2019-2020年高三数学理科模拟试题及答案
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2019-2020年高三数学理科模拟试题及答案一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.) 1． 设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +2．设0<x<1，则a=2x ，b=1+x ， c=x-11中最大的一个是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．不能确定3．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．已知直线n m ,和平面α，则//m n 的一个必要非充分条件是( ) A ．//m α且α//n B ．m α⊥且α⊥n C ．//m α且α⊂n D ．,m n 与α所成角相等5．设变量y x ,满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1y x +的最大值是( )A ．1B ．14 C ．12D ．2 6．等差数列{}n a 的前n 项和为等于则若982,12,S a a S n =+（ ）A ．54B ．45C ．36D ．277．设函数na x x f )()(+=，其中⎰=2cos 6πxdx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为（ ）A ．-360B ．360C ．-60D ．60N M CABO8．一圆形纸片的圆心为原点O,点Q 是圆外的一定点,A 是圆周上一点,把纸片折叠使点A 与点Q 重合,然后展开纸片,折痕CD 与OA 交于P 点,当点A 运动时P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为 0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．10．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有 种 (用数字表示) 11． 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且ca bC B +-=2cos cos , 则角B 的大小为12．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2 的圆,则此几何体的外接球的表面积为13．函数xe y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _ 14、已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 .15、如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，若⊙O的半径为，，则MN 的长为 ．三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知tan 2θ= (Ⅰ)求tan()4πθ-的值(Ⅱ)求cos2θ的值17. （本小题满分12分） 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量,x h ，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2。
（1）求,x h 的分布列；（2）求,x h 的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术。
18．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，AD AB ^，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD ，2ABAD=，直线PA 与底面ABCD 成60°角，点,M N 分别是PA 、PB 的中点. （Ⅰ）求二面角P MN D --的大小； （Ⅱ）当CDAB的值为多少时，CND Ð为直角？19．（本小题满分14分）已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足AP PB =，0MA AP ⋅=.（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.20．（本小题满分14分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 21、已知函数)(x f 的图象经过点),1(λ，且对任意R x ∈，都有.2)()1(+=+x f x f 数列{}n a 满足.),(,2,211⎩⎨⎧=-=+为偶数为奇数n a f n a a n n n λ（1）当x 为正整数时，求)(n f 的表达式； （2）设3=λ，求n a a a a 2321++++ ；P ABDM N（3）若对任意*N n ∈，总有211+++<n n n n a a a a ，求实数λ的取值范围.参考答案一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分, 9. 8.0 10. 24011.32π 12. 316π13.5 14. 相交 15、2三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）解：(1)2tan =θ tan tan 1214tan()41231tantan 4πθπθπθ--∴-===-++ ………… 4分 (2) sin tan 22sin 2cos cos θθθθθ=∴=∴=……① …………6分又22sin cos 1q q += 由①②得21cos 5q =……………8分 23cos 22cos 15θθ∴=-=- …………………………………………12分17. （本小题满分12分）解：（1）依题意得0.530.11a a +++=解得0.1a =………………………2分 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2乙射中7环的概率为1-（0.3+0.3+0.2）=0.2……………4分,x h 的分布列为：………………6分 （2）略18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ， ∴AB ⊥面PAD .又MN 是△PAB 的中位线， ∴MN ∥AB ，从而MN ⊥面PAD .∴∠PMD 为二面角P —MN —D 的平面角 ………………………………4分由已知，在Rt △PAD 中，易证：∠PAD =60°，而M 是PA 的中点， ∴∠PMD =120°.即所求二面角P —MN —D 的大小为120°.…………………………………6分 （Ⅱ）令CDx AB=，不妨设AD =2，则，,4CD x AB x ==.……8分 以D 为原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），N （1，2，C （0，4x ，0），∴DN =（1，2，CN =（1，2-4x若∠CND 为直角，则必有DN CN ⊥， 即0DN CN ⋅=于是有112(24)0x ⨯+-+=，解得1x =. ∴当1CDAB=时，∠CND 为直角.……………………………………14分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设P (,)x y ，(,0),(0,)(0)A B B A x B y y >则(,)A AP x x y =- (,)B PB x y y =-- …………………………………2分由AP PB = 得 2A x x =，2B y y = …………………………………4分 又(,2)A MA x = (,)A AP x x y =-即(2,2)MA x =，(,)AP x y =-……………6分由0MA AP ⋅= 得 2(0)x y y =≥…………………………………..8分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：(2)y k x =+设11(,)E x y ，22(,)F x y 因为'2y x = ，故两切线的斜率分别为122,2x x …………………10分由方程组2(2)x yy k x ⎧=⎨=+⎩ 得220x kx k --=所以12x x k += 122x x k ⋅=-………………………………………12分当12l l ⊥时，，12221x x ⋅=-，所以 18k =所以，直线l 的方程是 1(2)8y x =+ ………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1） x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ……1分 ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 …………3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分（2） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，21ln ()x h x x -¢=， …………6分 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ………7分 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+……………………………9分 （3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-xax 1-=① 当0≤a 时，(0,]x e Î，所以()0f x ¢< ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件. ……11分③ 当e a≥1时，(0,]x e Î，所以()0f x ¢<， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.……14分21、【解析】（1）记)(n f b n =，由2)()1(+=+x f x f 有21=-+n n b b 对任意*N n ∈都成立，又λ==)1(1f b ，所以数列{}n b 为首项为λ公差为2的等差数列，………2分 故22-+=λn b n ，即.22)(-+=λn n f …………………………………4分（2）由题设3=λ若n 为偶数，则;21-=n n a ………………5分若n 为奇数且3≥n ，则2111()2222222n n n n n a f a a λλλ----==+-=⋅+-=+-，121n -=+………6分又21-=λa 1=，即11112132n n n n a n n n --=⎧⎪=+≥⎨⎪⎩为奇数且为偶数)()(24212312321n n n a a a a a a a a a a +++++++=++++-2221321(2221)(222)n n n --=++++-++++1221(1222)1n n -=+++++- 22 2.n n =+-……9分（3）当n 为奇数且3n ≥时，)]22(22[2)(1121121-+--+=-=--++++++λλn n n n n n n n n n a a a a a a a02312>⋅=-n ；…………………10分当n 为偶数时，)]22)(22()(1121121-++++++--+=-=-n n n n n n n n n n a a a a a a a λ)22(231-+⋅=-λn n ，……………11分因为211+++<n n n n a a a a ，所以022>-+λn，…………………………12分2n n ∴≥为偶数，，∵22n λ+-单增∴420λ+->即2->λ……………13分故λ的取值范围为).,2(+∞-…………………………………………………14分。
