§4.2 拉普拉斯变换的基本性质

(2)信号一定是右移 信号一定是右移 (3)表达式 表达式
所表示的信号不能用时移性质
二．延时（时域平移） 延时（时域平移）
例：已知 解： 因为
所以
1 f (t) = 0
0<t<t0
余 其
求
F(s)
f (t) = u(t) − u(t − t0 )
F(s) =L[ f (t)] =L[u(t)]−L[u(t −t0 )] 1 1 −st0 1 = − e = (1−e−st0 ) s s s
三．尺度变换
若 则 证明：
L[ f (t)] = F(s) 1 s L[ f (at)] = F( ) (a > 0) a a
L[ f (at)] = ∫ f (at)e−stdt
0−
∞
τ 令 = at
= ∫ f (τ)e
0−
∞
s −( )τ a
τ d( ) a
时移和尺度变换都有: 时移和尺度变换都有:
二．延时（时域平移） 延时（时域平移）
例 已知
f (t) = t u (t −1), 求 F( s)
解： F(s) =L[tu(t −1 = L[(t −1 u(t −1 +u(t −1 )] ) ) )]
1 1 −s = ( 2 + )e s s
π 例 已 f (t) 知 ＝ 2cos(t + )u(t), 求F(s)。 4 π π 解：f (t) = 2cost cos − 2sint sin = cost −sint 4 4 s 1 s −1 F(s) = − = 2 2 1+ s 1+ s 1+ s2
§ 4.2 拉普拉斯变换的基本 性质
一．线性性
若 则
L[ f1(t)] = F (s), L[ f2 (t)] = F (s), K1, K2为常数 1 2 L[ K1 f1(t) + K2 f2 (t)] = K1F (s) + K2F (s) 1 2
1 1 f1(t) ↔ F (s) = f2 (t) ↔F (s) = 1 2 (s +1)(s + 2) s +1
0
①
② 因为第一项与 t 无
六．时域积分定理
f (t )
例：求图示信号的拉普拉斯变换 解：
1
0
2
4
t
1 1 f (t) = t [u(t) −u(t − 2)] + (− t + 2)[u(t − 2) −u(t − 4)] 2 2
求导得
df (t) 1 1 = [u(t) −u(t − 2)] − [u(t − 2) −u(t − 4)] dt 2 2 df (t) 1 1−e−2s 1 e−2s −e−4s 1 ↔F (s) = ⋅ − ⋅ = (1−e−2s )2 1 dt 2 s 2 s 2s 1 1 所以 F(s) = F (s) = 2 (1−e−2s )2 1 s 2s
五．时域微分定理
若 则
L[ f (t)] = F(s) d f (t) L = sF(s) − f (0− ) dt
证明： 证明：
∫
∞
0
f ′(t)e dt = f (t)e
−st
−st ∞ 0
− ∫ [−sf (t)e−st ]dt
0
∞
=− f (0) + sF(s)
d f 2 (t) 推广： 推广： L dt2 = s[ sF(s) − f (0− )] − f ′(0− ) = s2F(s) − sf (0− ) − f ′(0− )
t0 −st0 st0 +1 −st0 = F (s) + e = 2 e 4 s s
二．延时（时域平移） 延时（时域平移）
时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。 时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。
f (t) = fT (t)u(t) = f1(t)u(t) + f1(t −T)u(t −T) + f1(t −2T)u(t −2T) +L
F(s) = F (s) + F (s)e−Ts + F (s)e−2Ts +L 1 1 1 1 = F (s) −Ts 1 1−e
结论： 结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例：周期冲击序列 δT (t)u(t)的拉氏变换为
1 1− e−Ts
1 δT (t)u(t) ↔ 1−e−Ts
∞
证明： 证明：
L f (t)e = ∫ f (t)e−αte−st dt =F(s + α) 0−
s s2 + ω2 0
−αt
例：求 e−αt cos ωt 的拉氏变换 0 解：已知: L[ cos(ωt)u(t)] = 0
−αt
s +α 所 以 e cos(ωt)u(t) ↔ 0 (s + α)2 + ω2 0 ω −αt 0 同 :e sin(ωt)u(t) ↔ 理 0 2 2 (s + α) + ω 0
=∫ f (t)[∫ e−λ tdλ ]dt
−∞
∞
s ∞
−∞
∞
s
1 −λ t ∞ =∫ f (t) − e dt s −∞ t ∞ f (t) =∫ ⋅ e−s tdt −∞ t
九．初值定理和终值定理
初值定理 若 f (t)和 则
t→ + 0
d f (t) 拉氏变换存在，且 f (t) ↔F(s) 拉氏变换存在， dt lim f (t) = f (0+ ) = limsF(s) F(s) 为真分式
八．s 域积分定理
若 则 证明：
L[ f (t)] = F(s) f (t) ∞ L = ∫s F(λ)dλ t
F(s) =∫ f (t)⋅ e−stdt
∞
积分： 两边对 s 积分：
∫
∞
−∞
s
F(λ)dλ =∫ [∫ f (t)⋅ e−λtdt]dλ
∞
∞
交换积分次序: 交换积分次序
1− st0 1 1 F (s) = L[t −t0 ] = 2 − t0 = 2 1 s s s 1− st0 F (s) = L[ (t −t0 )u(t)] = F (s) = 2 2 1 s 1 −st0 F (s) = L[ (t −t0 )u(t −t0 )] = 2 e 4 s F (s) =L[tu(t −t0 )] = L[ (t −t0 )u(t −t0 ) +t0u(t −t0 )] 3
解：4种信号的波形如图
f1 (t ) = t − t0
f 2 (t ) = (t − t0 )u (t )
0
t0
t
0
t0
t
f3 (t ) = t u (t − t0 )
f 4 (t ) = (t − t0 ) u (t − t0 )
0
0
t0
t
t0
t
二．延时（时域平移） 延时（时域平移）
只有信号
f4 (t) 可以用延时性质
二．延时（时域平移） 延时（时域平移）
1 例： 已知单位斜变信号 t u(t) 的拉普拉斯变换为 2 s 求 f1(t) = t −t0， 2 (t) = (t −t0 )u(t)， 3(t) = tu(t −t0 )， f f f4 (t) = (t −t0 )u(t −t0 ) 的拉普拉斯变换
证明： 证明：
∫
t
−∞
f (τ )d τ = ∫ f (τ )d τ + ∫ f (τ )d τ
−∞ 0
0
t
1 0 关，是一个常数 ① ∫ f (τ )d τ → ∫ f (τ )d τ −∞ s −∞ ∞ −st ∞ t 1 t t f (τ )d τ e−stdt = − e ② ∫ ∫ f (τ )d τ + ∫ f (t)e−stdt s ∫0 0 0 s 0 0 1 t F(s) −st = ∫ f (t)e dt = s 0 s
即得证。 即得证。
d F(s) 常 形 ： [tf (t)] =− 用 式 L ds
七．s 域微分定理
f (t) = t u(t −1) 1 解：因为 u(t) ↔ s
例
2
1 −s u(t −1) ↔ e s
所以
d2 1 −s 2 1 −s 2 2 t u(t −1 ↔ 2 ( e ) = e ( 3 + 2 + ) ) ds s s s s
七．s 域微分定理
若 则
L[ f (t)] = F(s) d F(s) L[ −tf (t)] = ds dn F(s) L (−t)n f (t) = ds d sn
n 取正整数
证明： 证明：对拉普拉斯正变换定义式 求导得
∞ dF ( s ) d ∞ − st = ∫ f (t )e dt = ∫ (−t ) f (t )e − st dt 0− ds ds 0 −
所以
t→ + 0
lim f (t) = f (0+ ) = limsF(s)
∞ s→
九．初值定理和终值定理
终值定理证明 根据初值定理证明时得到的公式
d f (t) −st sF(s) = f (0+ ) + ∫ e dt 0+ dt ∞ d f (t) limsF(s) = f (0+ ) + lim∫ e−st dt 0 0 s→ s→ 0+ dt
∞
= f (0+ ) + lim f (t) − f (0+ )