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斐波那契数列的设计应用
2011年，一名13 岁的美国男孩Aidan
Dwyer制作了一颗太阳能树，其能源效率比普通
光伏电池板高出20-50%。他借此获得了一项美
国专利，还被美国自然历史博物馆授予2011 年
度{年轻自然学家奖}。这一灵感来源于他在树林
中偶然发现树叶的生长分布都符合一种特殊的
数学规律：斐波那契数列，在这种情况下树叶的
光和效率最高。
我们若仔细观察常见的车前草，就不难发现，
它们的叶片是按螺旋线轨迹向上排列着叶柄基
部，相邻两片叶之间的弧度大小非常接近，都为
137.5 度。按照137.5 度的排列模式，叶子可以
占有最多的空间，获取最多的阳光，承受最多的
雨水。我们观察向日葵果实排列方式，都是按照
一个恒定的弧度沿着螺旋轨迹发散，而这个螺旋线弧度就是137.5 度。1979 年，英国科学家沃格尔用计算机模拟向日葵果实的排列方法，结果发现，若向日葵果实排列的发散角为137.3 度，那花盘上的果实就会出现间隙，且只能看到一组顺时针方向的螺旋线；若发散角为137.6 度，花盘上的果实也会出现间隙，会看到一组逆时针方向的螺旋线；而只有当发散角等于137.5 度。时，花盘上的果实才呈现彼此紧密镶合、没有缝隙的两组反向螺旋线。这个统计结果显示，只有选择137.5 度的发散角排列模式，向日葵花盘上的果实排列分布才最多、最紧密和最匀称。此外，蓟、菊花、松果、菠萝的花和果实上都可以找到这种神奇的排列。而且，它们每个方向的螺旋边数都无一例外是斐波那契数列中的数字。
137.5 度有何奇妙之处呢?如果我们用黄金分割率0.618 来划分360度的圆周，所得角度约等于222.5 度和137.5 度。而这一比例，正是有斐波那契数列得出的。也就是说，斐波那契数列这一神奇的数学规律在被人类发现之前几万年，就已经被自然界的生物破译了。
那么，斐波那契额数列究竟是怎样的出黄金分割率的呢？我们知道，斐波那契数列来源于斐波那契提出的兔子繁殖问题：
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一
年以后可以繁殖多少对兔子？
将每个月的兔子数量列为数列，即得到：
1,1,2,3,5,8,13······其中每个数都等于前两
个数之和，这就是斐波那契数列。而项数越
大，前一项与后一项的比就越接近0.618。
这一过程是一个波动着的趋近过程，若第二
个比值相对于第一个比值上升，第三个必然
比第二个下降，只可以看做是大自然的一种自动调节功能，总是向一个和谐的方向自动调整，不断地缩小偏差。黄金分割线的本意是:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。这样就达成了一个最终的理想效果：不需调整，没有偏差。然而事实上，这一效果是不可能达成的。正如
微积分的理论所言，极限是可以趋近但无法达到的。而黄金分割这一数字的循环性也代表了极限的本质：进行累次调整运算而自身不变。换句话说，进行这种运算而不变的，就是这种运算的极限。
黄金比例在很多方面都有意想不到的妙用。古希腊著名的雅典卫城，其主建筑帕特侬神庙被称为古典建筑艺术的典范，而帕特侬神庙的主立面矩形完全符合黄金比例。而世界著名的哥特建筑巴黎圣母院的主立面也十分接近黄金分割。在一般人的眼中，古典与哥特截然相反，互不相容，然而这两座建筑的立面竟如此默契地吻合，这不能不说是美的共性规律，是人的审美超越风格限制的与自然切合。四千年前,古埃及人把黄金分割用在大金字塔的建造上.。米开朗基罗、达·芬奇把黄金分割融会于他们的绘画与雕塑。如今，建筑师们已设计出新颖“黄金分割角”高楼，达到每个房间最佳采光、
最佳通风和最佳明亮的效果。天热时，
我们所使用的人造扇子都是圆心角为
137.5 度的扇形。因为这样的弧度，用
手扇起来最省力，风最适宜，并最具美
感。
不单单是矩形长宽的黄金比例和圆
形中的黄金角，在螺旋线中也存在着与
斐波那契数列的奇妙地联系，如图：
如果我们对建筑进行观察，就会发现这种奇妙的螺旋形应用于各种造型和装饰。
甚至有时，这种完美的曲
线也被用于产品设计，图为一
种新款音箱的造型，采用类似
蜗牛壳螺旋线：
第1章绪论 布置的作业共6题： 基础知识题：1.6 1.7 1.8 1.10 算法设计题：1.17 1.20 一、基础知识题 ◆1.6 ③在程序设计中，常用下列三种不同的出错处理方式： （1）用exit语句终止执行并报告错误； （2）以函数的返回值区别正确返回或错误返回； （3）设置一个整型变量的函数参数以区别正确返回或某种错误返回。 试讨论这三种方法各自的优缺点。] 答题思路：查错和容错能力 答：程序出错处理是指发现错误并根据出错的原因作出适当的处理，处理的目的是找到出错的原因。出错的原因一般包括缺乏某些资源和程序设计有问题两类。如果是前者，程序仍然可以继续运行，只是处于等待资源或执行其他流程的状态。如果是后者，则需要修改源代码。
◆1.7 ③在程序设计中，可采用下列三种方法实现输出和输入： （1）通过scanf和printf语句； （2）通过函数的参数显式传递； （3）通过全局变量隐式传递。 试讨论这三种方法的优缺点。 答题思路：错误局部化（软件模块化）、执行效率（内存开销） 答：在正规的软件设计中，要求各模块之间以恰当的方式进行调用，以便使各模块中出现的错误局部化。 其是方式3，在出现错误时查错的开销将很大，尽量不使用。
◆1.8 ④设n为正整数，试确定下列各程序段中前置以记号@的语句的频度。评析：频度≠时间复杂度 注意：（1）、（2）、（3）三个程序段中任何两段都不等效(即k和i的终值不相同 )
书后附有答案 标答：程序段（8）取自著名的McCarthy91函数 ? ??≤+>-=100 ))1((10010)(x x M M x x x M 对任何 x ≤100，M(x)=91。此程序实质上是一个双重循环，对每个y(>0)值，@语句执行11次，其中10次是执行x++。 刘解：请注意x 的初值已经是91了，必须加到101才能终止程序的循环。if 语句从x=91开始直到x=101都执行，共执行11次，其中10次是执行x++。
斐波那契数列
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质 也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，我们还是来看一个简单的问题吧，将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，真不可思议！ 这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。 问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面积，表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。 爬梯子问题（斐波那契数列应用） 1.小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？ 这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有五级楼梯，他有7种走法． 既：楼梯的级数：１２３４５６７８．．． 上楼梯的走法：１２４７１３２４４４８１．．． 这其中的规律就是，这里从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。
《斐波那契数列的应用》课题设计 一、课题的确定： 孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。 二、课题的布置与指导： 《斐波那契数列的应用》是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以《兔子的繁殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力以及大自然造物的神奇。我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以《兔子的繁殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。 三、课堂实录： （一）、导入： 师：大家喜欢数学吗？问大家一个问题：我们天天在学习数学，那你知道我们为什么要学习数学吗？其实根本原因有三：计算、应用、激发灵感。数学是一门研究规律的科学，我们通过学习数学可以提高我们的逻
斐波那契数列与黄金分割 应用研究 作者姓名 院系6系 学号
摘要 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，由于其所具有的各种特殊属性，它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。在数学领域以及自然界中随处可见，而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。 关键词：斐波那契，黄金分割，应用 1 引言 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下： 月份0 1 2 3 4 5 6 7 ? 大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ? 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ? 兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ? 如果用F n 表示第n个月兔子的总对数，那么F n能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89?．这个数列显然有如下的递推关系： F n =F n-1 +F n-2 （n>1,n为正整数），F0 =0，F1 =1 (1) 满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。 费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和( an =
斐波那契数列的性质 一、通项公式：a n = 5〔1+ 52〕n - 5 〔1? 52〕n 二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立:a p a q - a u a v = (-1)p+1a u-p a q-u 三、a n +1a n?1 - a n 2 = (?1)n (n >= 1, n 属于 N) 四、a 2n +1 = a n +12 + a n 2 （n 属于N ） 五、a n +12 - a n?12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N) 六、a n +m = a n?1a m + a n a m +1 (n >= 1, n 和m 属于N) 七、a 2n +2a 2n?1 - a 2n a 2n +1 = 1(n >= 1, n 属于N) 八、a m +n 2 - a m?n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1) 九、a n?1?a n +2 - a n ?a n +1 = (?1)n (n >= 2) 十、{f 2n f 2n +1} 有极限且等于黄金分割率 5 ?12
下面是一篇文章：
斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 奇妙的属性 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64
“斐波那契数列” 教学目标 1、使学生初步认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，培养良好的思维品质。 3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养良好的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学重点使学生初步认识“斐波那契数列”及其部分特性。 教学难点了解斐波那契数列并在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感。 教学准备多媒体教学课件等。 教学过程 一、导入： 1、课前游戏：找规律填数，并说一说规律。（女生组 VS 男生组） 女生组：5，10，15，（），（），30 男生组：2，5，8，（），14，17，（） 引出像这类找规律题，都需要观察前后数的关系。 2、同学们，今天我们要来学习一个课外知识，老师把题目写出来。（师板书：斐波那契数列） 二、探究新知： 1、斐波那契是一个人的名字，我们一起来认识一下他。自由地读一读。很久很久以前，这个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，便成为一位举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题巧妙地告诉了我们，请看大屏幕：齐读 2、请学生读题，分析、理解题意。 师：你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡；②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。3、模拟兔子生长过程：那我们就从前几个月开始研究，四人小组合作，方法不限，你可以画画图啊，画画线啊，写写字啊……等等，自己选择一种方式进行研究这个问题，好，开始。 4、汇报：出示几个学生的图，边出示边说。 ①1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。（引导说明） 如：一月，只有1对小兔，大兔为0对，合计1对； 二月，1对小兔长成1对大兔，小兔变为0对，大兔1对，合计1对； 三月：小兔有1对；大兔有1对；合计1+1=2（对）。 四月：小兔有1对；大兔有1+1=2对；合计1+2=3（对）。 ②学生尝试说5月—7月兔子的变化过程，并记录板书。 五月：小兔有2对；大兔有1+2=3对；合计2+3=5（对）。
浅谈斐波那契数列在生活中的应用 发表时间：2019-07-29T11:38:49.093Z 来源：《基层建设》2019年第14期作者：孙烨赵倩[导读] 摘要：数学是一门来自生活又高于生活的科学，数学研究是人类社会进步的动力。 山东协和学院山东济南 250107摘要：数学是一门来自生活又高于生活的科学，数学研究是人类社会进步的动力。数列知识在生活中也有着广泛的应用，例如生物种群数量的变化，银行的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等，都会用到数学知识。本文介绍斐波那契数列的简单情况，可以帮助学生提高对数列的知识。数列是数学学习中一个非常重要的分支，并且因为数列的研究和计算与社会经济和资源生活紧密相关，加上灵活 多变的计算，有趣的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：斐波那契数列应用黄金分割 1 引言 数列在我们的生活中具有广泛的应用，例如资源计算等问题，并且在解决诸如投资分配，汇率计算和资源利用分配等问题方面具有无可比拟的优势。本文将简要介绍数列广泛应用，分析斐波那契数在上述几个生活领域中的应用。 斐波那契数列在现实生活中被广泛使用，研究它以使其服务于我们的生活具有很大的意义。 人类很早就看到了大自然的数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树枝、钢琴音阶的排列以及花瓣在花托边缘的对称分布、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称性……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。对自然、社会和生活中的许多现象的解释，通常可归因于斐波那契数列上来。 斐波那契数列在数学理论中有许多有趣的特性，似乎在自然界中也存在着这个性质，都被斐波那契数列支持。 2 斐波那契数列的应用 （1）斐波那契数列和花瓣数花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，海棠2瓣花瓣，铁栏、百合花和兰花以及茉莉花都有3瓣花瓣，洋紫荆、黄蝉和蝴蝶兰是5瓣花瓣。万寿菊的花瓣有13瓣；至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；雏菊属植物有89、55或者34个瓣花瓣。 （2）斐波那契数列和仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片的厚度以及控制仙人掌情况的其他因素，并将数据输入计算机，结果发现仙人掌的斐波那契序列结构使仙人掌能够最大限度地减少能量消耗并适应干旱沙漠中的生长环境。 （3）斐波那契数列和向日葵种子排列向日葵种子的排列是典型的数学模型。仔细观察向日葵盘，你会发现两组螺旋，一组顺时针旋转，另一组螺旋逆时针旋转，彼此嵌套。虽然不同向日葵品种的种子选装方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，每组数字就是斐波那契序列中的两个相邻数字。前一个数字是顺时针旋转的线数，后一个数字是逆时针旋转的线数。回想起向日葵。种子全都紧密排列在花盘当中，每个种子都保证按照适合的角度生长大小还基本保持一致又疏密得当，与此同时，螺旋的数目也是斐波那契序列中的数字，世界如此繁琐，却又如此的井然有序。 （4）斐波那契数列与台阶问题当只有一个台阶时，只有一种移动方式，F1=1两个台阶，有2种走法，一步上两个台阶或者一阶一阶的上，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（0，2，2），共5种方法，所以F4=5依此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...斐波那契与自然，生活和科学上有很多联系，但是从这几个例子中，我们可以看到斐波那契数列的应用的广泛性，我们可以看到数学之美无处不在。它是一门科学，同时也是一种艺术，一种语言，它就像一朵盛开的茉莉花，白皙而优雅，简言而之，数学伴随着自然生活共同发展。 （5）斐波那契数列与蜜蜂的家谱蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有一个母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，未受精的孵化为雄蜂，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后）。人们在追踪雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是斐波那契数列的第n项f（n）。 （6）黄金分割与斐波那契的联系斐波那契和黄金比例（也称黄金分割，Φ，取三位小数1.618）密切相关。黄金法则，也称为黄金比率，是指将直线分成两部分，使得一部分与整体的比率等于剩余部分与该部分的比率，即0.618/1=0.382/0.618。0.618是斐波那契数列相邻两项之比的近似值，一般称之为黄金分割数。这是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯于公元前6世纪由提出，后被著名的希腊美学家柏拉图称为“黄金比例率”。 （7）斐波那契数列和鳞片的关系菠萝果实上的菱形鳞片排成一列，8排向左倾斜，13排向右倾斜；挪威云杉的球果在一个方向上有3排鳞片，在另一个方向上有5排鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，松果上有鳞片，两个方向也排成5行8行；美国松树松鳞片在两个方向上排成3行和5行。 （8）影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可以说是是每个人都知道，在电影这种通俗艺术中也经常的出现，例如在风靡一时的《达芬奇密码》当中它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》当中也出现过。由此可见此数列就像黄金分割那样的流行。可是虽说叫得上名，大多数人并没有深入理解研究。在电视剧中也经常看到斐波那契数列的影子，比如：日剧《考试之神》的第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题。还在FOX热播美剧《Fringe》中也是多次引用，甚至被当做全剧宣传海报的主要设计元素。 3 结束语 除了上文中涉及的几个方面外，斐波那契数列在生活的其他领域当中例如现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有着广泛的应用。这个奥秘神奇的序列就在我们生活中任何常见的事物中隐藏，植被如一朵向日葵，一棵花菜，宏观如飓风以及星系，微观小至细胞的分裂，斐波那契数列都有存在。而且，通过对上文数列在生活中应用的几个方面的分析，也希望能激发大家对斐波那契数列的兴趣，感受数学的魅力。
《斐波那契数列》教学设计 教学内容：第65页阅读资料“斐波那契数列”。 教学目标：1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。 3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学过程： 一、故事引入，提出问题 很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1、请学生读题，分析、理解题意。 你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 2、模拟兔子生长过程 ⑴请同学们讨论，你想了解哪些问题？如何解决？（这一年当中，兔子的数量到底是怎样增长的？）我们来模拟一下，好不好？ ⑵师生共同参与模拟过程，记录数据。 1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。 ⑶引导发现规律，小组合作完成剩下月份的推导 ⑷汇报交流，解决问题。 二、合作探究，解决问题 1、刚才大家表现得很踊跃。下面我们就来研究这个著名的数学问题， 它就是这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…… 2、观察前后数的关系，从这个数列中你发现了什么规律? ①学生举手汇报，说出规律：前两个数之和等于第三个数。 ②若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是前两项之和，则称该数列 为斐波那契数列。 三、应用新知，练习巩固 根据你发现的规律填空
斐波那契是意大利的数学家.他是一个商人的儿子.儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚,在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识,从而对数学产生了浓厚的兴趣. 长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识.回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版. 这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道"兔子数目"的问题是这样的: 一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子? 这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列". 你能把兔子的对数计算出来吗? 解: 可以这么推算: 第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子. 第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子. 第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子. 第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子.
第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子. …… 以此类推,可知: 每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和. 我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算起,每个月后他所拥有的兔子对数便是: 仔细观察两行数发现它们是很有规律的: 每行数,相邻的三项中,前两项的和便是第三项. 有趣的是: 雏菊花花蕊的蜗形小花,有21条向右转,有34条向左转,而21和34,恰是斐波那契数列中相邻的两项;松果树和菠萝表面的凸起,它们的排列也分别成5:8和8:13这样的比例,也是斐波契数列中相邻两项的比. 这个数列不仅在数学,生物学中,还在物理,化学中经常出现,而且它还具有很奇特的数学性质,真是令人叫绝!
浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 99数学本四班 莫少勇 指导教师 孙丽英 摘 要 本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci 数列 黄金数 优选法 数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。 一． F ibonacci 数列的由来 Fibonacci 数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？ 对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n 根据题设，有 显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式： ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n 若我们规定F 0=1，则上式可变为 ?? ?==∈≥+=1F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n 这就是Fibonacci 数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……， 这串数列的特点是：其中任一个数都是前两数之和。 这个兔子问题是意大利数学家梁拿多（Leomardo ）在他所著的《算盘全集》中提出的，而梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci ），所以这个数列称作菲波纳契数列，其中每一项称作Fibonacci 数。 它的通项是F n =51[(25 1+)n+1-(251-)n+1 ]，由法国数学家比内（Binet ）求出的。 二．Fibonacci 数列的内涵 （1）Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。 证法一：
《斐波那契数列》教学设计 杨遇春 教学背景： 《斐波那契数列》是江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页的阅读材料，是学生在学习完数列（主要是等差数列和等比数列）后安排的一节课外学习内容。考虑到本节内容学生自学有一定难度，同时本节课对培养学生学习数学的兴趣，提高自己对数列的认识和后续学习都很有帮助，而且本课所强调的自主探索、合作交流的学习能力在我们的学生中还有待进一步提高，因此我决定用一节课引导学生学习本节内容。 多媒体技术是现代课堂教学的重要手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，是提高课堂效率、丰富课堂内容的有效途径。在本节课我主要借助PowerPoint演示加网络搜索的方法教学，用PowerPoint来向学生展示本节的主要学习思路和大纲，然后问题引导学生用网络搜索引擎查找问题答案展开学习。 教学目标： 1．使学生了解了斐波那契数列； 2．向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想； 3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题。 教学重点： 认识斐波那契数列 教学过程： 1、斐波那契数列的由来（创设情景，引入主题） 先用PowerPoint让学生看一个有趣的问题：有一个人第一月底时在一间房子里放了一对刚出生的小兔，小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，次后每个月生一对小兔。如果不发生死亡，那么到年底这个人有多少对兔子？ 先由学生自己思考，我不急于公布答案，而是与同学们共同做如下研： 我们用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数（用PowerPoint逐月显示，加以讲解，务必要学生理解递推的本质） 第1月底○ 第2月底◎ 第3月底◎○ 第4月底◎○◎ 第5月底◎○◎◎○ 第6月底◎○◎◎○◎
斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得
因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为
所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷（试卷科目：中学数学）01 第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分） 第1题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ C）。 (2.5分) A．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践 B．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程C．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已D．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程 第2题 (单选题)在美国，教育技术作为一个新兴的实践和研究领域而出现始于下列选项内容的是（ A）。 (2.5分) A．视听运动 B．计算机辅助教育 C．程序教学法 D．网络技术应用 第3题 (单选题)"教师不应一味以传统集体传授教学的方式进行教学，而应使用能够让学生进行操作或进行社会活动的方式来学习"，这反映的是（ A ）的学习观。 (2.5分) A．建构主义 B．人本主义 C．行为主义 D．认知主义 第4题 (单选题)在视听教学运动背景下，对教育技术基本内涵表述不恰当的是（ C）。 (2.5分) A．在教学过程中所应用的媒体技术手段和技术方法 B．在教学过程中所应用的媒体技术和系统技术 C．在教学过程中所应用的媒体技术 D．在教学过程中所应用的媒体开发和教学设计 第5题 (单选题)关于教学方法的选择，下列选项中说法正确的是（ C ）。 (2.5分) A．教学方法的选择不涉及学习者特征方面因素
浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 99数学本四班莫少勇指导教师孙丽英 摘要本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci数列黄金数优选法 数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。 一．Fibonacci数列的由来 Fibonacci数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，
而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？ 对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n 根据题设，有 显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式： ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n 若我们规定F 0=1，则上式可变为 ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n
实验二Linux 进程创建 实验目的 ?加深对进程概念的理解 ?练习使用fork()系统调用创建进程 ?练习Linux操作系统下C程序设计 实验准备知识 1. fork()函数：创建一个新进程. ?调用格式： #include
输出。在退出程序之前，父进程调用wait()等待子进程完成。 要求提供必要的错误检测以保证在命令行传递的参数是非负数. 实验程序： #include
《斐波那契数列》教学反思 六（5）班吴爱玲 新教材每一册都有不少既有趣味性又符合教学要求的阅读材料，主要是以“你知道吗”“数学游戏”“生活中的数学”等的形式出现，新颖活泼，图文并茂，给人耳目一新之感。这体现了小学数学新教材的先进的理念,是一个新的特色。 本课教学内容是人教版六年下册数学教材中65页的阅读资料，它的学习是建立在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实践、验证等活动探索数列的排列规律。由于寻找这样的规律，学习活动中接触的基本上是数字，所以提高学生的学习兴趣非常重要。教学设计时我本着让“数学阅读资料”真正成为激发学生阅读数学的兴趣、培养学生数学阅读能力的载体，成为引导学生学会分析、思考、探索的载体。有意识地设计让学生充分体验“由易到难、寻找规律、层层推理、解决问题”的数学思想和思路。“兔子问题”本身具有一定的难度，所以需要进行相关知识的复习与铺垫。通过“找规律填数“诱导学生积极主动学习。 开课时，我以带领大家来认识解决一个很有趣的数学问题，据说他的发现曾激起一个民族的数学学习热情，它的解决更造就了一位著名的数学家；究竟是怎样的问题有如此魅力,你们想了解吗？那就要看你们的表现了。大家有没有信心？以上节课简单的找规律引入并过渡到斐波那契数列的排列规律学习中来。然后用学生喜欢的故事形式-----兔子问题,导入新课的学习，这样可以充分调动学生学习新知的热情。接着，我让学生读故事,并说说自己是怎样理解的,然后讨论,12月后到底有几对?发现比较复杂,似乎讲不清楚。于是就顺理成章得引导学生用方法去解决 ----画图、列表格、找规律等等。学生在尝试后在交流。最后发现了规律。 教学设计巧妙，有步骤、多角度地引导学生学习、体验探究解决问题的方法策略。如：让学生自己阅读(谈“读懂了什么?”)又引导学生以画图的方式模拟兔子的生长过程，不仅使数学学习变得趣味横生，而且最大可能地调动了学生的学习潜能。在活跃的氛围中，学生们经历了
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列： 1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公 式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1)
又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即： 根据斐波那契数列通项公式，可以得到 因为n是趋向于正无限的，因此我们可以知道： 那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即 这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。
+斐波那契数列的应用 第一章斐波那契数列的提出 意大利数学家斐波那契在《算盘全集》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：如果每队兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同）每队兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。假定这些兔子都不死亡现象，那么从一对刚出生的兔子开始，一年只有会有多少对兔子呢？解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2对兔子。第四个月：最初的一对兔子又生一堆兔子，共成为2+1=3对兔子。后人为了纪念兔子繁殖问题的斐波纳契将这个兔子数列成为斐波那契数列。也就是把1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。 第二章斐波那契数列的应用 人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。而对这些自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到Fibonacci数列上来。
斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质，不可思议的是在自然界中也存在着这个性质，似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距离或叶子的生长凡是，都被斐波那契数列支持着。 2.1 斐波那契数列与花朵的花瓣数 花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。 2.2 斐波那契数列与仙人掌的结构 在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，并将所得数据输入电脑，结果发现仙人掌的Fibonacci数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在干旱沙漠的生长环境。 2.3 斐波那契数列与向日葵种子排列方式 向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且