导数与微分单元归纳

学科：数学

教学内容：导数与微分单元达纲检测

【知识结构】

【内容提要】

1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念．

函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x

y

∆∆的极限，即

x

x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)

()(lim

lim

)('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．

3．函数的微分

函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ．

微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx

dy

x f =

)('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1

Q m mx

x m m

∈=-；

(sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x

x e e =)'(， a a a x

x

ln )'(=；

x x 1)'(ln =

， e x

a x

a log 1)'(log =。

(2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0('

''2

≠-=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛v v

uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ϕ=，

则)(')(''''x u f u y y x u x ϕ⋅=⋅=． 5．导数的应用

(1)切线的斜率

根据导数的几何意义，函数f(x)在点0x 处的导数就是曲线f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。 (2)函数的单调性

当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f ＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f ＇(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。 (3)函数的极值

对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；

1°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么，)(0x f 是极大值； 2°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么，)(0x f 是极小值.

可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数

3)(x x f =，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．

(4)函数的最值

闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为： 1°．求函数f(x)在(a ，b)内的极值；

2°．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

【难题巧解点拨】 例1 已知函数)

2lg()(ax a x f -=（a>0且a ≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a 的取

值范围。

分析

因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f ′(x)<0。由不等式f ′(x)<0求出a 的取值范围。 解 0lg 21)(')

2lg(<-⋅

=-a a

x a

x f ax ，

由0)

2lg(>-ax a

得

⎪⎩⎪⎨⎧>-<020lg a x a （1） 或⎪⎩

⎪⎨

⎧<->020lg a x a （2） ∵0≤x ≤1，∴不等式（1）无解 因而知a>1，又由a

x 2

< ∴1

点拨 本题是已知函数的单调性求字母范围的问题，对于可导函数，利用导数来研究单调性是一种普遍适用的方法。

例2 若不等式a x x ->-243

4

对任何实数x 都成立，求实数a 的取值范围。

分析 要使原不等式对一切实数x ∈R 均成立，只要3

44x x -的最小值大于2－a 。问题归结为求3

44x x -在区间（－∞，+∞）上的最小值。

解 令3

4

4)(x x x f -=，则)3(4124)('2

2

3

-=-=x x x x x f 。 令f ′(x)=0，得x=0或x=3。

当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：

由表可知3

44)(x x x f -=的最小值为－27。 从而－27>2－a ，故a>29。

点拨 对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>[f(x)]的最大值；a

【课本习题解答】 复习参考题三（P145）

A 组

1．（1）33'2

-=x y ；

（2）x

x x

y 2121'+

=

；

（3）2

3223)

1()23(3)1)(26('-----=x x x x x x y （4）)32)(12()43(4'2

2

+-+-+=x x x x x y ；

（5）)13()2(6)13()2(3'3

2

2

+-++-=x x x x y

)35)(13()2(32

-+-=x x x ；

（6）1

2)85)(4()4(121

2)4('2+++=

+++++=

x x x x x x x y 。

2．（1）x x x y 2

sec 2tan 2'+=； （2）)

1(sin )

1cos()1()1sin('2-----=

x x x x y ；

（3）x e x e y x x

sin cos 2'22-=；

（4）2

323)

1(]

3ln )1[('+-+=x x a x a y x ；