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太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。
山西省 2020 版高考数学一模试卷（理科）A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2018 高一上·长安月考) 若 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）⑴若⑵若⑶若A. 个B. 个C. 个D. 个2. （2 分） 设平面区域 是由直线目标函数的最大值为（ ）和 所围成的三角形（含边界与内部）．若点，则A.B.C.D.3. （2 分） (2017·银川模拟) 知如图所示的程序框图的输入值 x∈[﹣1，4]，则输出 y 值的取值范围是（ ）第 1 页 共 14 页A . [0，2] B . [﹣1，2] C . [﹣1，15] D . [2，15] 4. （2 分） 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这 个几何体的全面积为（ ）A.B.C.D.5. （2 分） “直线 y＝x＋b 与圆 x2＋y2＝1 相交”是“0＜b＜1”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件第 2 页 共 14 页6. （2 分） 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 、 ， 若曲线 上存在点 满足：2，则曲线 的离心率等于（ ）：=4：3：A. 或B . 或2 C . 或2 D. 或 7. （2 分） 已知非零向量 ， 满足| |=1，且 与 ﹣ 的夹角为 30°，则| |的取值范围是（ ）A . （0， ）B . [ ， 1） C . [1，+∞）D . [ ， +∞） 8. （2 分） 设函数 f（x）=﹣x3+bx（b 为常数），若方程 f（x）=0 的根都在区间[﹣2，2]内，且函数 f（x） 在区间（0，1）上单调递增，则 b 的取值范围是（ ） A . [3，+∞） B . （3，4] C . [3，4] D . （﹣∞，4]二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9. （1 分） (2020 高二下·东台期中) 复数 满足（i 是虚数单位），则________.10. （1 分） (2016 高三上·宜春期中) 已知 a= cosxdx，则 x（x﹣ ）7 的展开式中的常数项是第 3 页 共 14 页________．（用数字作答）11. （1 分） (2017 高一下·静海期末) 在△ABC 中若 a=2，b=2 ，A=30°，则 B 等于________．12. （1 分） (2016 高二上·株洲开学考) 在极坐标系中，点（2， 的距离为________．）到直线 ρ（cosθ+sinθ）=613. （1 分） (2016 高二上·成都期中) 命题 P：将函数 sin2x 的图象向右平移 个单位得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象；命题 Q：函数 y=sin（x+ ）cos（ Q”“非 P”为真命题的个数是________个．﹣x）的最小正周期是 π，则复合命题“P 或 Q”“P 且14. （1 分） (2017 高二下·淮安期末) 函数 f（x）=lnx﹣x 的单调递增区间为________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)15. （10 分） (2016·绵阳模拟) 已知函数．（1） 求函数 f（x）的最小正周期和单调减区间；（2） 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 a=7，若锐角 A 满足，且，求△ABC 的面积．16. （5 分） (2019·龙岩模拟) 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 （ ）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 次；（2）混合检验，将其中 （且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这 份的血液全为阴性，因而这 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 份再逐份检验，此时这 份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．（Ⅰ）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 4 次检验就能把阳 性样本全部检验出来的概率．（Ⅱ）现取其中 （且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为第 4 页 共 14 页（ⅰ）试运用概率统计的知识，若，试求 关于 的函数关系式；（ⅱ）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 的最大值．参考数据：，，，，17. （10 分） (2019·肇庆模拟) 如图，在四棱锥中，底面是菱形，.（1） 证明：；（2） 若面面，，18. （10 分） (2019·郓城模拟) 设数列 满足（1） 求 的通项公式；，，求 到平面的距离.．（2） 求数列的前 项和 ．19. （10 分） (2019·海南月考) 设函数，，其中 为实数.（1） 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求 的取值范围；（2） 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.20. （10 分） (2018·雅安模拟) 已知椭圆 ：过点，且离心率为.第 5 页 共 14 页（1） 求椭圆 的方程；（2） 过的直线 交椭圆 于 ， 两点，判断点关系，并说明理由.与以线段 为直径的圆的位置第 6 页 共 14 页一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)参考答案第 7 页 共 14 页15-1、 15-2、第 8 页 共 14 页16-1、17-1、第 9 页 共 14 页17-2、 18-1、第 10 页 共 14 页18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A. {1，2}B. （1，2]C. {0，1，2}D. （0，2]2.已知复数z满足（2+i）z=5（i为虚数单位），则z=（）A. -2-iB. 1-2iC. 2-iD. 1+2i3.下列命题中的真命题是（）A. 若＜0，则向量与的夹角为钝角B. 若am2≥bm2，则a≥bC. 若命题“p∨q是真命题”，则命题“p∧q是真命题”D. 命题“∃x0∈R，2”的否定是“∀x∈R，2x≥x2”4.已知tanα=2，α∈（0，π），则=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）=x lnx+a在x=e处的切线经过原点，则实数f（1）=（）A. eB.C. 1D. 06.已知{a n}为等比数列，a5+a8=2，a6•a7=-8，则a2+a11=（）A. 5B. 7C. -7D. -57.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A. 12B. 15C.D.8.在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x-2）cosα+y sinα-=0的概率为（）A. 1-B.C.D. 1-9.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n-（-1）n a n=2n-6+，（n∈N*）则S100=（）A. 196B. 200C. 194+D. 198+10.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，斜率为2直线过点F1双曲线C第二象限相交于点P若|OP|=|OF2，则双曲线C的离心率是（）11.已知定义在R上的函数f（x）满足2f′（x）-f（x）＜0，且f（ln2）=2，则f（ln x）-＞0的解集是（）A. （0，2）B. （0，）C. （0，e）D. （0，）12.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足f（-x）=-f（+x），f（--x）=f（x），且在（0，）上是单调函数，则ω的值可能是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.抛物线y=x2的准线方程是______．14.已知（）n的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为______．15.如图，正方体的棱长为4，点Q在棱上，且，是面内的正方形，且，P是面内的动点，且P到平面的距离等于线段的长，则线段PQ长度的最小值为__________.16.已知函数f（x）=ln x-b，g（x）=ax+（1-a），其中a，b∈R，若f（x）≤g（x）恒成立，则当取最小值时，a-b=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A＋（c-a）sin C＝b sin B．若点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，BC＝2，．（1）求B；（2）求△ABC的面积．18.如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，面CDEF是菱形，∠DCF=60°，CD=2AD=2AB，AE=AD．（Ⅰ）证明：CE⊥AF；（Ⅱ）已知点P在线段BC上，且CP=λCB，若二面角A-DF-P的大小为60°，求实数λ的值．19.为方便市民出行，倡导低碳出行．某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车．该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：天）表示活动推出的天次，y（单位：人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图．表1：x第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天y71220335490148（1）由散点图分析后，可用y=e bx+a作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次y关于活动推出天次x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）．表2：452 3.51402069112表中z =ln y，=．（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3．表3：支付方式现金乘车卡扫码频率10%60%30%优惠方式无优惠按7折支付随机优惠（见下面统计结果）统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为，享受7折支付的频率为，享受9折支付的频率为．已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量ξ为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求ξ的分布列和期望．参考公式：对于一组数据（u i，υi），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：e5.3=200.33，e5.5=244.69，e5.7=298.87．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是其左右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM心与BN的交点在一条定直线上．21.已知函数f（x）=ln x-ax2+（2-a）x，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜-，时，若对于任意x1，x2∈（1，+∞）（x1＜x2），都存在x0∈（x1，x2），使得f'（x0）=，证明：＜x0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A（0，1），若曲线C1方程中的参数是t，0＜α＜π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x0，使得f（x0）≤5+m-m2成立的m的最大值为M，且实数a，b 满足a3+b3=M，证明：0＜a+b≤2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|0＜x≤2}；∴A∩B={1，2}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（2+i）z=5，得z=．故选：C．3.答案：D解析：解：选项A：若＜0，则向量与的夹角为钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B：am2≥bm2，则a≥b并且m≠0或m=0，a，b∈R，所以选项B是假命题；选项C：命题“p∨q是真命题”p，q中至少有一个为真命题，只有当p，q都是真命题时，p∧q才是真命题，所以选项C是假命题；选项D；根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论这一原则；“∃x0∈R，2”的否定是“∀x∈R，2x≥x2”是真命题；故选：D．对于选项A：当＜0，则向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B：要注意am2≥bm2成立时，m=0这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C：命题“p∨q是真命题”p，q中至少有一个为真命题，不能确定p∧q是真命题；对于选项D：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题．本题考查了命题真假的判断，涉及向量的数量积，不等式的基本性质，复合命题的真假，命题的否定，属于基础题．4.答案：A解析：解：==-2cosα，又tanα=，sin2α+cos2α=1，解得：cosα=±，又α∈（0，π），t anα＞0，故α∈（0，），故cosα=，所以：=-．故选：A．由诱导公式及二倍角公式化简可得=-2cosα，由=2，结合同角三角函数基本关系式得cosα，即可求解．本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题．5.答案：A解析：解：函数f（x）=x lnx+a，f（e）=e+af′（x）=ln x+1，∴f′（e）=2，切线方程为y-e-a=2（x-e），故0-e-a=2（0-e），解a=e．则实数f（1）=e故选：A．先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题．6.答案：C解析：解：a5+a8=2，a6•a7=-8，∴a5•a8=-8，解得a5=4，a8=-2，或a5=-2，a8=4．当a5=4，a8=-2，q3=-，a2+a11=a5q-3+a8q3=4×-2×=-7，当a5=-2，a8=4．q3=-2．a2+a11=a5q-3+a8q3=-2×（）+4×（-2）=-7故选：C．通过已知条件求出a5，a8，求出公比，求出a7，然后求解a2+a11的值．本题考查等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．7.答案：D解析：【分析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积．本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积．【解答】解：由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高h为5．底面四边形可以分割成二个三角形，面积S=×4×4+=10，体积V==，故选：D．8.答案：A解析：解：由题意可知：单位圆与直线f（m，n）=（x-2）m+yn-存在交点，∴，即（x-2）2+y2≥2，结合图形，可知：P==1-．故选：A．画出约束条件的可行域，转化目标函数为可行域内的点与单位圆的交点，从而求解概率．本题考查线性规划的简单应用，几何概型的简单应用，考查计算能力．9.答案：B解析：【分析】推导出a n=S n-S n-1=（-1）n a n-（-1）n-1a n-1-+2，当n为奇数时，2a n+a n-1=2-，当n为偶数时，a n-1=-2，从而a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=4，由此能求出S100．本题考查数列的前100项和的求法，考查数列的递推公式、分组求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n满足S n-（-1）n a n=2n-6+，（n∈N*），∴S n=（-1）n a n+2n-6+，（n∈N*），a n=S n-S n-1=（-1）n a n+2n-6+-（-1）n-1a n-1-（2n-2）+6-=（-1）n a n-（-1）n-1a n-1-+2，当n为奇数时，2a n+a n-1=2-，当n为偶数时，a n-1=-2，∴a1=-2，a3=，，…，，=6-，a4=6-，，…，a100=6-，∴a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=4，∴S100=50×4=200．故选：B．10.答案：B解析：解：斜率为2直线过点F1双曲线C第二象限相交于点P，|OP|=|OF2|=c，可得三角形PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，设|F1P|=m，|PF2|=n，可得n-m=2a，又=2，解得m=2a，n=4a，又m2+n2=4c2，即4a2+16a2=4c2，即c=a，则e==．故选：B．由题意可得三角形PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，设|F1P|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义和斜率的定义、勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线定义、方程和性质，考查直角三角形的性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：A解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解不等式，构造函数，考查了运算求解能力，属于中档题．构造函数g（x）=，x∈R，g（ln2）==．可得f（ln x）-＞0⇔g（t）＞g（ln2），利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：由题意，构造函数g（x）=，x∈R，所以g（ln2）==，令ln x=t∈R，则不等式f（ln x）-＞0（x＞0），可化为：＞，即g（t）＞g（ln2），t∈R，因为定义在R上的函数f（x）满足2f′（x）-f（x）＜0，所以g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，由g（t）＞g（ln2），可得t＜ln2，∴ln x＜ln2，解得0＜x＜2，故选：A．12.答案：C解析：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足f（-x）=-f（+x），∴f（x）的图象关于点（，0）对称，∵f（x）在（0，）上是单调函数，∴•≥，∴ω≤8．若对称中心（，0）和对称轴x=-得距离d=-（-）=，①若d==，即T=2π，即T==2π，则ω=1，此时f（x）=sin（x+φ），x=-是对称轴，则-+φ=kπ+，得φ=kπ+，∵|φ|＜，∴k=-1时，φ=-，此时f（x）=sin （x-），满足条件，②若d==，即T=π，即T==π，则ω=3此时f（x）=sin（3x+φ），x=-是对称轴，则-×3+φ=kπ+，得φ=kπ+，∵|φ|＜，∴k=-1时，φ=，此时f（x）=sin （3x+），当0＜x＜时，＜3x+＜，此时函数不单调，不满足条件．③若d==，即T=π，即T==π，则ω=5此时f（x）=sin（5x+φ），x=-是对称轴，则-×5+φ=kπ+，得φ=kπ+，∵|φ|＜，∴k=-2时，φ=-，此时f（x）=sin （5x-），当0＜x＜时，-＜5x-＜，此时函数单调递增，满足条件．③若d==T，即T=π，即T==π，则ω=7此时f（x）=sin（7x+φ），x=-是对称轴，则-×7+φ=kπ+，得φ=kπ-，∵|φ|＜，∴k=1时，φ=-，此时f（x）=sin （7x-），当0＜x＜时，-＜7x-＜，此时函数不单调，不满足条件，④若d==T，即T=π，即T==π，则ω=9＞8不成立，综上满足条件的ω=1或ω=5，故选：C．根据条件判断f（x）的图象关于点（，0）对称，同时关于x=-对称，结合函数的单调性分别进行讨论即可．本题主要考查三角函数的单调性，对称性和对称轴的应用，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．13.答案：4y+1=0解析：解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：=，∴准线方程y=-=-，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．14.答案：15解析：解：令x=1，则2n=64，所以n=6，则（）6的展开式的通项为T r+1=（）6-r（）r=x，令，解得r=4，即其展开式中的常数项为=15，故答案为：15．由二项式定理及其展开式通项公式得：令x=1，则2n=64，所以n=6，则（）6的展开式的通项为T r+1=（）6-r（）r=x，令，解得r=4，即其展开式中的常数项为=15，得解．本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，属中档题．15.答案：解析：【分析】本题考查线段的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．过Q作QM⊥BB1，连接MP，则QM⊥MP，从而PQ2=QM2+MP2=16+MP2，当MP最小时，PQ最小，利用空间直角坐标系，求出MP2的表达式，求出最小值，最后求出PQ 长度的最小值．【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：过Q作QM⊥BB1，连接MP，平面ABB1A1平面BCC1B1,平面ABB1A1平面BCC1B1=BB1且QM平面ABB1A1，QM平面BCC1B1,又MP平面BCC1B1,∴QM⊥MP，∴PQ2=QM2+MP2=16+MP2，当MP最小时，PQ最小．设P（x，4，z），F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），0≤x≤4，0≤z≤4，∵P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，∴x=，即2x-1=（z-3）2，MP2=（x-4）2+（z-3）2=x2-6x+15=（x-3）2+6≥6，∴x=3时，MP2有最小值6，∴PQ2的最小值为22，∴线段PQ长度的最小值为．故答案为：．16.答案：1解析：解：∵f（x）=ln x-b，g（x）=ax+（1-a），若f（x）≤g（x）恒成立，令h（x）=f（x）-g（x）=ln x-ax-b+a-1则①当a≤0时，h′（x）≥0恒成立，h（x）单调递增，h（x）≤0不可能恒成立②当a＞0时，令h′（x）＞0可得，0＜x，h′（x）＜0可得，∴h（x）在[，+∞）上单调递增，（0，）上单调递减，故当x=时h（x）min=h（）=a-ln a-b-2≤0∴a-ln a-2≤b∴令h（a）=1-，a＞0则，当a时，≥0，h（a）单调递增，时，＜0，h（a）单调递减，当a=时，h（a）取得最小值h（）=1-e∴≥1-e即取最小值1-e，此时a=，b=a-ae=a-1=，∴a-b=1故答案为：1令h（x）=f（x）-g（x）=ln x-ax-b+a-1，则h（x）≤0，结合导数，对a进行分类讨论，求解函数的单调性，即可求解本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系的应用，函数的单调性与最值求解的相互关系的转化，具有一定的综合性17.答案：解：（1）∵a sin A+（c-a）sin C=b sin B，由正弦定理得a2+c2-ac=b2，由余弦定理得：cos B==，∵0°＜B＜180°，∴B=60°，（2）连接CE，如下图：D是AC的中点，DE⊥AC，∴AE=CE，∴CE=AE=，在△BCE中，由正弦定理得，∴=，∴cos A=，∵0°＜A＜180°，∴A=45°，∴∠ACB=75°，∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=30°，∠BEC=90°，∴CE=AE=，AB=AE+BE=AE+BC cosB=，∴S△ABC==.解析：本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B．（2）根据已知条件可以确定AE=CE，并求出它们的表达式，在△BCE中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出角A，BE的大小，最后求出面积．18.答案：证明：（Ⅰ）∵CDEF是菱形，∴DE=CD=2AD，CE⊥DF，∵A=，∴AE2=AD2+DE2=5AD2，∴AD⊥DE，∵AD⊥CD，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥CE，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AF．（Ⅱ）由（I）知以D为坐标原点，DA为x轴，建立如图的空间直角坐标系D-xyz，设DA=1，由题设可得A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，-1，），F（0，1，），∴=（λ，-λ，0）．∴=（λ，2-λ，0），设=（x，y，z）是平面DFP的一个法向量，则，令z=-1，得=（，），由（Ⅰ）可知=（0，-3，）是平面ADF的一个法向量，∵二面角A-DF-P的大小为60°，∴cos60°===，解得．．解析：（Ⅰ）通过菱形的性质可以得到CE⊥DF，通过计算，由勾股定理的逆定理，可以得到AD⊥DE，已知AD⊥CD，能推出AD⊥CE，也就能推出CE⊥面ADF，最后证出CE⊥AF．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出平面DFP和平面ADF的法向量，利用空间向量数量积，求出λ的值．本题考查本题考查了线线垂直，利用空间向量数量积求参数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）由题意得z=ln y=ln e bx+a=bx+a，∴==0.5，∴==3.5-0.5×4=1.5，∴z关于x的线性回归方程为z=0.5x+1.5，y关于x的回归方程为y=e0.5x+1.5，当x=8时，y=e5.5=244.69，∴第8天使用扫码支付的人次为245．（2）由题意得ξ的所有取值为0.5，0.7，0.9，1，P（ξ=0.5）==0.10，P（ξ=0.7）=60%+=0.75，P（ξ=0.9）==0.05，P（ξ=1）=10%=0.10，ξ0.50.70.91P0.100.750.050.10解析：本题考查了线性回归方程、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）由题意得z=ln y=ln e bx+a=bx+a，利用所给的公式求出，，求出z关于x的线性回归方程，然后预测第8天的使用扫码支付的人次；（2）由题意得ξ的所有取值为0.5，0.7，0.9，1，求出所有取值的概率，然后列出分布列，算出期望．20.答案：解：（1）由题意得，∴a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为+=1；（2）由（1）得A（-2，0），B（2，0），F2（1，0），设直线MN的方程为x=my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（4+3m2）y2+6my-9=0，∴y1+y2=-，y1y2=-，my1y2=-（y1+y2），∵直线AM的方程为y=（x+2），直线BN的方程为y=（x-2），∴（x+2）=（x-2），∴===3，∴x=4，∴直线AM与BN的交点在直线x=4上．解析：（1）利用椭圆的定义，可求出△PF1F2周长的表达式，当P点是椭圆的上（或下）顶点时，△PF1F2面积有最大值为，列出等式，结合a2=b2+c2，求出椭圆方程；（2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线AM 心与BN的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查两直线的交点在定直线上的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立．运用韦达定理，以及联立直线方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）由题意得：f′（x）=-2ax+（2-a）=-（x＞0），①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，则x＞，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．（2）证明：当a＜-时，=-a（x1+x2）+（2-a）．f′（x0）=-2ax0+（2-a）．∴-a（x1+x2）=-2ax0．∵f（）-f′（x0）=-a（x1+x2）-+2ax0=-==令t=＞1，g（t）=-ln t，g′（t）=-＜0，∴g（t）＜g（1）=0．∴f（）-f′（x0）＜0，即f（）＜f′（x0），设h（x）=f′（x）=-2ax+（2-a），x＞1．则h′（x）=--2a＞-1+1=0．∴h（x）=f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴＜x0．解析：（1）由题意得：f′（x）=-2ax+（2-a）=-（x＞0），对a分类讨论，即可得出单调区间．（2）当a＜-时，=-a（x1+x2）+（2-a）．f′（x0）=-2ax0+（2-a），可得-a（x1+x2）=-2ax0．作差f（）-f′（x0）=，通过换元，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）∵ρ=2cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为∴（x-1）2+y2=1，∵α是曲线C1：的参数，∴C1的普通方程为x2+（y-1）2=t2，∵C1与C2有且只有一个公共点，∴|t|=-1或|t|=+1，∴C1的普通方程为x2+（y-1）2=（）2或x2+（y-1）2=（）2（2）∵t是曲线C1：的参数，∴C1是过点A（0，1）的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，把，代入（x-1）2+y2=1得t2+2（sinα-cosα）t+1=0，∴∴+=+=|t1|+|t2|=|t1+t2|=2|sin（α-）|≤2，当α=时，=4（sinα-cosα）2-4=4＞0，+取最大值2．解析：本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，利用参数的意义求最值问题，属中档题．（1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出|t|（2）把曲线C1参数方程代入曲线C2直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点P，Q，的参数分别是t1，t2一元二次方程根与系数关系，求出+的表达式，求出最大值．23.答案：解（1）∵f（x）=|2x-1|+2|x+1|≤5，∴|x-|+|x+1|≤，由绝对值得几何意义可得x=-和x=1上述不等式中的等号成立，∴不等式f（x）≤5的解集为[-，1]；（2）由绝对值得几何意义易得f（x）=2（|x-|+|x+1|）的最小值为3，∴3≤5+m-m2，∴-1≤m≤2，∴M=2，∴a3+b3=2，∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），a2-ab+b2≥0，∴a+b＞0，∵2ab≤a2+b2，∴4ab≤（a+b）2，∴ab≤，∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）[（a+b）2-3ab]≥（a+b）3，，∴a+b≤2∴0＜a+b≤2．解析：（1）根据绝对值的几何意义，求出解集；（2）求出函数f（x）的最小值，求出M，利用立方差公式，结合重要不等式2ab≤a2+b2，最后证出本题考查了绝对值的几何意义、利用立方差公式，结合重要不等式证明不等式问题，属中档题．。
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。
1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选 A.【点睛】本题考查了集合的交集运算的真数要大于零., 本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数2. 已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算. .，故本题选 C.3. 下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B.若，则C. 若命题“ 是真命题”，则命题“D. 命题“ ，”的否定是“是真命题”，”【答案】 D【解析】【分析】对于选项 A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项 B: 要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项 D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项 A 是假命题；选项 B: 或者，所以选项 B 是假命题；选项 C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项 D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选 D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】 B 的【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。
【详解】，因为，所以，原式故本题选B。
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。
重点考查了同角三角函数之间的关系。
5. 已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C.1 D.0【答案】 A【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。
山西省2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设集合，,则使M∩N＝N成立的a的值是（）A . 1B . 0C . －1D . 1或－12. （2分）复平面上复数与的对应点关于直线对称，且，则为（）A . 2B .C .D . 13. （2分） (2017高一下·禅城期中) 已知向量 =（1，2），则| |=（）A . 3B .C . 5D .4. （2分）(2017·石嘴山模拟) 设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）A . 0D . 35. （2分）已知等差数列中，，则数列的前11项和等于（）A . 22B . 33C . 44D . 556. （2分）(2017·民乐模拟) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2 ）=（）A .B .C . ﹣D .7. （2分） (2015高二下·营口期中) （3x+ ）8（n∈N+）的展开式中含有常数项为第（）项．A . 4B . 58. （2分）(2019·邢台模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，，，，在三视图中所对应的点分别为，，，，为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·唐山模拟) 一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，已知摸出球的颜色不全相同，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）在棱长为2的正方体中，动点P在ABCD内，且P到直线AA1 ， BB1的距离之和等于，则△PAB的面积最大值是（）A .B . 1C . 2D . 411. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A . 2B . 2C . 4D . 412. （2分）函数y=2sinπx﹣（﹣2≤x≤4）的所有零点之和为（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题： (共4题；共6分)13. （1分） (2016高一上·绍兴期中) 设函数f（x）= 为奇函数，则a=________．14. （1分） (2016高二下·新乡期末) 如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2， ]内，则输入的实数x的取值范围是________．15. （2分） (2019高二上·诸暨月考) 抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.16. （2分） (2019高二下·湖州期末) 已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ________， ________．三、解答题： (共8题；共60分)17. （5分）(2016·肇庆模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18. （10分） (2016高二下·日喀则期末) 某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1 ，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2 ，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（1）求丙、丁未签约的概率；（2）记签约人数为 X，求 X的分布列和数学期望EX．19. （10分） (2017高一上·福州期末) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC= ，AA1=1，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小．20. （10分） (2018高二上·承德期末) 已知椭圆的一个焦点为 .设椭圆的焦点恰为椭圆短轴的顶点，且椭圆过点 .（1）求的方程及离心率；（2）若直线与椭圆交于两点，求 .21. （5分） (2018高一下·重庆期末) 已知函数，（且），当，求证：.22. （5分）如图在△ABC中，∠C=90°，BE是∠CBD的平分线，DE⊥BE交AB于点D，圆O是△BDE外接圆．（Ⅰ）求证：AC是圆O的切线；（Ⅱ）如果AD=6，AE=6，求BC的长．23. （10分）(2018·沈阳模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）动点P，Q分别在曲线，上运动，求两点P，Q之间的最短距离24. （5分） (2017·广安模拟) [选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共8题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、23-1、23-2、24-1、。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2020年9月9日。
山西省太原市小店区第一中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是（）参考答案：A2. 若等边的边长为，平面内一点满足，则( )A. B. C． D．参考答案：C3. 下列四个结论中正确的个数是（）①若am2＜bm2，则a＜b②己知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，若变量y与z正相关，则x与z负相关③“己知直线m，n和平面α、β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β”为真命题④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①若am2＜bm2，可知，m2＞0，则a＜b②由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k＞0，得到x 与z的相关性．③若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α、β的位置关系不定④当m=0时，直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0也互相垂直．【解答】解：对于①，若am2＜bm2，可知，m2＞0，则a＜b，故正确；对于②，因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=﹣，一次项系数小于0，所以z与x负相关，故正确；对于③，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α、β的位置关系不定，故错对于④，当m=0时，直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0也互相垂直，故错；故选：B．4. 已知函数,若有,则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B5. 曲线上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（2，4）C．D．参考答案：D略6. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．参考答案：B略7. ”成等差数列”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A8. 已知是内的一点，且,若和的面积分别为，则的最小值是A.20B.18 C. 16 D. 9参考答案：【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用 E6 F3【答案解析】B 解析：由已知得，故选：B【思路点拨】利用向量的数量积的运算求得的值，利用三角形的面积公式求得的值，进而把转化为，展开再利用基本不等式即可求得的最小值。
太原市高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题 1、已知，则复数（）A.B.C.D.考点：复数的运算 答案：A 2、已知全集，集合,则下图阴影部分表示的集合是（） A.[-1,1） B.(-3,1 C.(-∞,3)⋃[-1,+∞） D.(-3,-1) 考点：集合之间的简单运算 答案：D3、在单调递减等比数列中，若32451,2a a a =+=，则1a =（） A.2 B.4 C. D.2考点：数列的运算 答案：B4、已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概率是（ ） A 、14 B 、12 C 、27 D 、12考点：几何概型 答案：C5、执行如右图所示程序框图，则输出a = （ ）A 、20B 、14C 、10D 、7UMN考点：读程序框图 答案：C6、已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的最小正周期是π，若将其图像向右平移3π个单位后得到的图像关于原点对称，则函数()f x 的图像（ ） A 、关于直线12x π=对称 B 、关于直线512x π=对称C 、关于点(,0)12π对称 D 、关于直线5(0)12π，对称 考点：三角函数图像及性质 答案：B 7、已知在圆内，过点E （1,0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 A 、B 、6C 、D 、2考点：圆与直线位置关系 答案：D8、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A 、16 B 、32 C 、32 D 、48是开始10,1a i ==2015?i ≤输出aa 是奇数1i i =+结束31a a =-2a a =是否否考点：由三视图求体积 答案：C9、已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D.()1,2 考点：指数函数，函数的零点问题 答案：B10、已知实数,x y 满足条件2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩若目标函数3z x y =+的最小值为5，其最大值为A. 10B. 12C. 14D. 15 考点：线性规划 答案：A11、已知点O 为双曲线C 的对称中心，过点O 的两条直线1l 与2l 的夹角为60︒，直线1l 与双曲线C 相交于点11,A B ，直线2l 与双曲线C 相交于点22,A B ，若使1122A B A B =成立的直线1l 与2l 有且只有一对，则双曲线C 离心率的取值范围是 A. 323⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 2323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C. 3+3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 3,+3⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭考点：双曲线离心率的求解 答案：A12、已知数列{}n a 的通项公式为()()()121cos12nn n a n n N π*=--+∈，其前n 项和为n S ，则n S = A. 30- B. 60- C. 90 D. 120 考点：数列前n 项和的求解 答案：D二、填空题13.已知向量,a b 满足()()26a b a b -+=，且2,1a b ==，则a b 与的夹角为 。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|y=√6+x−x2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x≤3}D．{x|﹣3＜x≤3} 2．（5分）设复数z满足z（2+i）＝5，则|z﹣i|＝（）A．√2B．2C．2√2D．43．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．516B．1132C．716D．13324．（5分）在等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f(x)=x2−1|x|的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则（）A ．a ＝6B ．a ＝5C ．a ＝4D ．a ＝7 7．（5分）（3x 3x ）7展开式中的常数项是（ ） A ．189 B ．63 C ．42 D ．218．（5分）刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．√3πB ．√32πC ．3πD ．4π9．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）的最小值为2，则1a +3b 的最小值为（ ） A ．2+√3 B ．5+2√6C ．8+√15D ．2√3 10．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作圆x 2+y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．√23D ．√63 11．（5分）设|AB |＝10，若平面上点P 满足对任意的λ∈R ，恒有|2AP →−λAB →|≥8，则一定。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．43．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13324．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A．6a=B．5a=C．4a=D．7a=7．（5分）37 1(3)xx+展开式中的常数项是()A．189B．63C．42D．218．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A3πB3C．3πD．4π9．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A．23+B．526+C．815+D．310．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6311．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ-，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ=，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()xg x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 【解答】解：{|33}M x x =-<<，{|23}N x x =- ，{|23}M N x x ∴=-< ．故选：B ．2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．4【解答】解：由(2)5z i +=，得55(2)22(2)(2)i z i i i i -===-++-，22|||2||22|2(2)22z i i i i ∴-=--=-=+-=．故选：C ．3．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为32=，故概率716P =．故选：C ．4．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列中，若14a a <，即311a a q <，10a > ，31q ∴<，即1q >，则2531a q a =>，即35a a <成立，若等比数列1，2-，4，8-，16，满足35a a <，但14a a <不成立，故“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件，故选：A ．5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A ．6a =B ．5a =C ．4a =D ．7a =【解答】解：执行程序框图，有1S =，1k =不满足条件k a >，有1112S =+⨯，2k =；不满足条件k a >，有1111223S =++⨯⨯，3k =；不满足条件k a >，有1111122334S =+++⨯⨯⨯，4k =；不满足条件k a >，有111191122334455S =++++=⨯⨯⨯⨯，5k =；此时，应该满足条件k a >，退出循环输出S 的值为95．故a 的值应为4．故选：C ．7．（5分）37(3x+展开式中的常数项是()A ．189B ．63C ．42D ．21【解答】解：37(3x+展开式的通项公式为：7213772177(3)3r rrr r rr T C x C x---+== ，令72102r-=，解得6r =；所以展开式中的常数项是677321T C == ．故选：D ．8．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A 3πB ．32C ．3πD ．4π【解答】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴3，∴外接球的半径为32，∴外接球的体积为3433(322V π==．故选：B ．9．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A ．23+B ．526+C ．815+D ．3【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数(0,0)z ax by a b=+>>经过C时取最小值为2，所以2a b+=，则1311313()()(4)22b aa ba b a b a b +=++=++22=+b=，并且2a b+=时等号成立；故选：A．10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B C D 【解答】解：如图，c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即3c e a ==．故选：D ．11．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ- ，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒【解答】解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0)A -、(5,0)B 、设点(,)P x y ，则(5,)AP x y =+ ，(10,0)AB =，则2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，即有22(21010)464x y λ+-+ ，整理为以λ为元的一元二次不等式，即222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++ ，由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则△0 必然成立，△222(20040)4100(440436)0x x x y =+-⨯⨯+++ ，解得||4y ，即4y 或者4y - ，动点P 位于直线4y =上或其上方部分，或者直线4y =-上或者其下方的区域内，用动态的观点看问题，我们让点P 位于点(5,4)-处，则||4PA =，故A 错误；让点P 位于点(0,4)处，则|||2|8PA PB PO +==，故B 错误；此时||||PA PB ==，||10AB =，用余弦定理计算4141100cos 02||||APB PA PB +-∠=<，90APB ∠>︒故D 错误；我们进一步确定C 选项的正确性，(5,)PA x y =--- ，(5,)PB x y =--，则2225PA PB x y =+-，其中x R ∈，216y ，故2222516259x y x +-+-- ，即9PA PB -，故C 正确．故选：C ．12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)【解答】解：根据题意，设()()g x lnx f x = ，(0)x >，其导数1()()()()()()g x lnx f x lnxf x f x lnxf x x'='+'=+'，又由当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，即1()()lnx f x f x x'<- ，则有1()()()0g x f x lnxf x x'=+'<，即函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，又由g （1）1()0ln f x == ，则在区间(0,1)上，()()0g x lnx f x => ，又由0lnx <，则()0f x <，在区间(1,)+∞上，()()0g x lnx f x =< ，又由0lnx >，则()0f x <，则()f x 在(0,1)和(1,)+∞上，()0f x <，而1x =时，g （1）1()0ln f x == ，故()f x 也可小于0，又由()f x 为奇函数，则在区间(1,0)-和(,1)-∞-上，都有()0f x >，2240(4)()0()0x x f x f x ⎧->->⇒⎨>⎩或240()0x f x ⎧-<⎨<⎩，解可得：2x <-或02x <<，则x 的取值范围是(-∞，2)(0-⋃，2)；故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为221412x y -=．【解答】解：根据题意，双曲线渐近线方程为y =，顶点坐标(,0)a ，顶点到渐近线的距离为：2=，解得2a =，根据渐近线方程的斜率ba=，可得b =所以双曲线的方程为：221412x y -=；故答案为：221412x y -=．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=12．【解答】解：由题意44431()sin()12,33636222f k k k Zπππππωπωπω=-=⇒-=+⇒=+∈又0ω>，令0k =得12ω=．（由已知2T π>．如0k >，则2ω ，T π 与已知矛盾）．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：法一：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+=，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||min MN ==．MN ∴长度的最小值是3．法二：(0AC = ，1，1)，(1BF =，1-，0)，设与AC ，BF都垂直的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，00n AC y z n BF x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1y =，得(1n = ，1，1)-，又(0AB =，1，0)，MN ∴长度的最小值是||||AB n n ==．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =835．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n 行有n 个数，因为(41,18)a 对应的数字为奇数，则前面奇数行共有：(139)20135394002+⨯+++⋯+==个奇数，故(41,18)a 为第418个奇数，由24181835⨯-=，可得(41,18)835a =，故答案为：835．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．所以2222(sin sin )2()sin R R B A R a c C -=+ ．集222b a ac c -=+，由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==-，0B π<< ，23B π∴=；（2）b = ，2c =，由正弦定理可得，sin sin b cB C=，所以21sin 7C =，因为b c >，故C 为锐角，cos 7C =，所以1sin sin()sin cos sin cos 272714A B C B C C B =+=+=⨯18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ．所以AE BE ⊥，AE BC ⊥．又因为BC AB ⊥，AE AB A = ，所以BC ⊥平面ABE ．又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABE ．（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，因为1AE =，2AB =，AE BE ⊥．所以BE =，所以(0B ，2，0)，1,0)2E ，设线段AD 上存在一点F 满足题意，设(0F ，0，)h ，(0)h >，易知平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，易知3,0)2BE =- ，(0,2,)BF h =- ．所以00n BE n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即302220x y y hz -=⎨⎪-+=⎩，令1y =，可得2)n h = ．由cos ,||||m n m n m n <>===，解得h =．所以存在点F，当AF =A BF E --所成角为45︒．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为3P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是28(39=，根据对立事件原理，阳性的概率为81199-=．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为89，若阳性，则检测次数为3，概率为19，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，其分布列为：ξ246P648116811816416122()2468181819E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，其分布列为：η15P648117816417149()15818181E η=⨯+⨯=，()()4E E ηξ<< ，故选择方案三最“优”．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，连接1F A ， 222AF F B = ，∴不妨令2||F B m =，则2||2AF m =，1||||3BF AB m ==．由椭圆的定义知，12||||2BF F B a +=，32m m a ∴+=即2a m =，21||||AF a AF ∴==，则点A 为椭圆E 的上顶点或下顶点．令2OAF θ∠=，则1sin a θ=，222cos 2121sin aθθ=-=-①，而在等腰1ABF ∆中，由余弦定理得，22233()()122cos 23322a a a a a θ+-==⨯⨯②，由①②解得，23a =．椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，1c ∴=，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为22132x y +=．（Ⅱ）证明：由题可知，直线AB 的斜率一定存在，不妨设其方程为(1)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(3,)C y ，22AF F B λ= ，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，即12121x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩，而直线BC 的方程为2112(3)3y y y y x x --=--，∴2122()(1)(3)3k x x y k x x x λ-+-=--，∴222(1)(1)(1)(3)3k x y k x x x λλ+-+-=--，∴222223()(1)(3)(1)[](1)33x x x x y k x k x x x λλλ-+-+-=--=-⨯--，当21x x ==时，无论λ如何变化，0y =恒成立，即直线BC 过定点(1,0)．故命题得证．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．【解答】解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，①当(0,)2x π∈时，cos 0x > ，()0f x ∴'>，()(0)1f x f >=，()f x 无零点；②当(2x π∈，32π，cos 0x < ，()0f x ∴'<，(022f ππ=>，33()022f ππ=-<，()f x 有唯一零点；③当3(2x π∈，5)2π，cos 0x > ，()0f x ∴'>，而55()022f ππ=>，()f x 有唯一零点；综上，()f x 在5(0,)2π，有两个零点．（2）证明：①22sin cos ()()x x x f x g x x x +'=-=-，由（1）可知，()g x 在(0,)2π无极值点；(2x π∈，3)2π有极小值点，即为1x ，在3(2x π∈，5)2π有极大值点，即为2x ，而(022f ππ=>，()10f π=-<，33()022f ππ=-<，(2)10f π=>可知1(2x π∈，)π，23(2x π∈，5)2π，同理在5(2π，3)π有极小值点，⋯，在(21)(2n π-，)n π有极值点n x ．由sin cos 0n n n x x x +=，得cos sin n n n x x x =-，1tan n nx x =-，12x x < ，1211x x ∴-<-，112tan()tan tan x x x π+=<，则13(2x ππ+∈，2)π，23(,2)2x ππ∈，故有12x x π+<1212121212cos cos ()()sin sin sin()sin x x g x g x x x x x x x π+=+=--+-sin y x = 在3(,2)2ππ是增函数，12sin()sin 0x x π+-<即12()()0g x g x +<；②，同理，2143(,(21))2k k x k ππ--∈-，241(,2)2k k x k ππ-∈，2124122k k k x x πππ--<+<<，由sin y x =在41(,2)2k ππ-递增得当n 为偶数时，不妨设2n k =，从1()g x 开始相邻两项配对，每组均为负值，即1234212[()()][()()][()()]0k k g x g x g x g x g x g x -++++⋯++<，结论成立；当n 为奇数时，设21n k =+，2141(2k k x π++∈ ，(21))k π+，2121()sin 0k k g x x ++=-<从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也为负值，即即123421221[()()][()()][()()]()0k k k g x g x g x g x g x g x g x -+++++⋯+++<，结论成立；综上，对于一切*n N ∈，12()()()0n g x g x g x ++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan 27k θ==±．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a -<且1a ->，∴312a -<<-．实数a 的取值范围：3(2-，1)-．。
