高数第二章导数与微分知识点总结
第一节 导数
1．基本概念 （1）定义
0000000000
()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y
f x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或
注：可导必连续，连续不一定可导.
注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数
0'00000
0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x -
--∆→→+∆--==∆-. 0
'00000
0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +
++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.
（3）导数的几何应用
曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.
法线方程：0001
()()'()
y f x x x f x -=-
-. 2．基本公式
（1）'0C = （2）'
1
()a a x ax -=
（3）()'ln x
x
a a a =（特例()'x
x
e e =）（4）1
(log )'(0,1)ln a x a a x a
=
>≠
（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-
（7）2(tan )'sec x x = （8）2
(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-
（11
）(arcsin )'x =
（12
）(arccos )'x =
（13）21(arctan )'1x x =
+ （14）2
1
(arccot )'1x x =-+ （
15[ln(x +
=
3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则
()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2
''
()'u u v uv v v
-= （2）复合函数求导法则--链式法则
设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.
例5 求函数2
1
sin x
y e
=的导数.
（3）反函数的求导法则
设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则
11
'()'()'(())
g y f x f g y =
=. （4）隐函数求导
设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'
''x y
F y F =-.
（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数
二阶以上的导数为高阶导数. 常用的高阶求导公式： （1）()
()
ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =
（2） ()
(sin )sin()2n n kx k kx n π
=+
（3）()
(cos )
cos()2n n kx k kx n π
=+
（4）()
1
(1)!
[ln(1)]
(1)(1)n n n
n x x --+=-+
（5）()
()
(1)(2)
(1)k n k n x k k k k n x -=---+
（6）莱布尼茨公式：()
()()
()
n
n k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v == 第二节 微分
1．定义
背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.
定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数
()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.
注：,y dy x dx ∆≠∆= 2．可导与可微的关系
一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =. 3．微分的几何意义 4．微分的计算
（1）基本微分公式'()dy f x dx =. （2）微分运算法则
②四则运算法则
()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2
()u vdu udv
d v v -=
②一阶微分形式不变
若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；
若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.
练习题
1、求下列函数的导数。
（1）
223)1(-=x x y ； （2）x
x y sin =
； （3）bx e y ax
sin =； （4）)ln(2
2a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x
x y )1(+=。
2、求下列隐函数的导数。 （1）
0)cos(sin =+-y x x y ；
（2）已知,e xy e y
=+求)0(y ''。 3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数
dx dy
与二阶导数2
2dx y d 。
4、求下列函数的高阶导数。 （1）
,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。
5、求下列函数的微分。 （1）
)0(,>=x x y x ； （2）2
1arcsin x
x y -=
。
6、求双曲线122
22=-b
y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。
7、用定义求
)0(f '，其中
⎪⎩⎪⎨⎧=,
0,1sin )(2
x
x x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-=
)37)(1(222--=x x x 。
