上讲回顾晶格振动的色散关系-FudanUniversity

温度较低: 热运动较弱——在平衡位置附近微振动,平衡位
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。

一维原子链第一布里渊区内的色散关系：
4
m
sin
qa 2
q
在长波长极限区，即 q 0 时，格波就是弹性波。 qa qa sin Y 2 2 和弹性波的结果一致。 vs aq m
a
m a
随着 q的增长，ω 数值逐渐偏离线性关系，变得平缓， 在布里渊区边界，格波频率达到极大值。
运动方程： 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n
n 2
n1
n
n1
n 2
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生 相对位移（例如 n1 n ）后势能发生变化是V(a+δ) ， 将它在平衡位置附近做泰勒展开：
解的物理意义： 格波
整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。
2 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 的 q
nq Ae
i t naq
2 如： ma na l ,(m, n, l 都是整数）。 q 有： um A exp i t maq A exp i t naq exp(i 2 l )
由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一 种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与 连续介质弹性波的重大区别。
由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息， 为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。
见Kittel P70 图
周期性边界条件（Born－Karman 边界条件）
上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界 条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结 果呢？ Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题， 成为固体理论的一个典范。

一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。

在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。

通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。

下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。

假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。

原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。

这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。

第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。

假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。

第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。

将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。

声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。

第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。

具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。

从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。

ω 4β m
sin
qa 2
q
在长波长极限区，即 q → 0 时，格波就是弹性波。 qa qa sin ≈ Y 2 2 和弹性波的结果一致。 vs = = ρ β ω= aq m
βa m a
随着 q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓， 在布里渊区边界，格波频率达到极大值。
π q→± a
相速和群速：
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学 习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文， 理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并 与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英 国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版） 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动 长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化 激元”概念的最早阐述者 。
ω → ωmax =
4β m
相速度 v p是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的 距离。群速度
vq 是平均频率为ω，平均波矢为q
dω vq = dq
的波包的
传播速度，它是合成波能量和动量的传播速度。
ω vp = λ ⋅ f = q
在
q → 0 的长波极限下： v p
= vq = vs
即声速。
π 在布里渊区边界处： q = ± , λ = 2a, vq = 0 a
Na L ρ (q) = = 2π 2π