5π C ． 3018π D ． 3024π 3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦,CD AB CDB 30CD 23⊥∠==o ，, 则 阴影部分的面积为 （ ） A. 2π B .π C .3π D .23π 4、若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( ) A . 6cm B . 9cm C . 12cm D . 18cm 5、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B =135°，则的长 A. π2 B . π C . 2π D . 3π D C O E
6、如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（） A．24﹣4πB．32﹣4πC．32﹣8πD．16 7、如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（） A．B．C．D． 8、（2015?山东临沂,第23题9分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD. （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC= 60°，OA= 2，求阴影部分的面积（结果保留） . 9、如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E. （1）求证：DE=AB；
弧长和扇形面积单元测试题 ． 3．（ 2014?自贡）一个扇形的半径为8cm ，弧长为 cm ，则扇形的圆心角为（ ） 点D 落在BC 延长线上的点D ′ 处，点D 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ） ． ﹣1 ． ﹣ ． ﹣ 5．（2014?呼伦贝尔）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（ ） ． ． ． ． 6．（2014?牡丹江）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB=30°，CD=2 ， \则S 阴影=（ ） π D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ） ． ﹣ （ cm 2 9．（2014?清新区模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ） ． A 顺时针方向旋转至△A B ′ C ′的位置，点B ，A ，C ′在同一条直线上，则线段BC 扫过的区域面积为（ ） B C 则这个扇形的面积为 _________ （结 果保留π） 12．（2014?常州）已知扇形的半径为3cm ，此扇形的弧长是2πcm ，则此扇形的圆心角等于 _________ 度，扇形的面积是 _________ ．（结果保留π） 13．（2014?河北）如图，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则S 扇形= _________ cm 2． 14．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上的点，且BA BE ，以点A 为圆心、AD 长为半径作⊙A 交AB 于点M ，过点B 作⊙A 的切线BF ，切点为F ． （1）请判断直线BE 与⊙A 的位置关系，并说明理由；
第2章 对称图形——圆 2.7 弧长及扇形的面积 知识点 1 扇形的弧长 1．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( ) A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 2．[教材练习第1题变式] 若120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．18 3．[2017·哈尔滨] 已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为________． 4．如图2－7－1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D.若AC ＝6，求AD ︵ 的长． 图2－7－1 知识点 2 扇形的面积 5．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( ) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π 6．[2017·仙桃] 一个扇形的弧长是10π cm ，面积是60π cm 2，则此扇形的圆心角的度数是( ) A ．300° B ．150° C ．120° D ．75° 7．[2017·泰州] 若扇形的半径为3 cm ，弧长为2π cm ，则该扇形的面积为________ cm 2. 8．[2017·怀化] 如图2－7－2，⊙O 的半径为2，点A ，B 在⊙O 上，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积为________． 图2－7－2
图2－7－3 9．[2017·荆门] 已知：如图2－7－3，△ABC 内接于⊙O ，且半径OC ⊥AB ，点D 在半径OB 的延长线上，且∠A ＝∠BCD ＝30°，AC ＝2，则由BC ︵ 、线段CD 和线段BD 所围成的阴影部分的面积为________． 10. [2016春·泰州校级月考] 已知扇形的圆心角为120°，面积为25 3π cm 2.求扇形的弧长． 11．教材例2变式如图2－7－4，一扇形纸扇完全打开后，AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm ，求纸扇上贴纸部分的面积． 图2－7－4 图2－7－5 12．如图2－7－5，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )
九年级数学弧长与扇形面积练习题 一、选择题 1一条排水管的截面如下左图所示，已知排水管的半径OB=10， 水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )A. 4 B. 5 C. 3 6 D. 6 2、如果一条弧长等于l，它的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1 ， 则它的弧长增加（） Ａ．l n Ｂ． 180 R π Ｃ． 180l R π Ｄ． 360 l 3、已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的面积为（） A、18πcm2 B、36πcm2 C、12πcm2 D、9πcm2 4、中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加到（） A、1倍 B、2倍 C、3倍 D、4倍 5、一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（） A、1.5cm B、7.5cm C、1.5cm或7.5cm D、3cm或15cm 6、在比例尺为10000 :1的地图上，若，某建筑物在图上的面积为50 cm2，则该建筑物实际占地面积为（） A、50 m2 B、5000 m2 C、50000 m2 D、500000 m2 7、下列说法正确的是( ) A、所有的等腰三角形都相似 B、四个角都是直角的两个四边形一定相似 C、所有的正方形都相似 D、四条边对应成比例的两个四边形相似 8、扇形的周长为16，圆心角为360 π ，则扇形的面积是（） Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．16π 9、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴x=1，下列结论中，正确的（） A、ac>0 B、b<0 C、b2-4ac<0 D、2a+b=0 10、如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与1 2 ∠BOC相等的 角共有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积 一、请准确填空(每小题3分，共24分) 1.两个同心圆的半径差为5，其中一个圆的周长为15π，则另一个圆的周长为_____. 2.已知a 、b 、c 分别是正六边形的一边、最短对角线和最长对角线，则a ∶b ∶c 为_____. 3.已知Rt △ABC ，斜边AB =13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65π cm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于_____. 4.已知在同一平面内圆锥两母线在顶点最大的夹角为60°，母线长为8，则圆锥的侧面积为_____. 5.已知圆柱的底面半径长和母线长是方程4x 2－11x +2=0的两个根，则该圆柱的侧面展开图的面积是_____. 6.圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π－4，则正方形的边长是_____，这个正方形的内切圆半径是_____. 7.要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图1，使底面半径r 与母线l 的比r ∶l =3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____. 8.将一根长24 cm 的筷子，置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中(如图2).设筷子露在杯子外面的长为h cm ，则h 的取值范围是_____. 图1 图2 二、相信你的选择(每小题3分，共24分) 9.已知正三角形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶a ∶R 等于 A.1∶23∶2 B.1∶2∶23 C.1∶2∶3 D.1∶3∶2 10.如图3，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中 、 、…A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是 A.8π B.6π C.4π D.2π 11.如图4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，贴纸部分BD 长为20 cm ，贴纸部分的面积为 A.800π cm 2 B.500π cm 2 C. 3800π cm 2 D.3 500 π cm 2 12.已知如图5，两同心圆中大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ，OC ∶CA =3∶2，则 和 的 长度比为 A.1∶1 B.3∶2 C.3∶5 D.9∶25 13.如图6，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且∠COA =60°，设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是 A.S 1弧长与扇形面积练习题与答案
| 弧长和扇形面积 知识点： 1、 弧长公式：180 n R l π= （牢记） 在半径是R 的圆中，360度的圆心角多对的弧长就是圆的周长C 2、扇形面积公式：2n R =360S π扇形或1 =2 S lR 扇形（牢记） 3、圆锥的侧面积和全面积（难点） 圆锥的侧面展开图形是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长R ，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。 典型例题 ~ 1．已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是 . 【关键词】圆锥侧面积、扇形面积 答案：2000πcm 2 ； 2. （2010年福建省晋江市）已知：如图，有一块含?30的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3=AB . (1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ，求双曲线的解析式； (2)若把含?30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x 轴重叠，点A 落在点A '，试求图中阴影部分的面积(结果保留π). ( 【关键词】反比例函数、扇形面积 答案：解：(1) 在OBA Rt ?中，?=∠30AOB ，3=AB ， AB OB AOB = ∠cot ， ∴3330cot =??=AB OB ， ∴点() 33,3A 设双曲线的解析式为()0≠= k x k y ∴3 33k =，39=k ，则双曲线的解析式为x y 39= (2) 在OBA Rt ?中，?=∠30AOB ，3=AB ，
Ｐ : OA AB AOB = ∠sin ，OA 330sin =?， ∴6=OA . 由题意得：?=∠60AOC ， ππ6360 6602' =??=AOA S 扇形 在OCD Rt ?中，?=∠45DOC ，33==OB OC ， ∴2 63223345cos =? =??=OC OD . ∴42726321212 2 =??? ? ??==?OD S ODC . ∴'27 S 64 ODC AOA S S π?-=- 阴扇形＝ | 3.（2010年浙江省东阳市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）如果建立直角坐标系，使点B 的坐标为（－5，2），点 C 的坐标为（－2，2），则点A 的坐标为 ▲ ； (2) 画出ABC △绕点Ｐ顺时针旋转90后的△Ａ１Ｂ１Ｃ，并求线段BC 扫过的面积. 关键词：扇形面积公式 ] 答案：（１）Ａ（－４，４） （２）图略 线段BC 扫过的面积＝ 4 π（４２－１２ ）＝415π 4、（2010福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长为6cm ，则侧面积为________cm 2 ．（结 果保留π） 关键词：圆锥侧面积 答案：π18
27.3 圆中的计算问题 第1课时弧长和扇形面积 知识点一弧长 1.如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（）A. 1 5 π B. 2 5 π C. 3 5 π D. 4 5 π 2.一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（） A．6厘米B．12厘米C．23厘米 D.6厘米 3..如图，在⊙O中，∠C=30°，AB=2，则弧AB的长为（） A.π B. 1 6 π C. 1 4 π D. 2 3 π 4．在半径为 4 π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于． 5.如图，⊙O过△ABC的顶点A、B、C，且∠C=30°，AB=3，则弧AB长为__________. 6.如图，将半径为1、圆心角为 ? 60的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形B O A' ' '处，则顶点O经过的路线总长为_________. A B' ? 60
7.如图，在△ABC中，AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，以AC长为半径作弧与AB相交于点E，与BC相交于点F． （1）求弧CE的长； （2）求CF的长． 8.如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？ 9.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3） 知识点二扇形面积
1.圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（）cm2． A．πB．3πC．9πD．6π 2.若扇形的弧长是16cm，面积是56cm2，则它的半径是（） A．2.8cm B．3.5cm C．7cm D．14cm 3.已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（） A．4 B．2 C．4πD．2π 4.一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（） A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2 C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2 第4题图第7题图第8题图 5.已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为_________． 6.如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是 7.如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD， ∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为___________. 8．如图，将ABC △绕点B逆时针旋转到A BC '' △使A、B、C’在同一直线上，若90 BCA ∠=°，304cm BAC AB ∠== °，，则图中阴影部分面积为cm2．9. 如图，已知点A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120o，四边形 ABCD的周长为15.（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积。 10.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧⌒ BC上一点，连接BD，AD， ′