弧长和扇形面积
知识点:
1、 弧长公式:180
n R
l π=
(牢记) 在半径是R 的圆中,360度的圆心角多对的弧长就是圆的周长C
2、扇形面积公式:2n R =360S π扇形或1
=2
S lR 扇形(牢记)
3、圆锥的侧面积和全面积(难点)
圆锥的侧面展开图形是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长R ,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。
典型例题
1.已知圆锥的高是cm 30,母线长是cm 50,则圆锥的侧面积是 . 【关键词】圆锥侧面积、扇形面积 答案:2000πcm 2
;
2. (2010年福建省晋江市)已知:如图,有一块含?30的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且3=AB .
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ,求双曲线的解析式;
(2)若把含?30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后,斜边OA 恰好与x 轴重叠,点A 落在点A ',试求图中阴影部分的面积(结果保留π).
【关键词】反比例函数、扇形面积
答案:解:(1) 在OBA Rt ?中,?=∠30AOB ,3=AB ,
AB
OB AOB =
∠cot , ∴3330cot =??=AB OB , ∴点()
33,3A
P
设双曲线的解析式为()0≠=
k x
k
y ∴3
33k
=
,39=k ,则双曲线的解析式为x y 39=
(2) 在OBA Rt ?中,?=∠30AOB ,3=AB ,
OA AB AOB =
∠sin ,OA
3
30sin =?, ∴6=OA .
由题意得:?=∠60AOC ,
ππ6360
6602
'
=??=AOA S 扇形
在OCD Rt ?中,?=∠45DOC ,33==OB OC ,
∴2
63223345cos =?
=??=OC OD . ∴42726321212
2
=???
? ??==?OD S ODC
. ∴'27
S 64
ODC AOA S S π?-=-阴扇形=
3.(2010年浙江省东阳市)在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,ABC △的三个顶点 都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).
(1)如果建立直角坐标系,使点B 的坐标为(-5,2),点
C 的坐标为(-2,2),则点A 的坐标为 ▲ ; (2) 画出ABC △绕点P顺时针旋转90后的△A1B1C,并求线段BC 扫过的面积. 关键词:扇形面积公式 答案:(1)A(-4,4)
(2)图略
A O B
C D
A x
y
线段BC 扫过的面积=
4
π(42-12
)=415π
4、(2010福建德化)已知圆锥的底面半径是3cm ,母线长为6cm ,则侧面积为________cm 2
.(结果保留π)
关键词:圆锥侧面积 答案:π18
5、已知圆锥的底面半径为3,侧面积为15π,则这个圆锥的高为 ▲ 关键词:圆锥的高 答案:4
6(2010年门头沟区).如图,有一块半圆形钢板,直径AB =20cm ,计划将此钢板切割成下底为AB 的等腰梯形,上底CD 的端点在圆周上,且CD =10cm .求图中阴影部分的面积. 【关键词】圆、梯形、阴影部分面积
【答案】解:连结OC ,OD ,过点O 作OE⊥CD 于点E.………………………1分 ∵OE⊥CD,∴CE=DE=5,
∴OE=2222105CO CE -=-=53, ………………2分 ∵∠OED=90°,DE=
OD 2
1
,∴∠DOE=30°, ∠DOC=60°. ∴3
503601060S 2∏=?∏=扇形
(cm 2) …………3分
S △OCD =12·OE·CD= 25 3 (cm 2
) ……………4分
∴S 阴影= S 扇形-S △OCD = (503π-253) cm 2
∴阴影部分的面积为(503π-253) cm 2
.
7.(2010年山东省济南市)如图,四边形OABC 为菱形,点B 、C 在以点O 为圆心的⌒
EF 上,若OA =1,∠1=∠2,则扇形OEF 的面积为 ( ) A.
6π B. 4π C. 3π D. 3
2π 【关键词】扇形的面积
O
E
A C
D
E
F O
A B
C
2
1
【答案】C
8.(2010年台湾省)如图(十三),扇形AOB中,OA=10,
?AOB=36?。若固定B点,将此扇形依
顺时针方向旋转,得一新扇形A’O’B
其中A点在B
O'上,如图(十四)所示,
则O点旋转至O’点所经过的轨迹长度
为何(A) ? (B) 2? (C) 3? (D) 4?。
【关键词】弧长
【答案】D
9.(2010福建泉州市惠安县)已知圆锥的底面半径是3,母线长是4,则圆锥的侧面积
是 .
【关键词】圆锥侧面积
【答案】π
12
2.(2010年山东聊城)将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,重叠部
分(阴影)的量角器弧(AB⌒)对应的圆心角(∠AOB)为120°,AO的长为4cm ,OC 的长为2cm ,则图中阴影部分的面积为()
A.(
16π
3
+2)cm2 B.(
8π
3
+2)cm2
C.(
16π
3
+23)cm2 D.(
8π
3
+23)cm2
【关键词】阴影面积
【答案】C BC=23,图中阴影部分的面积=扇形AOB+三角形BOC的面积=
16π
3
+23 (cm2 )
1、(2010年宁波市)如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与
半径OB相交于点P,连结EF、EO,若3
2
=
DE,?
=
∠45
DPA。
A
B
O
A
B
O
A
O
图(十三)图(十四)
(1)求⊙O 的半径;
(2)求图中阴影部分的面积。
【关键词】扇形面积,垂径定理 【答案】
解:(1)∵直径AB ⊥DE ∴32
1
==
DE CE ∵DE 平分AO ∴OE AO CO 2
121==
又∵?=∠90OCE ∴?=∠30CEO 在Rt △COE 中,22
3330cos ==
?
=
CE
OE
∴⊙O 的半径为2。 (2)连结OF
在Rt △DCP 中,∵?=∠45DPC ∴?=?-?=∠454590D ∴?=∠=∠902D EOF
∵ππ=??=
22360
90
OEF S 扇形 2. (2010年兰州市) 现有一个圆心角为
90,半径为cm 8的扇形纸片,用它恰好围成一个
圆锥的侧面(接缝忽略不计).该圆锥底面圆的半径为
A . cm 4
B .cm 3
C .cm 2
D .cm 1 【关键词】圆锥 【答案】C
y B
第1题
y B
第24题
42
23+
3. (2010年兰州市) 如图,扇形OAB ,∠AOB=90?,⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ,并
且与弧AB 切于点C ,则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是 .
【关键词】扇形的面积
【答案】
(2010辽宁省丹东市).如图,已知在⊙O 中,AB 3,AC 是⊙O 的直径,AC ⊥BD 于F ,∠A =30°.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.
【关键词】圆锥侧面积 【答案】
解:(1)法一:过O 作OE ⊥AB 于E ,则AE =2
1
AB =23 1分 在Rt △AEO 中,∠BAC =30°,cos30°=
OA
AE . ∴OA =?
30cos AE =
2
332=4. …………………………3分
又∵OA =OB ,∴∠ABO =30°.∴∠BOC =60°. ∵AC ⊥BD ,∴BC CD =.
∴∠COD =∠BOC =60°.∴∠BOD =120°. ················· 5分
B
D
O
F
E
B
D
O
F
第22题图