浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值
99数学本四班 莫少勇 指导教师 孙丽英
摘 要 本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。
关键词 Fibonacci 数列 黄金数 优选法
数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。
一． F ibonacci 数列的由来
Fibonacci 数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？
对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n
根据题设，有 显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式：
??
?==∈≥+=1
F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n
若我们规定F 0=1，则上式可变为
??
?==∈≥+=1F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n
这就是Fibonacci 数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，
这串数列的特点是：其中任一个数都是前两数之和。
这个兔子问题是意大利数学家梁拿多（Leomardo ）在他所著的《算盘全集》中提出的，而梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci ），所以这个数列称作菲波纳契数列，其中每一项称作Fibonacci 数。
它的通项是F n =51[(25
1+)n+1-(251-)n+1
]，由法国数学家比内（Binet ）求出的。
二．Fibonacci 数列的内涵
（1）Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。
证法一：
∵菲波纳契数列是一个2阶的线性齐次递推关系，它的递推方程是x 2
-x-1=0，
特征根是25
1±
∴通解是F n =C 1(251+)n +C 2(25
1-)n
代入初值来确定C 1、C 2，得方程组
???
??=-++=+125
1251121
21C C C C
解这个方程组得
C 1=5
1251+, C 2=51-25
1- ∴原递推关系的解是
F n =51[(251+)n+1-(25
1-)n+1
]
证法二：
设F n 的生成函数为 F(x) ，则有
F(x)=F 0+F 1x+F 2x 2+……+F n x n
+……
x(F(x)-F 0)= F 1x 2+F 2x 3+…F n-1x n
+……
x 2F(x)= F 0x 2+F 1x 3
+……
把以上式子的两边由上而下作差得
F(x)(1-x-x 2)+x=F 0+F 1x+(F 2-F 1-F 0)x 2+(F 3-F 2-F 1)x 3
+…… =1+x+0+0+……
∴F(x)=2
11
x x --=)2511)(2511(1x x --+-=x A 2511+-+x B
2511--
由???
??=++-=+0)25
1()251(1
B A B A 解得A=5251+，B=5215-
∴F(x)= 525
1+k k k x )251(0∑∞
=+-5215-k
k k x )251(0∑∞=-
∴取x=1,k=n ，则F n =51[(251+)n+1-(25
1-)n+1
]
（2）在Fibonacci 数列中，前后两项的比值1
+n n F F 是以黄金数0.618为极限的。
记b n=1+n n F F ，则有b 0=10F F =1 b 1=21F F =21
b 2=32F F =32
b 3=43F F =53
b 4=54F F =85
b 5=65F F =138
………… b n =
1
111-+
n b
在求数列
{}n b 的极限之前我们首先来证明以下两个命题：
（i ）引理：Fibonacci 数列的任意相邻四项满足 F n-2F n+1-F n F n-1=(-1)n
， n ≥3
证明：根据行列式与线性方程组的关系，
方程组??????
?-=+++=-+++11)251(251)251(251n n y x y x 的解是
x=25
11
2511
251)2
51(25
1)2
51(11+-++--++n n =51[(251+)n -(25
1-)n
]=F n-1
y=25
11
2
511
)
251(1)2
51(
111
+-+-++n n =51[(251+)n+1-(251-)n+1]=F n ∴F n-1、F n 满足原方程组，于是有??????
?-=+++=-+
+-+1
11
1-n )251(251)251(251n n n n n F F F F
把以上方程组的两边对应相乘，得
[
n n F F 2511-+
-][n n F F 2511++-]=1)251(+-n 1
)251(++n
整理得， F n-12
+F n F n-1-F n 2
=(-1)n+1
(F n -F n-1)(F n +F n+1)-F n F n-1=(-1)n
F n-2F n+1-F n F n-1=(-1)n
证毕。 （ii ）数列
{}n b 存在极限。
证明：由引理可知，当n=2k+1，F k-2F k+1-F k F k-1=-1＜0：当n=2k ，F k-2F k+1-F k F k-1=1＞0
因此分别有k k F F 212-＜2212++k k F F ， k k F F 212-＞2212++k k F F
即数列??????-n n F F 212递增，数列??????+122n n F
F 递减。
显然，
1
0,0≤<≠?n b n ， ∴数列
{}n b 有界。
根据“单调有界数列必有极限”可知{}n b 2、{}12-n b 存在极限。设n n b 2lim ∞→=A, 1
2lim -∞→n n b =B ，
分别对b 2n =
1
21
11-+
n b 及b 2n+1=
n
b 2111
+
两边取极限有A=
B
111
+
,
与 B=
A
111
+
即有B A
111+=与A B 111+
= ∴
BA B A A B AB A B -=-=-11，则必有 A=B ≠0 ∴数列
{}n b 极限的存在性可证。
于是由（ii ）我们可求n
n b ∞
→lim 。
根据Fibonacci 数列的通项以及
2
5
1-＜1得, n
n b ∞
→lim =
1
lim
+∞→n n
n F F
=22n 1
1n )251()251()
251()251(
lim ++++∞
→--+--+n n n =
2511lim
+∞→n =251-≈0.618 三．Fibonacci 数列的应用价值
科学家发现无论在数学领域还是在自然界中都有很多有趣的现象与Fibonacci 数列有关，现在举例如下：
例1． 杨辉三角对角线上各数之和构成Fibonacci 数列，即
F n =?????+?++++?+++-+----为奇数时当为偶数时当）（n C C C C n C C C C n n n
n n n n n n n 212
)1(22
2211022110
例2． 多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n ×2的棋盘，覆盖的方 案数等于Fibonacci 数。
例3． 从蜜蜂的繁殖来看，雄峰只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌
蜂，未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n 代祖先的数目刚好就是Fibonacci 数列的第n 项Fn 。
例4． 钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似，说明音调也与Fibonacci 数列有关。
例5． 自然界中一些花朵的花瓣数目符合于Fibonacci 数列，也就是说在大多数情况下，一 朵花花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，……。
例6． 如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝， 那么历年的树枝数，也构成一个Fibonacci 数列。
Fibonacci 数列的重要价值还在于它能作为一些实际问题的数学模型，从而使复杂的实际问题转化到我们熟悉的数学问题的解决上。
问题一：有一条n 级楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问欲登上去，共有几种走法？
分析：由于登上n 级台阶可以从第n-2直接上来，也可以通过第n-1级分步上来，这样登上n 级台阶的走法不仅与登上n-1级走法有关，且也与登上n-2级台阶的走法有关，故这里可以考虑通过二阶递推式来进行求解。
解：登上第一级只有一种走法，记a 1=1，
登上第二级，有两种走法，记a 2=2，
如果要登上第n 级，那么可能是第n-1级走上来，也可能是第n-2级跨上两级上来的，故有 a n =a n-1+a n-2
显然这是缺了F 0项的Fibonacci 数列，它的通项为
F n =51[(251+)n+1-(25
1-)n+1
]
所以要登上第n 级楼梯，共有F n 种不同的走法。
问题二：某一种产品的质量取决于它的温度，这个温度估计在10000
C —1500
C 之间，怎样试验才能
找到最好的温度？ 有人从1001
C 开始做试验，一直做到1499
C ，共做499次试验，找到了最好温度，这叫均分法。
显然这是一种很笨的方法。若我们利用Fibonacci 数列的知识只须做13次实验就可达到同样的效果。
这里我们利用Fibonacci 数列中1
+n n F F 的极限25
1-，因为它是无理数不好计算，所以取它的三位不
足近似值0.618来代替它。
我们用一张有刻度的纸条上写上10000
C —15000
C ，在15000
C 的点记为F n ，第一次试验在纸条总
长的0.618处即1309
C 处取第一个试验点记为F n-1，使得
n
n F 1-=0.618
1000
n
n-1
1000
n-1
n-2中点
n-3
第二次试验,将纸条对折，找到与1309
C （即F n-1）相重合的点，即1191
C 点记为F n-2，显然F n-2=F n -F n-1，
取F n-2作第二个试验点，比较F n-1和F n-2，如果F n-2处比F n-1处好，就将F n-1的右边的纸条剪去（反之，剪去F n-2左边的一段）。
第三次试验，将剩下的纸条再对折，在与11910
C （F n-2）重合的点，即在1118
C （F n-3）点处做，
做完后进行比较，如仍是11910
C 处好，则剪去11180
C 左边的一段（反之，剪去11910
C 右边的一段）
第四次试验，将11180
C —1309
C 这段纸条再对折，又可找到与11910
C 重合的点12360
C(F n-4)，
在1236
C 处做第四次试验。
然后再比较、剪裁，依次做下去，直至达到所要求的精度为止。试验中依次所取的试验点就构成了
一个Fibonacci 数列。
为什么这里只要做13次试验就可抵用均分法做499次试验呢？我们下面来探讨这种试验方法的原理。
一方面，在试验中我们是通过用折纸法也就是来回调试法来缩短试验的范围，减少试验次数的。它比均分法优化得多。例如，取Fibonacci 数列的F 5点为第一个试验点，则用对称来回调试法做5次试验。相当于均分法做13次试验。一般地，取F m-1为第一个试验点，用对称来回调试法做m-1次试验。相当于
均分法做F m-1次试验。m 越大，效果越佳，由于
1413
F F ＜0.618＜
15
14F F 而
14
13
F F =610377
，因此，从0.618出发
做13次试验相当于均分法做600多次试验，这就是它的优越性所在。如果我们将区间[0，1]均分为n+1
份，做n 次试验，可以知道最优点在12+n 长的区间内，叫做精度，记为δ=12
+n 。对折纸法而言，做n
次试验最优点在长度为(0.618)n-1
的区间内。题中做499次试验，设试验区间长度为1，则
δ=14992+=2501
由(0.618)n-1
=2501 解得n ≈13
另一方面，我们在试验中每次剪去一段后，最优点是不会丢掉的，这是试验有效的前提保证。设每个试验点对应的试验结果是试验点的函数，我们假定它满足以下定义：设f(x)是区间[a,b]上的一个函数，如有一点m 属于[a,b]使
f(x 1)＜f(x 2)＜f(m)，当a ＜x 1＜x 2＜m 时； f(m)＞f(x 1)＞f(x 2)，当m ＜x 1＜x 2＜b 时，
1000n n-1中点n-2
则f(x)叫做区间[a,b]上的一个单峰函数，点m叫做好点，也就是我们要找的最优点。
因此我们在试验中某段区间[a,b]上比较两个点F m和F m-1时，如果f(F m)＜f(F m-1)，则可丢区间[a,F m]；如果f(F m)＞f(F m-1)，则可丢区间[F m-1,b]；如果f(F m)=f(F m-1)，则可丢区间[a,F m]和[F m-1,b]。
以上这种试验方法是今天科学领域上所谓的优选法，它体现了Fibonacci数列在现代最优化理论中重要的应用价值。
总之，Fibonacci数列的内涵和它的应用价值不仅仅是以上所述的这些，在许多领域里它都有广泛的应用。在美国有一份《菲波纳契季刊》专门登载它在应用上的新发现及有关理论，可见这个黄金数列的前途是无可限量的。
参考文献
[1] 唐起汉《黄金分割法最优性的初等证明》《中学数学月刊》 2003年第2期
[2] 邱树德《菲波纳契数列的别证以及它的性质》《中学数学教学》 1991年第3期
[3] 屈婉铃编《组合数学》北京大学出版社
[4] 郑正亚、屈善哉等编著《数林拾零》湖南教育出版社
(II )如果将该商品每月都投放市场 (II )要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数 P (万 件)应 f (n) 即 1 Pn n(n 1)(35 2n), P 150 1 150 (n 1)(35 2n) 丄(n 2 更n 更) 75 2 2 N ，当n 8时, 1)(35 2n)的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件 练习：听P82例2 例2 ?某外商到一开发区投资 72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美兀, 出售该厂；②纯利润总和最大时，以 16万元出售该厂，问哪种方案最合算? 解答：由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 系为 f (n)，则 f (n) 50n [12n (1 )纯利润就是要求 f(n) 0 , 血 U 4] 72 2n 2 40n 72 2 2n 2 40n 72 (2)①年平均利润 f(n) n 40 2(n 笑)16当且仅当n = 6时取等 口 号。 数列的实际应用问题 例1 .某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量 f(n)(万件)与月 1 份 n 的近似关系为 f( n) n(n 1)(35 2n)(n N , n 12) 150 (I)求2005年第n 个月的需求量g(n)(万件)与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份 的需求量超过1.4万件。 P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件? 以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美兀。设f (n)表示前n 年的纯收入 (f (n)前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？ (2 )若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48万美元 解得2 n 18。由n N 知从第三年开始获利 解答： (I ) 由题意知， g 1 f (1) g(n) f(n) f (n 1): 1 n(n 150 1 150 n[(n 1)(35 2n) (n 1)(37 1 11 又一 1 (12 1) 25 g(1), 25 由丄 n(12 n) 14 得：n 2 12n 25 即6月份的需求量超过 1.4 万件 1 、11 「 当 2时， 1 2 3- n 150 2n)— 150 25 1)(35 (n 1) n[35 2(n 1)] 2n)] 1 n(1 2 25 n) 1 g(n ) n (12 25 n)(n N , n 12) 35 0, 5 n 7,又n N , n 6
数学在经济学中的应用 经济学院经济系张馨月 进入大学，我选择了经济学这门学科。经过一个学期的学习，我对经济系的课程有了一个基本的了解。数学是经济系乃至经济学院的学生必修的一门课程，非常的重要。为什么数学在经济学中的作用如此重要呢？今天，我就浅论一下这个问题，谈谈数学在经济学中的应用。 要谈这个问题，首先要明确经济学是什么。经济学是研究如何配置和使用相对稀缺的资源，来满足最大化需求的社会科学，即研究社会活动中的个人、企业、政府如何进行选择，以及这些选择如何决定社会资源使用方式的一门科学。经济学是一门社会科学，但是它却与哲学、文学等社会科学有着大相径庭的区别。经济学研究的是经济问题。虽然现实里的经济问题错综复杂，使经济学的分析增加了难度，具有了一些不确定性。但是，经济学的目标是朝着物理学的方式发展的，它本质上追求精确。对于这样一门追求精确的学问，数学的作用自然非比寻常。经济学使用到了数学、统计工具，这个传统从很早的威廉.配第就有了，到魁奈的《经济表》，到边际学派的边际分析，到萨缪尔森的《经济分析基础》，到再博弈论等等，数学在经济学中的地位越来越明显。 我认为，数学在经济学中的作用主要有两方面。一是在其工具性上，数学作为经济研究的基础工具，其作用自然不可小觑；二是在其思想性方面，数学是一门严谨的学问，其严谨的思想在追求精确和理性的经济学中占据重要的地位。数学在理论上的概括和科学的实际发展中，一般给人们的印象是，与其他学科相比，数学的特点可归结为更高度的抽象性、更严密的逻辑性和更广泛的应用性。因此，说数学是一切科学的根本基础，是科学的皇后，是十分自然的。 先谈谈第一方面。首先，数学概念是抽象的典范，几乎它的所有基本概念在现实世界中是找不到的，例如，点、线、面；自然数、实数和虚数等等；它们是抽象的，又是深刻的，极其奇妙地、精确地刻画自然事物的某种基本特征。其次，数学是严密逻辑推理的象征，其方法论的核心是演绎法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理；其实质含义是，若公理为真，则可保证其演绎的结论为真；从逻辑上看，演绎法是清晰、合理和完美的，由数学推出的显然是毋庸置疑的正确结论。最后，由上面两点，数学应用的广泛性是不言自明的。自然，在经济研究中，少不了数学这样一个工具。经济学是研究在约束的条件下的最优化选择，即在资源稀缺的条件下，如何达到收益的最大化。于是，在研究中就存在成本、收益等等的概念和运算。同时，由于经济活动的多样性，研究中存在许多变化的因素，导致了经济研究的错综复杂。而数学其用处就在于为许多复杂的思想和现象提供了简洁而明了的解释，为许多错综的数据提供了计算模型，从而使经济研究简洁条理。 但数学的有用性不仅仅体现在其工具性上，更在其思想性上。改革开放以来，西方经济学作为市场经济运行描述的基本理论，对我们经济学学习和研究的作用越来越重要。从学习和研究的角度看，似乎可以明显感觉到，西方经济学的理论体系、思维方式和推理方式的深刻特点之一表现在其数学性方面，也正是这一特征使人们常常把经济学看成是最接近自然科学的社会科学学科。西方经济学从亚当·斯密《国富论》起的二百多年来，已形成了一个庞大而较严密的理论体系。在整个社会科学中，经济学的理论形式、研究方法是公认为最接近自然
浅谈微课制作及在课堂中的运用 临翔区南屏小学马斌 【摘要】：随着信息技术的发展，和移动终端的普及，给我们的生活和学习带来巨大的便利的同时，也改变着学校信息化教学的环境。在目前以学生为主体的教学理念指导下及学生个性化学习需求的刺激下，教师教育教学观念和课堂教学的方式亟待转变，在这一背景下，微课程与微课程教学以其“短、小、精”和使用方便的特点已成为当前课堂教学的热点，逐步受到广大教师的青睐，下面就我对微课在信息技术课堂中的运用谈谈我自己的一点看法。 【关键词】：微课程；信息技术课堂；微课程运用； 【正文】： 随着信息技术的发展，和移动终端的普及，给我们的生活和学习带来巨大的便利的同时，也改变着学校信息化教学的环境。在目前以学生为主体的教学理念指导下及学生个性化学习需求的刺激下，教师教育教学观念和课堂教学的方式亟待转变，在这一背景下，微课程与微课程教学以其“短、小、精”和使用方便的特点已成为当前课堂教学的热点，逐步受到广大教师的青睐，下面就我对微课在信息技术课堂中的运用谈谈我自己的一点看法。 一、微课的概念 （一）什么是微课 微课”是指以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或教学环节而开展的精彩教
与学活动全过程。“微课”的核心组成内容是课堂教学视频（课例片段），同时还包含与该教学主题相关的教学设计、素材课件、教学反思、练习测试及学生反馈、教师点评等辅助性教学资源，它们以一定的组织关系和呈现方式共同“营造”了一个半结构化、主题式的资源单元应用“小环境”。因此，“微课”既有别于传统单一资源类型的教学课例、教学课件、教学设计、教学反思等教学资源，又是在其基础上继承和发展起来的一种新型教学资源。 （二）微课的特点 （1）时间较短：教学视频是微课的核心组成内容。“微课”的时长一般为5—8分钟左右，最长不宜超过10分钟。 （2）教学内容较少：相对于较宽泛的传统课堂，“微课”的问题聚集，主题突出，更适合教师的需要：“微课”主要是为了突出课堂教学中某个学科知识点（如教学中重点、难点、疑点内容）的教学，或是反映课堂中某个教学环节、教学主题的教与学活动，相对于传统一节课要完成的复杂众多的教学内容，“微课”的内容更加精简。 （3）资源容量较小：从大小上来说，“微课”视频及配套辅助资源的总容量一般在几十兆左右，视频格式须是支持网络在线播放的流媒体格式（如rm,wmv,flv等），师生可流畅地在线观摩课例，查看教案、课件等辅助资源；也可灵活方便地将其下载保存到终端设备（如笔记本电脑、手机、MP4等）上实现移动学习、“泛在学习”，非常适合于教师的观摩、评课、反思和研究。
数列的实际应用 一、要点·疑点·考点 1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x 2.产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x 3.单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr) 二、课前热身 1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个，2小时后分裂成8个，3小时后分裂成16个…，按此规律，6小时后细胞的个数是( ) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128 2.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后_______分钟，该病毒占据64MB （1MB=210KB） 3.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( ) (A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元 4.某人到银行存了10000元，利息按单利计算，年利率为5%，则他在10年后的为____元 三、例题分析 1. 等差数列模型 例1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 2. 等比数列模型 例2.某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ （2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3？3. 等差、等比数列综合问题模型 例3. 在一次人才招聘上，有A，B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元； B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问： （1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 4.递推数列模型 例4.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b设an为n 年后该地区森林木材存量。 （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于7/9a, 如果b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需经过几年？ 变式练习：某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元?
《高等数学》知识在经济学中的应用举例 由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量 学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客 观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的 关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。 一、复利与贴现问题 1、复利公式 货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利 息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款 额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。 如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计 息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。 下面推出按福利计息方法的复利公式。 现有本金A0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末A0 将增值到A t，试计算A t。 若以年为一期计算利息： 一年末的本利和为 A 1=A 0（1+r） 2 二年末的本利和为 A 2=A 0（1+r）+A 0（1+r）r= A 0（1+r ） t 类推，t 年末的本利和为A t= A 0（1+r） （1） 若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是r m ，容易推得 r mt A A0(1 ) t m （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算 A t 的复利公式。 若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m ，这时，由于 m r r mt r rt rt lim A (1 ) A lim[(1 ) ] A e 0 0 0 m m m m 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是 rt
《数列在日常经济生活中的应用》（第一课时） 陕西延安中学本节课的课题是《数列在日常经济生活中的应用》，基于“导学式”课堂理念，下面我就从教材、教法、学法等几个方面加以说明。 一、说教材 本节课《数列在日常经济生活中的应用》是北师大版数学必修5中第一章第4节第1课时，是在学生已经系统地学习了两种常用数列的通项公式，前n项和公式的基础上开展的。数列在日常经济生活中有着广泛的应用，如教育贷款、购房贷款、储蓄收益、人口增长等等，帮助学生理解数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力，因此，教材中安排了这一节内容，教材通过日常生活中的实例——存款，建立起等差、等比的数学模型，把数列融于生活，让学生充分的感受数学来源于生活，又服务于生活。 二、说目标 1、了解银行存款的种类及存款计息方式； 2、通过探究“零存整取”、“定期自动转存”日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用； 3、能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，并利用它们解决一些实际问题； 4、了解“教育储蓄”。 三、说重点、难点 重点：用等差或等比数列解决实际问题。 难点：在具体问题情境中，建立等差数列或等比数列这两种数学模型。
四、说教法 遵循“教为主导，学为主体，练为主线”的教育思想，我所采用的教学方法主要是启发、引导、探究法，讲授、讨论相结合，主要通过“自主探究性学习”模式完成新授课的教学任务。 五、说过程 具体的教学过程分为：第一阶段，本节课的相关知识介绍；第二阶段，两种存款模型的探究及练习反馈；第三阶段，延伸拓展，总结提高；最后，归纳小结及作业布置。 第一阶段：自主学习 主要是通过课前预习，让学生初步了解银行的存款方式，存款的计息方法，在教学过程中，通过幻灯片展示储蓄业务的种类，让学生有个简单的了解；通过具体的实例，让他们体会单利和复利计息的计算方式，总结归纳出两种计息方式下的计算公式。 第二阶段：合作探究 探究1：零存整取模型 利用幻灯片，介绍什么叫零存整取 进而通过一道例题，理解巩固，例题选用的是教材P32的例1，在具体的教学实施中，小问题的设置做了一个顺序的调整，考虑到数字与字母他们更容易接受和理解前者，所以把原来的（1）和（2）做了调换，为了方便计算，把数据也做了改动。（1）、（2）、（3）小问题的设置的主要目的在于：由特殊到一般得出公式，再应用公式，最后总结点出用到的数学知识就是等差数列求和。 紧接着：做一道练习题加以巩固。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/474529533.html, 浅谈微课在小学语文教学中的运用 作者：蒋桂冬 来源：《课程教育研究·学法教法研究》2016年第18期 【中图分类号】G623 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）18-00-01 我国的教育教学领域已经涌现出许多以现代信息技术为资源的教学手段。当前微课作为网络发展在教育界出现的一种新事物，它改变了以往陈旧的教学模式，改善了缺乏时代气息与脱离现实生活的教育模式，使学生学得轻松，并且学有所获。笔者结合教学实践，谈谈微课在小学语文教学中的运用。 一、微课的内涵及特点 1.微课的内涵 微课是最近从“翻转课堂”涌现出来的新概念，是指在教学过程中，教师针对教学内容，利用计算机软件通过录播、摄像或者制作PPT等手段编辑出一段时长约为10分钟以内的音频或者视频，有明确教学目标，内容短小，集中说明一个问题的小课程。 微课随着近年来“翻转课堂”和可汗学院迅速走红而成为教育界关注的热点话题，人们发现由于信息技术的普及，人人都有手机的时代已经到来，BYOD（让每个学生自带信息设备来上课）终将成为现实，传统课的结构将会发生变化，教师可以改变自己的教学方式，将自己上课所讲的重点内容（教材的重点、难点、易错点）制作成微视频，让学生自主学习，上课则帮助学生解决不懂的问题，师生互相讨论或给予个性化辅导，形成一种全新的教学方式。 2.微课的特点 首先，微课主要是针对教学内容中的某一个知识点或者某一个教学环节进行的，因此它的主题性和针对性更突出。 其次，微课以视频为主，通过多样化的表现手法和制作方式激发学生学习兴趣，同时在制作过程中，还可以通过穿插图片、文字、音乐等吸引学生注意，使学生思维和意识得到有效集中，达到高效学习的目的。 最后，微课具有短小精悍的特征并且可以存储，只要身边有电脑、移动电话、平板电脑等移动设备就可以随时观看和学习，使用十分方便。 二、微课在小学语文教学中的运用 1.进行课前导入
浅谈微课及其在英语教学中的应用 发表时间：2016-06-14T17:09:51.047Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2016年4月上作者：祝士芹 [导读] 微课的教学效果还不是很显著，而且应用还不是很广泛。 摘要：随着社会的不断发展和进步，在21世纪这个充满竞争的时代，伴随着人民生活节奏的加快，一系列产品更新换代也随之加快，出现了诸如微电影、微博等顺应社会发展的新生事物。而微课便是其中的一种。目前，一部分英语教师将微课带入课堂，此举引起广大教师的极大关注。但就目前而言，微课的教学效果还不是很显著，而且应用还不是很广泛。但是，它作为一种新生事物有其传统教学手段所无法取代和相媲美的价值。本文旨在研究微课的历史发展和特点以及它在英语教学中的应用。 关键词：微课；英语教学；实效性 一、微课的历史 微课(Micro lecture)，又称微课程，最早可追溯到1993年美国Le Roy A. McGrew提出的60秒课程(60-SecondCourse)和1995年英国T.P.Kee提出的一分钟演讲(The One Minute Lecture，简称OML)。2010年，广东佛山胡铁生率先将Microlecture引入国内并译为“微课”，随后国内掀起了一股“微热潮”。微课以视频为载体，能够以动画的形式充分整合声音、图像和文字，同时包含教学设计、教学课件、练习测试等辅助性教与学的内容，能够强化学习情境的真实性，实现语义的相互关联。随着“中国微课大赛”等各类微课比赛的开展，各中学以此为契机积极开展微课建设，微课建设在国内教育领域蔚然成风。值得注意的是，目前国内无论是学者、一线教师还是微课大赛组织者均未对微课的概念形成共识，而对英语微课的本质与内涵也少有论及。 二、微课——新型的教育资源 1.微课的概念 “微课”又名“微型课程”，是指基于教学设计思想，以多媒体为主要载体，在5到15分钟内记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点或教学环节而展开的一系列模拟一对一教学情景的教与学活动的视音频全过程。“微课”的核心组成部分是课堂教学视频(课例片段)，内容包含与该教学主题相关的教学设计、考点归纳、题型精讲、方法传授、教师点评、教学经验等方面的教学资源，“微课”有别于单一的传统教学资源，是在其基础上继承和发展起来的一种新型的“小环境”教学资源。 2.微课的特点 (1)教学时间短 教学视频是微课的核心组成内容。“微课”的时长一般为5～8分钟左右，最长不宜超过10分钟。因此，相对于传统的40或45分钟的一节课的教学课例来说，“微课”可以称之为“课例片段”或“微课例”。 (2)教学内容少而精 相对于传统课堂，“微课”主题突出。它主要是为了突出课堂教学中某个知识点(如教学重点、难点、疑点)的教学，或是反映课堂教学某个教学环节、教学主题的教与学活动，相对于传统的一节“一对多”课堂教学要完成那么复杂众多的教学内容来看，“微课”的内容更加精简，侧重教师的教，更注重学习者的学，因此，又称为“微课堂”。 (3)资源迁移便捷 “微课”视频以及配套辅助资源容量一般在几十兆左右，师生可流畅地在线观摩课例，也可灵活方便地将其下载保存到终端设备(如笔记本电脑、手机、MP4等)实现移动再学习。 (4)资源结构“情景化” 它以教学视频为主线，利用多媒体将图、文、声、像融为一体，使教与学的活动变得丰富多彩，学生可以在这种真实、活泼、典型的课例情景中能够快乐高效地学习和体验，利于培养学生的兴趣，实现知识和能力的快速迁移和提升。就学校教育而言，微课不仅成为教师和学生的重要教育资源，而且也构成了学校教育教学模式改革的基础。 (5)草根研究、趣味创作 正因为微课程内容微小，所以，人人都可成为微课的研发者；也正因为课程的使用对象是教师和学生，所以课程研发的目标是将教学内容、目标、手段紧密联系起来，是“为了教学、在教中学；而不是去验证理论”。所以，决定了研发内容的一定是教师自己熟悉，感兴趣，有能力解决的问题。同时也有助于提高教师的信息整合能力和使用现代化教学手段的能力。 3.微课的制作方法 (1)摄像 针对微课主题，进行详细的教学设计，形成教案；利用黑板或白纸展开教学过程，利用便携式录像机(或手机)将整个过程拍摄下来，对视频进行简单的后期制作。 (2)录屏软件录制 针对选定的教学主题，搜集教学和媒体素材，制作PPT；在计算机中安装录屏软件(如Camtasia Studio或Cyberlink YouCam)；在电脑屏幕上同时打开视频录像软件和教学PPT(Word、画图工具软件或手写板输入软件等)，执教者带好耳麦，调整好话筒的位置和音量，并调整好PPT界面和录屏界面的位置后，单击“录制桌面”按钮，开始录制，执教者一边演示一边讲解，可以配合标记工具或其他多媒体软件或素材，尽量使教学过程生动有趣；对录制完成后的教学视频进行必要的编辑和美化。 三、微课在英语教学中的应用 微课以其时间短，主题突出、内容具体，实施方便，运用灵活等特点很快被应用到教学实践中。微课的应用，改变了传统课堂教学呆板的教学氛围，将枯燥的课堂赋予了活力，利于激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效率，具体体现在以下几个方面： 1.复习旧课 英语语言知识的学习，需要学生反复操练和复习所学过的知识。英语每堂课都需要学生掌握大量的词汇、语法和句型；课堂教学中的45分钟对于学困生是远远不够的，而学困生的自主学习能力又比较差，因此，教师可以针对每堂课的教学，设计几段微课视频，让这些学生利用课余时间观看，确保课程内容的理解和掌握。同时，也大大地节省了课堂时间，更多的时间用于课堂交流和互动，从而达到复习巩
数列在日常经济生活中的应用 一、教学目标 1．知识与技能：（1）掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用；（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；（3）体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题；（4）了解“教育储蓄”. 2．过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受等差数列的广泛应用. 3．情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心. 二、教学重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”，并用于解决实际问题；难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”与“定期自动转存模型”； 关键：结合例题，分析弄清“零存整取”与“定期自动转存”的储蓄方式.“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列；“定期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金. 三、教法与学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标. 四、教学过程： 1.创设情境：①温故知新：等差数列；等比数列；定义；通项公式；前n项和公式 ②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关. 师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？ 2.探索新知： （1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄） ③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款
浅谈“微课”的内涵及应用 【摘要】随着现代信息科学技术的不断发展，一种新型的教学模式—“微课”开始走进学生的生活，“微课”以其潜在的优势在学生的学习生活中发挥了积极作用。本文重点论述了“微课”的概念、特点，结合《山居秋暝》这首古诗来探讨了“微课”应该如何巧妙的进行教学设计，进一步分析了“微课”在当今教育改革洪流中的推动作用。 【关键词】微课内涵特点应用教学设计积极作用 现代社会已步入知识经济时代，文化越来越成为综合国力中的重要组成部分，同时随着社会生活节奏的加快，如何在“信息爆炸”的时代短时间内掌握大量知识信息成为每个人都关注的话题。人们越来越倾向于接受简单、快捷、高速的学习方式和生活方式，由此引来了“微时代”的到来。继“微信”、“微博”等社交媒体的兴起，“微课”作为一种新型的学习途径改变了学生的常规学习方式和学习模式，作为一种新型的教学手段引起了教育界的广泛关注，成为教育工作者研究的重点。 一、“微课”的内涵 （一）“微课”的概念
“微课”在中国的最早提出者是佛山市教育局的胡铁生先生。他认为，“微课”是以教学视频为主要载体，反映教师在课堂教学中针对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的新型教学资源。【1】“微课”是一种区别于传统课堂的有特色的新型教学模式，它不是简单的传统课堂的浓缩，不是传统课堂的删减版，也不是压缩版，更不是课堂教学的片段，而是内容充实丰富的微课例，类似于片段教学。“微课”的课程时长一般控制在10分钟左右，以教师教授为主，引导学生发现问题、分析问题、最终解决问题。从课程内容来分主要有课前复习类、新课导入类、知识理解类、练习巩固类、小结拓展类。从课程性质来分主要有说课类、班会课、实践课、活动课类等几大类。 （二）“微课”的特点 “微课”最大的特点便是“麻雀虽小，五脏俱全”。从具体方面来分析，“微课”具有以下几大特点： 1.时间短。“微课”顾名思义就是微型课堂，因此它不同于传统的45分钟课堂，而是以浓缩精华著称。将教学内容在短时间内高质量完成，引导学生有效率的学习。 2.内容精。由于课程时长短，要求“微课”必须集中于教学难点或者教学疑点进行针对性的教学，因此教师在教学内容的选择上就必须慎重考虑，选择学生平时有疑问、很难掌握的部分进行“微课”教学。它不同于“网易公开课”等网络学习课程的课堂实录模式，而是针对性的选点帮助学生针对性的学习，真正意义上的解决学生学习中的疑难问题。
导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ?+0，则： x x c x x c ?-?+)()(00 称为c(x)在)(00x x x ?+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ?+，内的平均变化率。 而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： x x x c 30135000)(++= 其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： （元） 1080040030400135000)(400=?+?+==x x c 吨）（元/27400 10800) (400== =x x x c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ?=50吨时，相应地总成本增加量为： 4.686108004.11468)400()450()(=-=-=?c c x c 728.13504.686)()(500 400 ==??+=??=?=x x x x x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ?=1时，总成本的变化为：
§1.4数列在日常经济生活中的应用 一、教学目标 1. 知识与技能：（1）掌握等差、等比数列的左义、通项公式、前n项和公式及其应用：（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；（3）体会“零存整取”、“宦期自动转存”等日常经济生活中的实际问题：（4）了解"教冇储蓄”. 2. 过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款汁息问题，感受等差数列的广泛应用. 3. 情感态度与价值观:通过本丹的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、 等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调査学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提髙学生学习数学新知识的兴趣和信心. 二、教学重点：建立“零存整取模型”、“泄期自动转存模型”，并用于解决实际问题；难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型” 与“泄期自动转存模型”； 关键：结合例题，分析弄淸“零存整取”与“沱期自动转存”的储蓄方式?“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列："泄期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金. 三、教法与学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括, 发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标. 四、教学过程： 1. 创设情境： ①温故知新：等差数列：等比数列；泄义；通项公式；前n项和公式 ②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型?例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关. 师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？ 2. 探索新知： （1）储蓄业务种类①活期储蓄②泄期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取左期储蓄、存本取息左期储蓄、左活两便储蓄） ③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款
数学统计方法在经济学中的应用 数学统计方法在经济学中的应用开题报告/html/lunwenzhidao/kaitibaogao/ 数学这门理论性学科具有高度的抽象性，它作为一种应用性工具被广泛的运用于工程学、机械学、经济学等众多领域。通过在经济学中的大量实践应用可知，经济问题的中的定性分析与定量分析都可以运用数学方法来进行统计。对于现代企业来讲，任何一项运行决策的制定、实施、评价都离要使用数学统计方法对决策的经济效益中的各项指标进行评估，例如企业生产过程中所涉及到原材料的使用，产品销售过程中的价格控制，经济效益评估时的利润计算等。当代经济学家认为，经济领域一些现实的问题的解决，都要通过先将经济学中的变量提取出来，从而建立经济模型，再通过数学方法进行统计与运算，结合经济原则和理论，对决策进行预测与评估。 一、数学统计方法应用于现代经济中的意义 数学统计方法应本文由毕业论文网收集整理用于经济学中，尤其是应用于现代企业的各项经济指标预测与评估中，对企业的决策的成功与失败，决策的调整与改革都有着重要的影响。因此，将数学统计方法应用于经济学中，有着很强烈的现实意义。 1.经济学问题的解决离不开数学统计方法的运用 经济学问题的分析与解决需要精确、客观、科学，而数学统计方法的最重要特点就在于它分析过程的严谨精密，分析结果的清晰准确。数学方法应用于经济学领域中，最早可以追溯到古经济学中代数式的
应用，时至今日，数学与经济学相结合，衍生出了数理经济学、经济计量学以及产权经济学等数门专业化理论，经济学中的数学统计方法已经无处不在。将数学方法运用于经济问题的解决中，一般要经历“经济—数学——经济”的模式，既从需要解决的现实经济问题入手，建立数学模型进行，运用数学方法对数学模型进行分析，求得数学结果，再结合经济理论与经济学原理对结果进行评估，得出结论，用于指导经济活动的进行。 2.现代企业经济决策的制定离不开数学统计方法 数学在经济学中的大量运用，使人们对经济活动评估的要求由定性分析发展到定量分析，特别在现代企业在制定决策时，它们都希望通过数学方法来精确的分析决策对企业发展产生的意义。数学方法在现代企业经济决策中的运用，是为了提高经济决策的可靠性与科学性，避免企业财力、物力的损失，通过数学方法对决策执行后的结果进行预测，使企业的发展处于自身可以控制的情况下。一个简单的数学方法就可以将经济决策中的各项因子之间的关系简单的明了的表现出来，各个经济变量之间的关系也能一目了然，经济决策的制定是否可靠的结论就可以得出。作文/zuowen/ 3.数学统计方法是经济理论分析最重要工具之一 数学统计方法是经济学理论分析的最重要工具之一，从最早的代数运用，再到数理经济学中，各种深奥的数学问题中的大量的运用的运用，现代统计经济学中，繁杂数据的中指标的得出，再代现代数学与现代经济理论相结合，产生的特有的专门运用数学方法来解释经济
《数列的应用举例》 一、知识与技能 1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用； 2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识； 二、教学重点难点 重点：抓住分期付款问题的本质分析问题； 难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。 三、过程与方法 通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 四、情感态度与价值观 通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。 五、实验与教具 多媒体 六、教学过程 创设情境 题型一、等差数列模型（单利问题） 例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？ 解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U： 第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%， 第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%， 第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%， 以此类推： 第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4% ???各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列 ???10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008） 298080 （元）2 购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元） 答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。 题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题 题型二、等比数列模型（复利问题） 例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为
浅谈微课与翻转课堂 摘要：微课与翻转课堂是最近几年兴起的教学方法，那么这两种教学方法对实际教学有什么样的促进和提高，以及如何设计和制作，通过对我区参赛作品的分析和实际使用中的效果我们一起来探讨一下。 关键词：微课翻转课堂慕课 微课与翻转课堂是最近几年兴起的教学方法，那么这两种教学方法对实际教学有什么样的促进和提高，以及如何设计和制作，通过对我区参赛作品的分析和实际使用中的效果我们一起来探讨一下。 首先：“微课”是 2012 年以来国内兴起的一种网络视频短课形式，按教育部全国高校教育网络培训中心的定义就是：以 10-20 分钟视频为主要载体，记录教师围绕某个知识点或教学环节开展的简短、完整的教学活动。[1] 在我区对教师培训翻转课堂时，根据教学论的系统观，我们建议“微课”的录制时间在10分钟以内，有明确的教学目标，内容短小，集中说明一个问题的小课程。这段“微视频”需要与学习单、学生的学习活动流程等结合起来，才是一个完整的“微课”；如果离开了学生的学习活动，仅仅是录制的一段教师上课讲授活动的内容，实质是一段视频记录的课堂教学实录，可以作为一段学习材料，没有形成“微课”的系统。因此，有关“微课程”的评价标准，需要包括教师讲授教学内容的微视频，还要包括学习单和学生学
习活动的安排。 为什么“微课程”的视频时间要在10分钟以内？这是根据国外可汗课程的统计和脑科学的研究，一般人的注意力集中的有效时间在10分钟左右。我们在各地培训教师设计微课的实践也发现，其实，微课的时间一般在3~5分钟为佳，超过6分钟，人们观看视频就感觉有些冗长。需要特别说明的是，微课主要使用“微视频”作为记录教师教授知识技能的媒体，教师还可以根据不同学科和不同教学情境的需求，采用其他方式，如音频（录音）、PPT、文本等格式的媒体，不一定局限在视频格式。 微课类型分五类：解题型、讲授型、实验型、答疑型、其他类型。教师可以根据教学目的进行对应的微课制作。 近几年我国多个省市组织过微课大赛，各类学科俱备。通过观摩各类型的视频课程后，发现微课的优点：其一，符合近期的认知心理学调查结果，即通过视频自习的学习者保持注意力的时间大约在 10 分钟左右；其二，视频时间短、储存容量小，易于网络传播。 “微课”就是“传统”课程录像的浓缩或片段。那么除了便于展示交流外，微课的价值何在？在查阅了一些相关背景资料后，笔者渐渐对微课的价值有了更深入的理解，它不仅仅是方便交流，与翻转课堂结合后更是对传统课堂模式的一种变革尝试。近期耳熟的“翻转课堂”则与近年联合国教科文组织倡导的开放教育运动，以及后续一脉相承的大规模开放网络课程运动关系密切，所以微课的内涵远不止教学交流那么简单。
数列的实际应用举例 清远工贸职业技术学校 班级：13春工学计机3班 蔡健星 【学习目标】 1．掌握以数列知识为数学本质的实际应用问题，涉及增长率问题、复利计算问题等． 2．培养学生用数列知识解决实际问题的能力,提高学生对数学的学习兴趣． 一、复习 1、本单元我们学习了两种数列，分别是：等差数列和等比数列 例如：1,3,5,7,9… 2,5,8,11,14… 2,4,8,16，32… 1,3,9,27,81… 2、两种数列共有八条公式，分别是： 等差数列 等比数列 通项公式： 中项公式： 求和公式： 二、新课讲授 1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数是（ ） A.9 B.10 C.19 D.20 【解析】设堆成n 层，由题意得1＋2＋3＋…＋n ≤200，即n(n ＋1)≤400成立的最大正整数n 代入检验知n ＝19 2．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） A.1997 B.1999 C.2001 D.2003 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a 2b a A +=ab G ±=2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+=q q a S n n --=1)1(1q q a a S n n --=11
【解析】设出第四册的年份为x 由题意得(x －6)＋(x －4)＋(x －2)＋x ＋(x ＋2)＋(x ＋4)＋(x ＋6)＝13979 即7x ＝13979，∴x ＝1997 ∴x ＋6＝2003 3．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是 m ． 【解析】从山脚到山顶温度降低了26 ℃－14.8 ℃＝11.2 ℃ 而每降0.7 ℃，升高100米 11.2 / 0.7 =16 ∴共升高16×100=1600 m ． 4、某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( ) A. B. C. D. 【解析】一次砍伐后木材的存量为：S(1＋25%)－x 二次砍伐后木材存量为［S(1＋25%)－x ］(1＋25%)－x 由题意知%)501(45)45(2+=--S x x S 解得x ＝36S 5、银行有一种储蓄业务叫做零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期可以取出全部本利和。若某人每月初存入100元，月利率为0.3%，问到第12个月末整取时本利和时多少？ 【分析】本利=本金+利息。第1个月计利12个月，到期本利时100+100×0.3%×12， 第2个月计利11个月，到期本利时100+100×0.3%×11，… 第12个月计利1个月，到期本利时100+100×0.3%×1， 由此可知，每月存入的100元到期本利构成一个等差数列，其和就是所求的1232S 34S 36S 38S