江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题

江西省赣州市2017-2018学年高三3月联合考试理科数学试题1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一. 选择题:本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数21iZ i-=+的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i ＝（ ） A.6 B.7 C.8 D.93.设集合},12|{},12|{A x y y B xx A x ∈-==>=， 则()R A C B ⋂等于（ ） A.)2,3(B. )2,3[C. )3,0(D. )2,0(4.函数2sin y x =的图像的一个对称中心为（ ） A. (0,0) B. (,0)4πC. 1(,)42π D. (,1)2π5. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A.314B.4C.310D.36、在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.1 193B.1 359C.2 718D.3 4132(,)2X X X μσμσμσμσμσ<<+<<+ 附：若，则P(-)=0.6826P(-2)=0.95447.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若16111611,7a a a b b b π⋅⋅=++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是( )A.1B. 22 C . 22-D. 8.已知实数y x ,满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是（ ）A.13B. 1 C . 3 D. 9 9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若cos 2B ＋cos B ＝ 1－cos A cosC 则（ ）A 、a ，b ，c 成等差数列B 、a ，b ，c 成等比数列C 、a ，2b ，3c 成等差数列D 、a ，2b ，3c 成等比数列10.某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ）A.11112620332210C C C C C ⋅⋅- B. 111121264126332210C C C C C C C ⋅⋅+⋅- C. 11122112646126332210()C C C C C C C C ⋅⋅++⋅- D. 333221016332210C C C C C --- 11.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ,则双曲线的离心率是( )12.已知()||x f x x e =⋅，又=)(x g )2()()10f x tf x t R ++=∈()2()()10f x tf x t R ++=∈，若满足1)(-=x g 的x 有四个，则t 的取值范围为( )A ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ B ．21(,)e e ++∞ C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题共90分，其中22-24题三选一）二．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设204sin n xdx π=⎰，则n xx x x )2)(2(-+的展开式中各项系数和为_________.14.正ABC ∆中，AB 在BC方向上的投影为1-，且2AD DC = ,则BD AC ⋅= ________.15.已知P,A,B,C 是球O 球面上的四点，ABC ∆是正三角形，三棱锥ABC P -的体积为439，且︒=∠=∠=∠30CPO BPO APO ,则球O 的表面积为______________.16、下列说法中所有正确的序号是________①、""""p q p q ∧∨为真的一个必要不充分条件是为真. ②、若11:0,:0.p p x x>⌝≤则③、1,1, 1.2a b a b =≤+≤若实数则④、数列*22{}()(21)n n n N ∈+的最大项为2.9三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．（1（218. （本小题满分12分）已知正方形CD AB 的边长为2，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、C B 、CD 、D A 的中点．（1）在正方形CD AB 内部随机取一点P ，求满足1PE <的概率；（2）从A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE ．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，过1AC 作平面1ACD 平行于1BC ，交AB 于D 点，（Ⅰ）求证：CD AB ⊥（Ⅱ）若四边形11BCC B 是正方形，且1A D 1A D 与平面11CBBC 所成角的正弦值。

2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．56．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．459．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．811．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．12812．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=______．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=______．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为______．16．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】分别解不等式，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}=[﹣1，2]，∵lg（x+1）＜1=lg10，∴﹣1＜x＜9，∴B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=1+i代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：∵复数z=1+i，∴===2，故选：A．3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】对照选项，可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==2，一个焦点（c，0）到一条渐近线y=x的距离为1，可得=b=1，又c2=a2+1，解得a=，即有双曲线的方程为﹣y2=1．故选：A．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】数列的求和．【分析】通过在a m+n=a m•a n中令m=1，结合a1=2数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论．【解答】解：∵对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，∴对任意nN*，都有a n+1=a1•a n，又∵a1=2，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴S n==2（2n﹣1），∴==5，故选：D．6．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据条件若事件A发生的概率P（A）=1，则等价为面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域即可．【解答】解：若满足事件A发生的概率P（A）=1，则2x﹣y≥1对应的平面区域在平面区域E内，A．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．B．平面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域，满足条件．C平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．D．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．故选：B7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】定积分．【分析】先根据图象求出f（x）的表达式，在分段求出定积分．【解答】解：当0≤x≤1，f（x）=x﹣1，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，则dx=（x+1）（x﹣1）dx+（x+1）（﹣x﹣1）dx=（x2﹣1）dx﹣（x2+2x+1）dx=（）|﹣（）|=﹣1+（﹣+1﹣1）=﹣1，故选：D．8．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．45【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据甲，可以分两类，第一类，甲在10月5日值班，第二类，甲不在10月5日值班，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：第一类，甲在10月5日值班，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有A42=12种，第二类，甲不在10月5日值班，则甲再10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3=27种，根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，故选：B．9．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，设出底面三角形的外心G，找出三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求．【解答】解：如图，取BC中点为E，连接AE，∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF==，又在Rt△AFG中，得，过G作PA的平行线与PA的中垂线HO交于O，则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，即R=OA，由4πR2=8π，得R=，∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG，在Rt△AGO中，求得OG=，∴三棱锥P﹣ABC的高PA=2OG=，则三棱锥的体积为V=．故选：B．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，由|AF|=3|FB|，可得x A+2=3（x B+2），再利用根与系数的关系可得k，即可得出．【解答】解：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），联立，化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x A+x B=，x A x B=4．∵|AF|=3|FB|，∴x A+2=3（x B+2），联立解得：k=．∴P．∴|PF|==8．故选：D．11．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．12．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=1对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3的对称轴为x=1，∴由f（x2﹣2x+3）=g（x）得g（x）关于x=1对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有5个根，则其中一个根x=1，其余四个根两两关于x=1对称，则关于对称的根分别为x1，和x2，x3和x4，则，，则x1+x2=2，x3+x4=2，则这5个根之和为2+2+1=5，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据图形，，而，且，这样即可求出的值，即得出的值．【解答】解：==2•2cos120°=﹣2．故答案为：﹣2．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ为第二象限角，若＞0，∴θ+为第三象限角，由=，sin（θ+）＜0，cos（θ+）＜0， +=1，求得sin（θ+）=﹣，则sinθ+cosθ=2sin（θ+）=﹣，故答案为：﹣．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．【考点】线性回归方程．【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx2﹣的方程，即y1=b﹣，y2=b﹣，…，y6=b﹣，∴y1+y2+…+y6=b（++…+）﹣×6；又y i=13，x i2=21，∴13=b×21﹣6×，解得b=．故答案为：．16．在等差数列{a n }中，首项a 1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 200 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185，从而求得． 【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a 中，故a 中=20（舍去）；故设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9， 其中（0＜m ＜9，m ∈N *）故10a n +×2﹣a m+n =185，即10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185， 故m=9n ﹣43， 故n=5，m=2； 故10×a 5+×2=110+90=200；故答案为：200．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0． （Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若a=，AB 边上的中线CM=，求sinB 及△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，由sinA ≠0，可得tanC=2，利用同角三角函数基本关系式即可求cosC 的值． （Ⅱ）由，两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b ，由余弦定理可解得c 的值，即可求得sinB ，利用三角形面积公式即可求△ABC 的面积． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）因为cosB=﹣cos （A +C ）=﹣cosAcosC +sinAsinC ，… 又已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0， 所以sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，…因为sinA ≠0，所以sinC ﹣2cosC=0，… 于是tanC=2，…所以．…（Ⅱ）因为，…两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b=1，…在△ABC 中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4，所以c=2，…由此可知△ABC 是直角三角形，故，…可得：△ABC 的面积．…18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图，利用茎叶图能求出结果．（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图：由茎叶图得到：（1）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度．（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度）．（2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定）．（3）甲品种树苗的高度的中位数为27mm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5mm．（4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀．（注：以上四点答对任意两点均给分）…（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，，，，…EX==．…19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出△A1AB和△A1AD均为正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A1BD⊥平面A1AC．（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D…设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD…又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC…而BD⊂平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC…解：（Ⅱ）由A1B=A1D及，知A1B⊥A1D…又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°…于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD得A1O⊥底面ABCD…如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），，…设平面B1BD的一个法向量为，由得，令x=1，得…平面A1BD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，则…解得θ=45°，故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．…20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C 的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c ，代入椭圆方程得…设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，…设M （x 0，y 0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立． 故不存在点M ，使成立…21．设函数f （x ）=e x +ln （x +1）﹣ax ．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=2时，f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），，记，则，分类讨论，即可证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x ）在（0，+∞）上递增，分类讨论，利用当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），…记，则当x ＞0时，e x ＞1，，此时g'（x ）＞0…当x ＜0时，e x ＜1，，此时g'（x ＜0…所以f'（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…故f'（x）≥f'（0）=0，从而f（x）在（﹣1，+∞）上递增…（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2﹣a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…当a＞2时，记φ（x）=f（x）﹣cosx，则记，则当x＞1时，…显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…又φ'（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得φ'（x0）=0…所以φ（x）在（0，x0）上递减，所以当x∈（0，x0）时，φ（x）＜φ（x0）=0，即f（x）＜cosx，不符合题意…综上，实数a的取值范围是a≤2…请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C2，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）=4，故C3的直角坐标方程为x+y=4；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以=，解得．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．（2）根据+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．∴a、b为正实数，且+=2≥2（a=b时等号成立）．即ab（a=b时等号成立）∵a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）．∴a2+b2的最小值为1，（2）∵且+=2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b为正实数，∴ab=12017-2018学年9月16日。

2017届高三年级全真模拟数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}3,2,1,0=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=1,，则集合B 的元素的个数为 （ ）A . 1B . 2C . 3D . 4 2、给出下列ss ，其中正确的ss 是（ ） A ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数 B ．若1z 、2z C ∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是．．（ ）4．如图所示是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列2*4{}()n n N n+∈的项，则所得y 值的最小值为（ ）A ．4B ．9C ．16D ．205．已知数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰-=+202201520134，则)2(2016201420122014a a a a ++的值为（ ）A . 2πB . π2C . πD . 24π 6、要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）A ．42105615C C CB ．33105615C C CC ．615616A AD ．42105615A A A7．二项式n xi x )(2-展开式中的第三项与第五项的系数之比为143-，其中i 为虚数单位，则展开式的常数项为（ ） A . 72 B . i 72- C .45 D .i 45-8.若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x ≥，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是 （ ）A ．()1x f x e =-B ．()ln(1)f x x =+C ．()sin f x x =D ．()tan f x x =9．ABC ∆中，,A B 为锐角，,,a b c 为其三边长，如果sin sin a A b B c +=，则C ∠的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9010.美不胜收的“双勾函数” 1y x x=+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y x =，其离心率e=（ ） A ．2 B ．224- C ． 3 D ． 21+二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上)11．如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则∙的最大值为 ．12．若直线10(0,0)ax by a b +-=>>过曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心，则12a b+的最小值为13．给出以下四个ss ，其中所有正确ss 的序号为：________________． （1）“2b ac =”是“a b c 实数、、成等比数列”的必要而不充分条件；（2）已知线性回归方程32y x =+，当变量x 增加2个单位，其预报值 y 平均增加4个单位； （3）函数()12xxf x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(1,1)-上只有1个零点；（4）ss “若2320x x -+=，则1x =”的逆否ss 为“若1x ≠，则2320x x -+=”； （5）设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 等于314.已知,x y R∈且430x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,则存在Rθ∈,使得(4)cos sin0x yθθ-+=的概率为15.（考生注意：请从中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分）（1）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为4cos,(2sinxyϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）。

8．执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）9．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则213b a+的最小值为（ ）A ．233B ．33C ．2D ．110．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么z 42x y-=g 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1411．已知偶函数π()2f x +，当ππ(,)22x ∈-时，13()sin f x x x =+．设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．已知ABC △中，a b c ,,分别为角A B C ,,所对的边，且4a =，5b c +=，tan tan 33A B ++=tan tan A B g ，则ABC △的面积为（ ）A ．32B ．33C ．332D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中相应的横线上．） 13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知，，则7S =________．14．直线y x =与函数22,()42,x mf x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图像恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是________．15．设F 为抛物线214y x =-的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴交于点Q ，则PQF ∠=________．16．如右图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n n b S =，且3312a b =，5321S S +=，记23a =611a =i i1nnT b==∑，求n T ．18．如图，在ABC △中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，2BC BE =． （1）用向量AB u u u r 、AC uuu r 表示DE u u u r；（2）设6AB =，4AC =，60A =︒，求线段DE 的长．19．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ο∠=，BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC EA ∥，4AC =，3EA =，1FC =．（1）证明：EM BF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =．（1）求实数a b 、间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．。