导数与微分单元归纳

学科：数学教学内容：导数与微分单元达纲检测【知识结构】【内容提要】1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念．函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比xy∆∆的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(limlim)('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．3．函数的微分函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ．微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dxdyx f =)('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。

4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1Q m mxx m m∈=-；(sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； xx e e =)'(， a a a xxln )'(=；x x 1)'(ln =， e xa xa log 1)'(log =。

(2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0('''2≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v vuv v u v u 。

(3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ϕ=，则)(')(''''x u f u y y x u x ϕ⋅=⋅=． 5．导数的应用(1)切线的斜率根据导数的几何意义，函数f(x)在点0x 处的导数就是曲线f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线斜率。

因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。

(2)函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f ＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f ＇(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。

(3)函数的极值对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；1°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么，)(0x f 是极大值； 2°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么，)(0x f 是极小值.可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数3)(x x f =，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．(4)函数的最值闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为： 1°．求函数f(x)在(a ，b)内的极值；2°．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

【难题巧解点拨】 例1 已知函数)2lg()(ax a x f -=（a>0且a ≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a 的取值范围。

分析因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f ′(x)<0。

由不等式f ′(x)<0求出a 的取值范围。

解 0lg 21)(')2lg(<-⋅=-a ax ax f ax ，由0)2lg(>-ax a得⎪⎩⎪⎨⎧>-<020lg a x a （1） 或⎪⎩⎪⎨⎧<->020lg a x a （2） ∵0≤x ≤1，∴不等式（1）无解 因而知a>1，又由ax 2< ∴1<a<2。

点拨 本题是已知函数的单调性求字母范围的问题，对于可导函数，利用导数来研究单调性是一种普遍适用的方法。

例2 若不等式a x x ->-2434对任何实数x 都成立，求实数a 的取值范围。

分析 要使原不等式对一切实数x ∈R 均成立，只要344x x -的最小值大于2－a 。

问题归结为求344x x -在区间（－∞，+∞）上的最小值。

解 令344)(x x x f -=，则)3(4124)('223-=-=x x x x x f 。

令f ′(x)=0，得x=0或x=3。

当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：由表可知344)(x x x f -=的最小值为－27。

从而－27>2－a ，故a>29。

点拨 对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>[f(x)]的最大值；a<f(x)恒成立，则a<[f(x)]的最小值。

因此将问题归结为求函数的最大值或最小值。

【课本习题解答】 复习参考题三（P145）A 组1．（1）33'2-=x y ；（2）xx xy 2121'+=；（3）23223)1()23(3)1)(26('-----=x x x x x x y （4）)32)(12()43(4'22+-+-+=x x x x x y ；（5）)13()2(6)13()2(3'322+-++-=x x x x y)35)(13()2(32-+-=x x x ；（6）12)85)(4()4(1212)4('2+++=+++++=x x x x x x x y 。

2．（1）x x x y 2sec 2tan 2'+=； （2）)1(sin )1cos()1()1sin('2-----=x x x x y ；（3）x e x e y x xsin cos 2'22-=；（4）2323)1(]3ln )1[('+-+=x x a x a y x ；（5）4)42()442(444242'22222222+++++=+-+-⋅++=x x x x x x xx x x y ；（6）xx xy sin cos 1'++=。

3．（1）提示：由y ′=0，得所求点为⎪⎭⎫⎝⎛313,31 （2）提示：由y ′=1，得所求点为⎪⎭⎫ ⎝⎛417,61。

4．提示：由y ′=0，得切点的横坐标为2Px -=；又由y=0，得0442=-P P 。

5．提示：由12-=x y ，得x y x 2'=；由31x y -=，得23'x y x -=。

（1）由20032x x -=，得00=x 或320-=x ； （2）由1)3()2(211-=-⋅x x ，得3161=x 。

6．提示：割线斜率为5，由y ′=5，得所求点为（2，5）。

7．（1）dx x x dy )2(42-=；（2）dy=2sinx cosxdx ；（3）dx xx dy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x 2ln2 ln 2； （4）dx xx dy cos sin 1=。

8．质点的速度为16137。

9．（1）由S=0，得01=t ，82=t ； （2）由S ′=0，得01=t ，42=t ，83=t 。

10．（1）当x ∈R 时，y 是减函数。

（2）当x ∈(－∞，－1)时，y 是减函数；当x ∈(－1，0)时，y 是增函数；x ∈(0，2)时，y 是减函数；当x ∈(2，+∞)时，y 是增函数。

（3）当x ∈(－∞，－1)时，y 是增函数；当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈31,1x 时，y 是减函数；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,31x 时，y 是增函数。

11．（1）8)1(==f y 极大值，26)3(-==f y 极小值。

（2）92)4(=-=f y 极大值，16)2(-==f y 极小值。

（3）24)2(-=-=f y 极大值，24)2(==f y 极小值。

（4）0)0(==f y 极小值。

12．（1）y 的最大值是8，最小值是－1； （2）y 的最大值是2，最小值是－10；13．提示：如图ABCD 是球内接圆柱的轴截面，BD=2R ，设圆柱的高为x ，则圆柱底面半径22x R 421r -=，圆柱的体积)R 2x 0(x )x R 4(4x r )x (V 222<<-π=π=。

令0)x 3R 4(4)x ('V 22=-π=，解得R 332x =（负值舍去）。

因为V(x)只有一个极值，所以当圆柱的高为R 332时，球内接圆柱的体积最大。

（2）提示：如图，△ABC 是球内接圆锥的轴截面，设圆锥的高AD 为x ，则圆锥底面半径)x R 2(x r -=，圆锥的体积)R 2x 0)(x R 2(x 3x r 31)x (V 22<<-π=π=。

令)x 3Rx 4(3)x ('V 2-π=，解得R 34x =（负值舍去）。

因为V(x)只有一个极值，所以当圆锥的高为R 34时，球内接圆锥的体积最大。

14．提示：设靠墙的边长为x ，则垂直于墙的边)x 40(21a -=，矩形的面积)40x 0)(x 40(x 21)x (S <<-=。

令S ′(x)=20－x=0，解得x=20。

因为S(x)只有一个极值，所以当靠墙的边长为20m 时，围成的场地面积最大。

15．提示：设圆半径为x ，如果矩形高记作h ，那么窗户面积hx 22x s 2+π=，窗户周长xsx x x x s x x h x x x l ++=-++=++=22422222)(2ππππ。

令0xs22)x ('l 2=-+π=，解得42+=πs x （负值舍去）。

因为l(x)只有一个极值，因此4x x 2x +=为最小值点，相应地，14444x4s 2x 4x s 2x h 222=π-+π=π-=π-=，所以圆半径与矩形高的比为1时，窗户周长最小。

B 组1．（1）x 7cos x 4cos x 3sin 12'y 23=；（2）2x 2xe e 'y --=；（3）a ln a 2'y 1x 2+=；（4）2)1x (xln 'y +=； （5）)ax 2x (ax 2x a 'y 222---=；（6）22a x 'y +=。

2．（1）当x ∈（－∞，0）与x ∈(0，+∞)时，y 是减函数。

（2）当x ∈(－∞，－3)，x ∈(－3，3)与x ∈(3，+∞)时，y 是减函数。

（3）当x∈(0，+∞)时，y是增函数。

3．（1）⎪⎭⎫⎝⎛π-=+π-=⎪⎭⎫⎝⎛π-=67fy,231211611fy极小值极大值2312565f-π=⎪⎭⎫⎝⎛π=。