高二 运算空间向量求解线面角、二面角,线线位置关系 贺德松答案

综合法求二面角一、知识梳理：二面角的相关概念1.定义：从一条直线出发的所组成的图形.(立体图形)2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的；(2)两个半平面叫做二面角的.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是(2)二面角的平面角α的取值范围是；平面角是直角的二面角叫做.二、牛刀小试：1.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小__.三、经典例题例1在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V－AB－C的大小.方法总结：定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.方法总结：三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.四、课堂反馈1. 如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且P A＝AC，则二面角P－BC－A的大小为()A.60°B.30°C.45°D.15°2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1－BD－C的大小为________.3.如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.五、课后作业1、如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.2、如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.3、求正四面体（棱长均相等的三棱锥）的侧面与底面所成二面角的大小.综合法求二面角（教师版）一、知识梳理：二面角的相关概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二、牛刀小试：1.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案D2.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.答案60°解析过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.三、经典例题例1在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝3，同理CD⊥AB，CD＝3，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.方法总结：定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.(1)证明∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC，又AB ∩AC ＝A ，AB ，AC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，SA ∩AB ＝A ，SA ，AB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SAB .(2)解 取SB 的中点D ，连接AD ，则AD ⊥SB ，垂足为点D ，由(1)知平面SBC ⊥平面SAB ，平面SBC ∩平面SAB ＝SB ，AD ⊂平面SAB ， ∴AD ⊥平面SBC .作AE ⊥SC ，垂足为点E ，连接DE ， 则DE ⊥SC ，则∠AED 为二面角A －SC －B 的平面角.设SA ＝AB ＝2，则SB ＝BC ＝22，AD ＝2，AC ＝23，SC ＝4. 由题意得AE ＝3，Rt △ADE 中，sin ∠AED ＝AD AE ＝23＝63，∴二面角A －SC －B 的平面角的正弦值为63.方法总结：三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.四、课堂反馈1. 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A ，B )且P A ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为 ( )A.60°B.30°C.45°D.15° 答案 C解析 由条件得P A ⊥BC ，AC ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角.在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C.2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1－BD －C 的大小为________.答案 30°解析 如图，取BD 的中点O ，连结OC ，OC 1， ∵AB ＝AD ＝23，∴CO ⊥BD ，CO ＝ 6. ∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B ，∴C 1O ⊥BD . ∴∠C 1OC 为二面角C 1－BD －C 的平面角. tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33.∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1－BD －C 的大小为30°.3.如图所示，将等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.答案 90°解析 由题意知，∠B ′DC 即为此二面角的平面角， 设AB ＝AC ＝1，连结CB ′， 则△AB ′C 为等边三角形， ∴B ′C ＝1，又B ′D ＝CD ＝22， ∴在△B ′DC 中，B ′D 2＋CD 2＝B ′C 2， ∴B ′D ⊥CD ，∴∠B ′DC ＝90°， 即此二面角的大小为90°.五、课后作业1、如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的大小； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小. 解 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′， ∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B ，AB ，BO ⊂平面ABO ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角为30°. (2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .∵平面BC ′⊥平面ABCD ，平面BC ′∩平面ABCD ＝BC ，OE ⊂平面BC ′， ∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角. 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.即AO 与平面ABCD 所成角的正切值为55. (3)由(1)可知OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°.2、如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.答案34解析 如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB ，OC ，则OC ⊥l ，则∠ACO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABC 为AB 与l 所成的角.设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ.由图象得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.。

高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，又边长为2，由于，在中，，（Ⅱ）,（Ⅲ）解法一：过，连接AE，，即二面角的余弦值为.解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则显然，平面的法向量为设：平面的法向量，由,，∴二面角的余弦值为.【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.2.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.试题解析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.3.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .【答案】.【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.5.如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分又，，平面平面……5分（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，．…7分设平面的法向量为，由．取，得．……9分平面的法向量为．10分…11分而二面角的大小为钝角，二面角的余弦值为．【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .【考点】用空间向量求平面间的夹角.7.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).【解析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= .∴.故所求二面角A－PD－F的余弦值为.【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．8.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（1）求证：∥面；（2）求二面角——的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解试题解析：（1）在中、分别是、的中点∴∥又∵平面，平面∴∥平面（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，平面的一个法向量设平面的一个法向量为则即取.∴∴二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角9.如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.（1）求>的值；（2）求证：【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求>的值；（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系（1）依题意得,∴∴ ,∴>= 6分(2) 依题意得∴,∴,,∴ ,∴,∴∴ 12分【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.10.如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：⑴求和的夹角⑵．【答案】（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。

高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为。

【答案】为ｚ轴，则【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１（），，，（）。

所以，。

因为，所以，由此推出。

又，，从而有。

【考点】(1)空间向量的坐标运算及空间两点间距离公式的应用；（2）利用二次函数思想求最值。

2.是坐标原点，设，若，则点的坐标应为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设点B(x,y,z),由于，且，故可知点的坐标应为，故选B.【考点】空间向量的坐标运算点评：主要是考查了空间中向量的坐标的代数运算，属于基础题。

3.已知向量，若,则______。

【答案】【解析】因为，所以，显然所以【考点】本小题主要考查共线向量的数量关系，考查学生运用公式的能力.点评：向量共线是空间向量的常考内容，记清楚关系直接代入计算即可，难度不大.4.已知，，则的最小值是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为，，则则利用二次函数的性质得到最小值为，选C5.在直三棱柱中，，已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若，则线段DF长度的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，1 2 ），G（ 1 2 ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）∴ GD =(-，y，-1)， EF =(x，-1，- )∵GD⊥EF，∴x+2y-1=0，∴x=1-2yDF2= x2+y2 = (1-2y)2+y2 = 5y2-4y+1 =" 5(y-2" 5 )2+1 5 ∵0＜y＜1∴当y="2" 5 时，线段DF长度的最小值是又y=1时，线段DF长度的最大值是 1而不包括端点，故y=1不能取；故线段DF的长度的取值范围是：[ ，1)．故选A．6.已知a=（1,1,0），b=（-1,0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（）.A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以7.空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为（）A．平面B．直线C．圆D．线段【答案】D【解析】解：因为A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则说明A,B，C三点共线，解：设点C的坐标为（x，y，z ），由题意可得（x，y，z ）=（3α-β，α+3β，0 ），再由α+β="1" 可得x=3α-β=3-4β，y=α+3β=1+2β，故有 x+2y-5=0，故点C的轨迹方程为x+2y-5=0，则点C的轨迹为直线，故选B.8.在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（x，4，3）为顶点的是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为。

高考真题（2019•浙江卷）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【解析】（1）如图所示，连结，等边中，，则， 平面ABC ⊥平面，且平面ABC ∩平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，故， 由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，111ABC A B C -11A AC C ⊥ABC 90ABC ∠=︒1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==11,AC AB EF BC ⊥EF 1A BC 11,A E BE 1AAC △AE EC =-18%11A ACC 11A ACC AC =1A E ⊥ABC 1A E BC ⊥11A B AB ∥AB BC ⊥11A B BC ⊥1111A B A E A =BC ⊥11A B E结合⊆平面，故.（2）在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，，据此可得：， 由可得点的坐标为， 利用中点坐标公式可得：，由于， 故直线EF 的方向向量为： 设平面的法向量为，则：， 据此可得平面的一个法向量为， 此时，EF 11A B E EFBC ⊥1EA E xyz -1EH =AE EC ==11AA CA ==3BC AB ==()()()130,,,,0,0,3,22A B A C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11AB A B =1B 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭34F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,0,0E 34EF ⎛⎫=⎪⎝⎭1A BC (),,m x y z =()()133,,,,330222233,,,02222m A B x y z x y z m BC x y z xy ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩1A BC ()1,3,1m =34EF ⎛⎫=⎪⎝⎭4cos ,55EF m EF m EF m⋅===⨯设直线EF 与平面所成角为，则. 【答案】（1）证明见解析；（2）.（2019•浙江卷）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B ．方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然） 由最大角定理，故选B ．方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得1A BC θ43sin cos ,,cos 55EF m θθ===35V ABC -P VA PB AC αPB ABC βP AC B --γ,βγαγ<<,βαβγ<<,βαγα<<,αβγβ<<G AC V ABC O P D AO D DE AE //PE VG P //PF AC VG F D //DH AC BG H ,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=βαβ>tan tan PD PDED BDγ=>=βy >ββα<V AB C --γ'γ'=γβ<γ'=γV ABC -P VAB ． 【答案】B（2019•天津卷（理））如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅰ）若二面角的余弦值为，求线段的长.【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得.cos sin sin α=⇒α=β=γ=AE ⊥ABCD ,CF AE AD BC ∥∥,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====BF ∥ADE CE BDE E BD F --13CF ,,AB AD AE ()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E设，则.（Ⅰ）依题意，是平面ADE 的法向量， 又，可得，又因为直线平面，所以平面. （Ⅱ）依题意，，设为平面BDE 的法向量， 则，即，不妨令z =1，可得， 因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为. （Ⅲ）设为平面BDF 的法向量，则，即.不妨令y =1，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意｡ 所以，线段的长为. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）（2019•全国III 卷（理））图1是由矩形ADEB ，RtⅠABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；()0CF h h =>()1,2,F h ()1,0,0AB =()0,2,BF h =0BF AB ⋅=BF ⊄ADE BF ∥ADE (1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--(),,n x y z =00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩()2,2,1n =4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-CE BDE 49(),,m x y z =00m BD m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩020x y y hz -+=⎧⎨+=⎩21,1,m h ⎛⎫=-⎪⎝⎭41cos ,332m n m n m n-⋅===⨯87h =CF 874987（2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.【解析】（1）证：，，又因为和粘在一起.，A ，C ，G ，D 四点共面.又.平面BCGE ，平面ABC ，平面ABC 平面BCGE ，得证.（2）过B 作延长线于H ，连结AH ，因为AB 平面BCGE ，所以 而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以而在中,，即二面角的度数为.【答案】（1）见详解；（2） .（2019•北京卷（理））如图，在四棱锥P –ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD，AD ∥BC ，P A =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求二面角F–AE–P 的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． //AD BE //BF CG E F ∴//AD CG ,AB BE AB BC ⊥⊥AB ∴⊥AB ⊂∴⊥BH GC ⊥⊥AB GC ⊥BH GC ⊥GC ⊥HAB AH GC ⊥BH GC ⊥BHA ∠B CG A --BHC △90BHC ∠=60FBC ∠=60BCH ∠=sin 603BH BC ==ABH 90ABH ∠=tan 3AB BHA BH ∠===B CG A --303013PF PC =23PG PB =【解析】（Ⅰ）由于P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，则P A ⊥CD ， 由题意可知AD ⊥CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面P AD ．（Ⅱ）以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：， 由可得点F 的坐标为， 由可得， 设平面AEF 的法向量为：，则， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：，⊂A xyz-()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D 13PF PC =224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭12PE PD =()0,1,1E (),,m x y z =()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩()1,1,1m =-很明显平面AEP 的一个法向量为，， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P. （Ⅲ）易知，由可得，则， 注意到平面AEF 的一个法向量为：，其且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.（2019•全国I 卷（理））如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A -MA 1-N 的正弦值．【解析】（1）连接，()1,0,0n =1cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⨯()()0,0,2,2,1,0P B -23PG PB =422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭422,,333AG ⎛⎫=-⎪⎝⎭()1,1,1m =-0m AG ⋅=3ME 1B C，分别为，中点 为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）设，由直四棱柱性质可知：平面 四边形为菱形则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：，，，D （0，-1,0） 取中点，连接，则 四边形为菱形且 为等边三角形M E 1BB BC ME ∴1B BC ∆1//ME B C ∴112ME B C =N 1A D 11//A D B C 1//ND B C ∴112ND B C =//ME ND ∴∴MNDE //MN DE ∴MN ⊄1C DE DE 1C DE //MN ∴1C DE ACBD O =11111AC B D O =1OO ⊥ABCD ABCD AC BD ∴⊥O )A()0,1,2M )14A 1,,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭AB FDF 01,2F ⎫⎪⎪⎝⎭ABCD 60BAD ∠=BAD ∴∆DFAB ∴⊥又平面，平面平面，即平面为平面的一个法向量，且 设平面的法向量，又， ，令，二面角【答案】（1）见解析；（2.（2019•全国II 卷（理））如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⅠEC 1.（1）证明：BE Ⅰ平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【解析】分析：（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；1AA ⊥ABCD DF ⊂ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴11ABB A DF ⊥1AMA DF ∴1AMA 33,,022DF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭1MA N (),,n x y z =()13,1,2MA =-33,022MN ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭132033022n MA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩x 1y =1z =-()3,1,1n ∴=-3cos ,515DF n DF n DF n⋅∴<>===⋅10sin ,5DF n ∴<>=∴1A MA N --11B C ⊥11A B BA 11B C EB ⊥BE ⊥11EB C（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.详解：证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，， 因为，所以， 所以，，设是平面的法向量，所以， 设是平面的法向量，所以， B 1,,BC BA BB ,,x y z ABCD a 1B B b =1BE EC ⊥,a b EBC 1ECC 1B EC C --1B EC C --1111ABCD A B C D -11B C ⊥11A B BA BE ⊂11A B BA 11BE B C ⊥1BE EC ⊥1111B C EC C ⋂=111,B C EC ⊂11EB C BE ⊥11EB C B 1,,BC BA BB ,,x yz 1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2b B C a C a b E a 1BE EC ⊥2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=(0,,)E a a 1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==111(,,)m x y z =BEC 111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩222(,,)n x y z =1ECC 2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩二面角的余弦值的绝对值为， 所以二面角. 【答案】（1）证明见解析；（2高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。