专升本第二讲 导数与微分

第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。

偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=βαlim，则α是比β高阶的无穷小量。

（2）若c βα=lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=βαlim，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=βαlim ，则α与β是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。

4、两个重要极限 （1）100==→→xxx x x x sin lim sin lim使用方法：拼凑[][][][][][]000==→→sin lim sin lim，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→10111)(lim lim[][][]e =+→11)(lim使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ⎝⎛>∞<==∞→m n m n m n ba X Q x P mn x ,,,lim00()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。

m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0A x f x f A x f x x x x xx ===+-→→→)(lim )(lim )(lim 000充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。

河南专升本高等数学考试考点大纲第一章、函数、极限和连续考点一：求函数的定义域考点二：判断函数是否为同一函数考点三：求复合函数的函数值或复合函数的外层函数考点四：确定函数的奇偶性、有界性等性质的问题考点五：有关反函数的问题考点六：有关极限概念及性质、法则的题目考点七：简单函数求极限或极限的反问题考点八：无穷小量问题考点九：分段函数求待定常数或讨论分段函数的连续性考点十：指出函数间断点的类型考点十一：利用零点定理确定方程根的存在性或证明含有的等式考点十二：求复杂函数的极限第二章、导数与微分考点一：利用导数定义求导数或极限考点二：简单函数求导数考点三：参数方程确定函数的导数考点四：隐函数求导数考点五：复杂函数求导数考点六：求函数的高阶导数考点七：求曲线的切线或法线方程或斜率问题考点八：求各种函数的微分第三章、导数的应用考点一：指出函数在给定区间上是否满足罗尔定理、拉格朗日定理或满足定理求定理中的值考点二：利用罗尔定理证明方程根的存在性或含有的等式考点三：利用拉格朗日定理证明连体不等式考点四：洛必达法则求极限考点五：求函数的极值或极值点考点六：利用函数单调性证明单体不等式考点七：利用函数单调性证明方程根的唯一性考点八：求曲线的凹向区间考点九：求曲线的拐点坐标考点十：求曲线某种形式的渐近线考点十一：一元函数最值得实际应用问题第四章、不定积分考点一：涉及原函数与不定积分的关系，不定积分性质的题目考点二：求不定积分的方法考点三：求三种特殊函数的不定积分第五章、定积分考点一：定积分概念、性质和几何意义等题目考点二：涉及变上限函数的题目考点三：求定积分的方考点四：求几种特殊函数的定积分考点五：积分等式的证明考点六：判断广义积分收敛或发散第六章、定积分的应用考点：直角坐标系下已知平面图形，求面积及这个平面图形绕坐标走旋转一周得到的旋转体的体积第七章、向量代数与空间解析几何考点一：有关向量之间的运算问题考点二：求空间平面或直线方程考点三：确定直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系; 或已知位置关系求待定系数考点四：由方程识别空间曲面或曲线的类型考点五：写出旋转曲面方程和投影柱面方程第八章、多元函数的微分及应用考点一：求二元函数定义域考点二：求二元函数的复合函数或求复合函数的外层函数考点三：求多元函数的极限考点四：求简单函数的偏导数或某点导数考点五：求简单函数全微分或高阶偏导数考点六：复杂函数 ( 特别是含符号 f) 的求偏导数或全微分或高阶导数考点七：隐函数的求偏导数或全微分考点八：求空间曲面的切平面或法线方程 ; 求空间曲线的切线和法线方程考点九：求函数的方向倒数和梯度考点十：求二元函数的极值或极值点、驻点考点十一：多元函数有关概念的问题考点十二：二元函数最值的实际应用问题第九章、二重积分考点一：利用二重积分性质和几何意义等基本问题考点二：直角坐标系下计算二重积分考点三：直角坐标系下两种累次积分次序互换考点四：在极坐标系下计算二重积分第十章、曲线积分考点一：计算对弧长的曲线积分考点二：计算对坐标的曲线积分第十一章、无穷级数考点一：有关级数收敛定义和性质的题目考点二：指出数项级数的收敛、发散、条件收敛、绝对收敛考点三：确定幂级数在某点处是否收敛或发散考点四：求幂级数的收敛域或收敛区间考点五：利用公式把简单函数展开成幂级数考点六：求数项级数的和或幂级数的和函数第十二章、常微分方程考点一：涉及微分方程有关概念的基本问题考点二：求可分离变量的微分方程的通解和特解考点三：涉及可变量微分方程的实际应用问题考点四：求齐次微分方程的通解或特解考点五：求一阶线性微分方程通解考点六：求通解或特解考点七：求通解或特解考点八：设出通解或特解考点九：求通解或特解高数的复习知识点比较多，逻辑性比较强，大家在复习的时候一定要按照以上老师总结的考点重点的加以复习备考。

山东专升本教材高等数学2高等数学是专升本考试中的重要科目之一，对于山东地区的考生来说尤为重要。

本教材《高等数学2》旨在全面系统地介绍高等数学的相关知识，帮助考生平稳过渡到大学专业课程，提高他们的数学素养和解决问题的能力。

第一章导数与微分在高等数学的学习中，导数与微分是一个非常基础且重要的概念。

导数可以理解为函数的变化率，对于解决实际问题起到了至关重要的作用。

通过导数的计算，我们可以求得函数的极值、切线方程等信息。

微分是导数的基本运算，具体含义是函数在某一点上的变化量。

导数和微分是高等数学理论的基础，也是我们进一步学习其他数学知识的基石。

第二章不定积分不定积分是高等数学中另一个重要的概念，它的出现为我们解决一些复杂问题提供了便利。

不定积分与导数是相反的过程，可以理解为积分是导数的逆运算。

通过不定积分，我们可以求得函数的原函数，从而解决一些涉及面积、体积、质量等问题。

不定积分是高等数学的核心内容之一，需要我们掌握积分表、常用公式以及各种积分方法，以应对不同类型的问题。

第三章微分方程微分方程是数学中的重要分支，主要研究函数与其导数之间的关系。

微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类，常微分方程仅涉及自变量的单个变量，而偏微分方程涉及多个自变量。

微分方程具有广泛的应用，涉及到物理、化学、生物、经济等各个领域。

通过对微分方程的研究，我们可以揭示自然界的规律，并找到解决实际问题的方法。

第四章无穷级数无穷级数是高等数学中的一种数列，其求和结果在实际应用中具有重要意义。

数列是按一定规律排列的数值集合，无穷级数就是将这些数列的项全部相加。

我们通过研究无穷级数可以了解数列的收敛性和发散性，掌握判别级数收敛的方法，并能应用于一些实际问题的求解。

无穷级数是高等数学中的难点之一，需要我们具备较强的数学思维和逻辑推理能力。

总结《高等数学2》是山东专升本考试中的必备教材之一，通过学习本教材，考生可以全面系统地掌握高等数学的核心知识点。

第二章 导数与微分1、设函数⎩⎨⎧≥+<=)0(),1ln()0(,)(x x x x x f ，求)0(f 与)0(f '2、设⎩⎨⎧+=,,)(b ax e x f x 11>≤x x 在1=x 可导，试求a 与b3、求下列函数的导数 （1）32121x x x y ++=（2）x x y =（3）xe x y =（4）xxy sin 1cos +=（5）2)2(arcsin x y =（6）x y ln 1+=（7）)arctan(xe y =（8）)ln(22x a x y ++=（9）x y arccos =（10）212arctanxxy -=4、求下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数 （1）0=+-xy e e xy（2）0333=-+axy y x（3）)sin(y x x +=（4）xy e e xy=-5、设参数方程为⎩⎨⎧+==tt y te x t cos sin ，求dx dy6、求下列函数的二阶导数（1）113+=x y（2）xe y x=（3）)1ln(2x x y ++=（4）)sin(y x y +=7、求下列函数的微分 （1）)1(ln 2x y -=（2）x x y 2sin =（3）)ln(cos xe y =（4）x y arcsin =8、求下列方程所确定的隐函数)(x y y =的微分 （1）yxe y +=1（2）xy e e yx =-（3）xy y x =（4）22ln arctany x xy+=9、求下列极限（1）22)2(sin ln lim x xx -→ππ；（2）)0(lim ≠--→a a x a x nnmm a x（3）xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→（4）xxx 3tan tan lim2π→；（5）xarc x x cot )11ln(lim++∞→（6）)ln 11(lim 1xx x x --→（7）)sin 11(cot lim 0xx x x -→（8）xx x x 20)21(lim +→-（9）)1ln(arctan lim20x tdtxx +⎰→（10）21)(cos lim x x x →10、求下列函数的单调区间 （1）)1ln(x x y +-=（2）)0(82>+=x xx y（3）)1ln(2x x y ++=11、求下列函数的极值（1）3223x x y -=（2）x x y 33-=（3）)1ln(x x y +-=12、求下列函数的最大值和最小值 （1）40,≤≤+=x x x y（2）31,2824≤≤-+-=x x x y13、求下列函数的凹凸区间和拐点 （1）24334+-=x x y（2）x xe y -=（3）xe x y ++=4)1(14、证明下列不等式（1）当0>x 时，1)1ln(+>+x x x（2）)0(211cos 2>->x x x（3）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++（4）当4>x 时，22x x >15、试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处取得极值，并求此极值。