初值定理&终值定理

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理 在初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程),(y x f dxdy =经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显然它是自变量和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解记为),,(00y x x y ϕ=,它满足0000(,,)y x x y ϕ=.当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式00(,,)y x x y ϕ=证明在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点,显然1100(,,)y x x y ϕ=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为11(,,)y x x y ϕ=并且,有0011(,,)y x x y ϕ=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ϕ=对该积分曲线上的任意点均成立.2、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数(,)f x y 于某域内连续，且关于满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为），则对方程（3.1）的任意两个解()x ϕ及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式0||00|()()||()()|L x x x x x x e ϕψϕψ--≤- （3.17）其中为所考虑区域内的某一值.证明设()x ϕ,()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令2()[()()],V x x x a x b ϕψ=-≤≤则()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ϕψϕψ'=--于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ϕψϕψ''≤=--≤22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤从而 2(())0Lx d V x e dx-≤ 所以,对0[,]x a b ∀∈,有02()00()(),L x x V x V x e x x b -≤≤≤对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为(,)dy f t y dx=-- 而且已知它有解()y t ϕ=-和()y t ψ=-.类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤因此, 02||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果00(,)x y G ∈，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 有解00(,,)y x x y ϕ=，它于区间b x a ≤≤上有定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε，(,,)0a b δδε∃=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤.证明记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ϕϕ=≡≤≤是平面上一个有界闭集.第一步:找区域,使S D ⊂,而且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件.由已知条件,对(,)x y S ∀∈,存在以它为中心的开圆,C C G ⊂,使(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(1,2,,)i C i N =(不同的,其半径和Lipschitz 常数的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段,令1Ni i G C ==,则S G G ⊂⊂,对0ε∀>,记1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=∂==,则以上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含的有界闭域D G G ⊂⊂,且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为.第二步:证明(,,)0(a b δδεδη∃=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解00()(,,)y x x x y ψϕ==在区间a x b ≤≤上也有定义.由于是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知,解00()(,,)y x x x y ψϕ==必能延拓到区域的边界上.设它在的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有0||00|()()||()()|,L x x x x x x e c x d ϕψϕψ--≤-≤≤利用()x ϕ的连续性,对()112L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有01|()()|x x ϕϕδ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有0002||22002||200002||2200002101|()()||()()|2(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e y ϕψϕψϕϕϕψϕϕϕψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()022()21|) 4 ()L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤ (3.18) 于是对一切[,],|()()|x c d x x ϕψη∈-<成立,特别地有|()()|c c ϕψη-<,|()()|d d ϕψη-<即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间[,]a b 上有定义.第三步 证明|()()|,x x a x b ϕψε-<≤≤.在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕηε-<≤≤≤.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.证明 对00(,)x y G ∀∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ϕ=定义于0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈下证00(,,)y x x y ϕ=在上连续. 对00(,,)x x y V ∀∈,[,]a b ∃,使解00(,,)y x x y ϕ=在[,]a b 上有定义,其中0,[,]x x a b ∈. 对10,0εδ∀>∃>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时,0000(,,)(,,),2x x y x x y a x b εϕϕ-<≤≤ 又00(,,)y x x y ϕ=在[,]x a b ∈上对连续,故20δ∃>,使得当2||x x δ-≤时有0000(,,)(,,),,[,]2x x y x x y x x a b εϕϕ-<∈ 取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有000000000000(,,)(,,)|(,,)(,,)||(,,)(,,)|22x x y x x y x x y x x y x x y x x y ϕϕϕϕϕϕεεε-≤-+-<+=从而得知00(,,)y x x y ϕ=在上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数的微分方程(,,)dy f x y dxλ:(,),G x y G λαλβ∈<< (3.19) 如果对(,,)x y G λλ∀∈，都存在以(,,)x y λ为中心的球C G λ⊂，使得对任何12(,,),(,,)x y x y C λλ∈，成立不等式1212|(,,)(,,)|||f x y f x y L y y λλ-≤-其中是与无关的正数，称函数(,,)f x y λ在内关于一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一0(,)λαβ∈，方程（3.19）通过点00(,)x y G ∈的解是唯一确定的，记这个解为000(,,,)y x x y ϕλ=.设(,,)f x y λ在内连续,且在内关于一致地满足局部的李普希兹条件,000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(3.19)通过00(,)x y 的解,在区间a x b ≤≤上有定义,其中0a x b ≤≤,则对0,(,,)0a b εδδε∀>∃=>,使得当222200000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时,方程(3.19)通过点00(,)x y 的解00(,,,)y x x y ϕλ=在区间a x b ≤≤上也有定义,并且 00000(,,,)(,,,),[,]x x y x x y x a b ϕλϕλε-<∈5、解对初值和参数的连续性定理设函数(,,)f x y λ在区域内连续，且在关于一致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19) 的解00(,,,)y x x y ϕλ=作为00,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.6、 解对初值的可微性定理如果函数),(y x f 以及y y x f ∂∂),(都在区域内连续，则对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.证明 由yy x f ∂∂),(在区域内连续，可知),(y x f 在内关于满足局部Lipschitz 条件，根据解对初值的连续性定理，),,(00y x x y ϕ=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的.下面证明函数00(,,)y x x y ϕ=在它的存在范围内的任一点偏导数00,,x x y ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂存在且连续. (,),f x xϕϕ∂=∂显然存在且连续.x ϕ∂∂先证存在且连续. 00000(,)(,)x y x x y +∆由初值和所确定的解分别为 00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x x y ϕψ=+∆≡ 即 00(,),xx y f x dx ϕϕ≡+⎰000(,),x x x y f x dx ψψ+∆≡+⎰ 于是 000(,)(,)x xx x x f x dx f x dx ψϕψϕ+∆-≡-⎰⎰000(,)x x x f x dx ψ+∆=-⎰0(,())()x x f x dx y ϕθψϕψϕ∂+-+-∂⎰ 01,,,f yθϕψ∂<<∂其中注意到及的连续性有 (,())f x y ϕθψϕ∂+-=∂1(,)f x r yϕ∂+∂ 010100,00.x r x r ∆→→∆==这里当时,且时,类似有 00000201(,)(,)x x x f x dx f x y r x ψ+∆-=-+∆⎰120,0r r x ∆≠其中与具有相同性质因此对有 0002100(,)()[(,)][]x x f x f x y r r dx x y x ψϕϕψϕ-∂-≡-+++∆∂∆⎰ 即 0z x ψϕ-=∆是初值问题100020(,)[]()(,)dz f x r z dxy z x f x y r z ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=-+≡⎩ 的解，00,x ∆=显然当时上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理0000,,,,z x x z x x ψϕ-=∆∆知是的连续函数从而存在0000lim x x x ψϕϕ∆→-∂≡∆∂x ϕ∂∂而是初值问题 000(,)()(,)dz f x z dx y z x f x y ϕ∂⎧=⎪∂⎨⎪=-⎩ 的解,容易得到0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数.y ϕ∂∂同样可证存在且连续. 00000(,)(,)x y x y y +∆设由初值和所确定的解分别为00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x y y ϕψ=+∆≡ 类似上述方法可证0z y ψϕ-=∆是初值问题30(,)[]()1dz f x r z dx y z x ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=⎩ 的解.因而030(,)exp([])x x f x r dx y yψϕϕ-∂=+∆∂⎰ 其中具有性质:030300,00.y r y r ∆→→∆==当时,且时,所以有00000(,)lim exp()x x y f x dx y y yϕψϕϕ∆→∂-∂==∂∆∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数. 故00(,(,,))f x x x y xϕϕ∂=∂ 0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00(,)exp()x x f x dx y yϕϕ∂∂=∂∂⎰例1已知方程为)sin(xy dx dy =试求00000==∂∂y x y ϕ，00000==∂∂y x x ϕ. 解：方程右端函数(,)sin()f x y xy =在平面内连续，且)cos('xy x f y =也在平面内连续，且其满足0)0(=y 的解为0y =. 于是20210cos 000),,(x ds s e e y y x x y x =⎰=∂∂，00sin ),,(00cos 000=⎰-=∂∂x ds s e x y x x y .。

S域初值定理与终值定理教学方法探讨周城;候建华;熊承义;刘玉【摘要】The initial value theorem and final value theorem of S domain are difficult sections of teaching Signals and Systems couse.It′s hard to make students understand the theorems by use the defective textbooks.This paper presents a novel teaching method which use the conditions of the theorems as a breakthrough.Firstly,we guide our students to grasp the link between the theorems and their conditions.Then,we explain the proof of the theorems.Finally,students can understand the course content deeply and lay a solid foundation for the follow-up key points of the follow-up course.%S域初值定理和终值定理是＂信号与系统＂课程教学中的难点,现有教材的缺陷使学生很难理解这两则定理内容。

本文提出了一种新的教学方法,以该两则定理的使用条件作为突破口,引导学生掌握定理和其使用条件之间的关联,再讲解定理的证明,可让学生透彻理解教学内容并为后续知识点的学习打好基础。

【期刊名称】《电气电子教学学报》【年(卷),期】2012(034)005【总页数】4页(P113-115,120)【关键词】信号与系统;拉普拉斯变换;初值定理;终值定理【作者】周城;候建华;熊承义;刘玉【作者单位】中南民族大学电子信息工程学院,湖北武汉430074;中南民族大学电子信息工程学院,湖北武汉430074;中南民族大学电子信息工程学院,湖北武汉430074;中南民族大学电子信息工程学院,湖北武汉430074【正文语种】中文【中图分类】G642.410 引言在“信号与系统”课程的教学中，连续系统的S域分析占有重要的地位，在微分方程求解、电路分析等领域发挥着关键作用。

关于解对初值的连续依赖定理的证明解对初值的连续依赖定理又被称为微分方程的连续依赖定理，它是数学分析中一个重要的定理，它说明了一个微分方程通过改变其初值，会影响其解。

连续依赖定理说明了特定初值问题的微分方程更加接近一个微分方程的解，因此它也可以被称为微分方程求解中类似”第一近似定理”的定理。

证明解对初值的连续依赖定理的主要方法是采用极限的方法。

首先，对特定的初值问题设定一个微分方程。

假设该问题有两个解y_1(x) 和 y_2(x)。

这两个解可以表示为 y_1(x) = f(y_1,y_2)，和y_2(x) = f(y_2,y_3)。

其中， f(y_1,y_2) 和 f(y_2,y_3) 是微分方程的右侧函数。

另外，假设初值问题为 y_1(a) = c_1，y_2(a) = c_2。

因此，这两个解在x = a 处都取得了相应的初值，而 y_1(x) 和 y_2(x) 将在 x = a + h时取得更新的值。

假设我们依赖 h 表示(x,x + h) 之间的折线，也就是说，h → 0 。

因此，我们可以将 y_1(x) 的新值写成：y_1(a + h) = y_1(a) + hy'_1 + o(h)那么，y_1(a + h) = c_1 + hy'_1 + o(h)同样的，根据定义，f(y_1,y_2) = y'_1 + o(h)从而，f(y_1,y_2) = c_1 + hy'_1 + o(h)类似的，可以得到：y_2(a + h) = c_2 + hy'_2 + o(h)f(y_2,y_3) = c_2 + hy'_2 + o(h)因此，可以得到：f(y_1,y_2) - f(y_2,y_3) = (c_1 - c_2) + h(y'_1 - y'_2) +o(h)而当 h 趋向 0 时，o(h) 趋向 0。

这样，我们就可以得到f(y_1,y_2) - f(y_2,y_3) = (c_1 - c_2)即，f(y_1,y_2) - f(y_2,y_3) = 0从而证明了解对初值的连续依赖定理。

e j
H
r
e
j
d
思考题
• 1. z变换有哪些基本性质及其公式？ • 2. 应用初值定理和终值定理的条件？
z z1
z z1
z z 0.5
ROC z 2 z 1 z 1 z 0.5
终值存在的条件
(1)X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;
例：anu(n), ，a 终 值1 为0
(2)若极点位于单位圆上，只能位于 z ，1并且是一阶极
点. 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有 第一条。
则： ZT[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z)
max( Rx1, Ry1) z min( Rx2, Ry2 ) 其中, a、b为任意常数。
例：求序列 anu(n)-anu(n-1) 的z变换。
ZT[anu(n) anu(n 1)] ZT[anu(n)] ZT[anu(n 1)]
z
anzn ( z a )
z a n1
z a 1 ( z 0) za za
二、位移性
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质
1．双边z变换的位移性质
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
x(n 2) 4
x(n 2) 4
1O 1 2
n 1O 1 2
七、时域卷积定理
已知 则
X (z) Zx(n)
Rx1 z Rx2
H(z) Zh(n)
Rh1 z Rh2
Zx(n)* h(n) X (z)H (z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max( Rx1 , Rh1 ) z min( Rx2 , Rh2 )