人教版九年级上册数学24章圆-切线的性质与判定的综合应用

《切线的判定和性质》说课稿

各位评委、各位老师:

大家好!

我说课的内容是《切线的判定和性质》。我将从教材分析、学情分析、目标重难点分析、教法学法分析、教学过程、五个方面阐述我对本节课的设计意图。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节内容选自九上册第二十四章《圆》24.2《直线和圆的位置关系》的第二课时《切线的判定和性质》。本课时内容是在学习了直线与圆的位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的条件，并为探究切线长定理而作准备的，它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用。因此，它是几何学习中必不可少的知识工具。

2、本课主要知识点

（1）切线的判定定理

（2）切线的性质定理

3、教材整改

结合教学实际及中考要求，我对教材内容略作了调整。当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，我特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，总结例1主要是连半径、证垂直；例2主要是作垂直、证半径。帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，达到学以致用。同时我对学案也作了调整，将在后面的学习过程中得以具体的体现。

二、学情分析

1、已有的知识能力

学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质，切线的定义等。

2、已有的数学能力

具有初步的逻辑推理能力等。

3、已有的学习能力

预习能力、小组合作能力、讲解能力、概括总结能力，评价能力等。

三、目标、重难点分析

基于上述情况，结合《新课程标准》和我校学生的实际情况，特制定了如下教学目标。

（一）目标分析

1、知识与技能 （1）能判定一条直线是否为圆的切线．

（2）切线的性质定理的应用

2、过程与方法

（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．

（2）通过切线的判定定理和性质定理的学习，提高学生的综合运用能力。

3、情感态度与价值观

人教版2021年九年级数学上册同步练习

圆-切线的性质与判定

一、选择题

1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度

数为( )

A．32° B．31° C．29° D．61°

2.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的

延长线于点D，则∠D的度数是（ ）

A．25° B．40° C．50° D．65°

3.如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A度数为

（ ）

A.40° B.35° C.30° D.25°

4.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长

线于点E，则∠E等于（ ）

A.40° B.50° C.60° D.70°

5.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（ ）

A.50° B.60° C.70° D.70°6.如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则⊙C半径为（ ）

A.2.6 B.2.5 C.2.4 D.2.3

7.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若∠AOB=90°，若OA=4，

则图中圆环的面积大小为（ ）

A.2π B.4π C.6π D.8π

8.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则

PA的长为( )

A．2 B． C． D

．

9.如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，

则下列等式：

①∠EDF=∠B； ②2∠EDF=∠A＋∠C；

③2∠A=∠FED＋∠EDF； ④∠AED＋∠BFE＋∠CDF=180°.

其中成立的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10.如图，⊙O过正方形ABCD的顶点AB且与CD边相切，若AB=2，则圆的半径为（ ）

A

． B

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【学习目标】 九年级数学上册

第 24 章《圆》知识点梳理

1. 理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，

探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2. 了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3. 了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4. 了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

5. 结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；

通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角

1. 圆的定义

(1) 线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2. 圆的性质

(1) 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心 2 / 41 1 2 n 是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

人教版数学九年级上册 24.2.2 切线的性质与判定（教案）

一、教学内容

人教版数学九年级上册 24.2.2 切线的性质与判定：

1. 理解并掌握切线的定义；

2. 掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线；

3. 掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；

4. 学会运用切线的性质解决有关切线长度、角度等问题；

5. 能够运用切线的判定解决实际问题，如求直线与圆的位置关系。

二、核心素养目标

1. 培养学生的直观想象能力，通过观察和操作，让学生感知切线与圆的关系，形成对切线概念的直观认识；

2. 提升学生的逻辑推理能力，通过探索切线的判定和性质，学会运用逻辑推理方法解决问题；

3. 增强学生的数学建模能力，使学生能够运用切线的性质和判定解决实际问题，建立数学模型；

4. 培养学生的数学运算能力，让学生在解决切线相关问题时，熟练运用相关公式和定理，提高解题效率；

5. 培养学生的数据分析能力，通过对实际问题的研究，学会收集、整理和分析数据，为解决问题提供依据。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 切线的定义：明确切线是与圆只有一个公共点的直线，强调切点在圆上。

- 切线的判定定理：掌握经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线，理解垂直与半径的关系。

- 切线的性质：理解并掌握圆的切线垂直于过切点的半径，以及切线与圆的相切关系。

- 实际问题中的应用：学会将切线的性质和判定定理应用于解决直线与圆的位置关系问题。

举例解释：

(1) 通过图形演示和实际操作，让学生理解切线的定义，强调切线与圆只有一个交点。

(2) 通过具体例题，如给定一个圆和一点，让学生画出经过该点且为圆的切线，从而加深对切线判定定理的理解。

(3) 通过分析切线与过切点的半径的垂直关系，让学生明白切线的性质，并能够应用这一性质解决相关问题。

2. 教学难点

- 切线判定定理的理解：学生可能难以理解为什么经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.2 直线和圆的位置关系

（第2课时）

一、教学目标

【知识与技能】

能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。

【过程与方法】

经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯.

【情感态度与价值观】

体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时,共3课时。

四、教学重难点

【教学重点】

切线的判定定理及性质定理的探究和运用.

【教学难点】

切线的判定定理和性质的应用. 五、课前准备

课件、图片、圆规、直尺等.

六、教学过程

（一）导入新课

教师问：转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）

学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．

（二）探索新知

探究一 切线的判定方法

教师问：如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4）

学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．

由d=r得到直线l是⊙O的切线．

教师问：已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）

教师作图,学生观察并思考：

（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?

（2）二者位置有什么关系？为什么？

出示课件6：教师归纳:

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

应用格式:

∵OA为⊙O的半径,BC⊥OA于A,

∴BC为⊙O的切线.

教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是,请说明为什么？（出示课件7）

学生观察交流后口答：(1)不是,因为没有垂直.

(2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.

教师强调：在切线的判定定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.

1 人教版九年级数学上册第二十四章 圆

24.1 圆的有关性质

一：考点归纳

考点一、圆

在一个平面内，一条线段 OA绕它的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫作

圆 . 圆心：固定的端点叫作圆心.

半径：线段 OA的长度叫作这个圆的 半径

.

（1） 圆的表示方法：以点 O为圆心的圆，记作“ ⊙O ”，读作“圆 O”. 同

圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.

考点二、垂直于弦的直径

（1） 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ，圆有 无数 条对称轴.

（2） 垂直于弦的 直径 平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径 垂直 于弦，并且

平

分 弦所对的弧.

考点三、弧、弦、圆心角

（1） 顶点在圆心的角叫做 圆心角 .

（2） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也 相等 .

（3） 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

考点四、圆周角

（1） 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.

2 （2）

同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的

一半

.

（3） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半 .

（4） 半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ，90°的圆周角所对的弦是 直径 .

（5） 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 圆内接多边形 ，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的 对角互补 .

二：【题型归纳】

【题型一】圆

1．下列说法正确的是（ ）

①弦是圆上两点间的部分；

②直径是弦；

③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；

圆

1．圆的定义

（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，

另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O

叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。

（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集

合，定点为圆心，定长为圆的半径。

说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半

径相等的两个圆为等圆。

2．圆的有关概念

（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中

的CD）。

（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。

直径等于半径的2倍。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。

其中大于半圆的弧叫做优弧

（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。

3．与圆相关的角

（1）与圆相关的角的定义

①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角

②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。

（2）与圆相关的角的性质

①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

③同弧或等弧所对的圆周角相等；

④半圆（或直径）所对的圆周角相等；

⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；

⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

【例1】 下面四个命题中正确的一个是（ ）

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B．过弦的中点的直线必过圆心

C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D．弦的垂线平分弦所对的弧 圆的认识

九年级数学上册第二十四章圆重点知识归纳

单选题

1、已知⊙𝑂的直径𝐶𝐷=10cm，𝐴𝐵是⊙𝑂的弦，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，垂足为𝑀，且𝐴𝐵=8cm，则𝐴𝐶的长为（ ）

A．2

√

5cmB．4

√

3cmC．2

√

5cm或4

√

5cmD．2

√

3cm或4

√

3cm

答案：C

分析：先画好一个圆，标上直径CD

，已知AB

的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB

与OD

相交，第

二种情况AB

与OC

相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC

的长；

连接AC

，AO

，

∵圆O

的直径CD

=10cm，AB

⊥CD

，AB

=8cm，

∴AM

=1

2AB

=1

2×8=4cm，OD

=OC

=5cm，

当C

点位置如图1所示时，

∵OA

=5cm，AM

=4cm，CD

⊥AB

，

∴OM

=√𝑂𝐴

2

−𝐴𝑀

2

=√52

−4

2

=3cm，

∴CM

=OC

+OM

=5+3=8cm，

∴AC

=√𝐴𝑀

2

+𝐶𝑀

2

=√42

+8

2

=4

√

5cm；

当C

点位置如图2所示时，同理可得OM

=3cm，

∵OC

=5cm，

∴MC

=5−3=2cm，

在Rt△AMC

中，AC

=√𝐴𝑀2

+𝐶𝑀

2

=√42

+2

2

=2

√

5cm．

故选C．

小提示：本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．

2、如图，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐴𝐶𝑂=22.5°,𝐵𝐶=8，若扇形OBC

（图中阴影部分）正好是一个

圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ）

A．

√

6B．2

√

6C．

√

15D．

√

30

答案：D

分析：根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径OB

，再根据扇形的弧长公式即可求解；

解：根据圆的性质，∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐴

∵∠𝐴+∠𝐴𝐵𝑂+∠𝑂𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝑂+∠𝑂𝐶𝐵=180°，

∠𝑂𝐵𝐶+∠𝐵𝑂𝐶+∠𝑂𝐶𝐵=180°

∴∠𝐴+∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐵𝑂𝐶

圆

一、知识回顾

圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）

二、知识要点

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内；

2、点在圆上  dr  点B在圆上；

3、点在圆外  dr  点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点；

2、直线与圆相切  dr  有一个交点；

3、直线与圆相交  dr  有两个交点； rddCBAO

drd=rrd

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点  dRr；

外切（图2） 有一个交点  dRr；

相交（图3） 有两个交点  RrdRr；

内切（图4） 有一个交点  dRr；

内含（图5） 无交点  dRr；

图1rRd 图3rRd

九年级数学上册第二十四章圆基础知识点归纳总结

单选题

1、如图，AB

是⊙O

的直径，PA

与⊙O

相切于点A

，∠ABC

＝25°，OC

的延长线交PA

于点P

，则∠P

的度数是( )

A．25°B．35°C．40°D．50°

答案：C

分析：根据圆周角定理可得∠𝐴𝑂𝐶=50°，根据切线的性质可得∠𝑃𝐴𝑂=90°，根据直角三角形两个锐角互余

即可求解．

∵𝐴𝐶⌢

=𝐴𝐶⌢

，∠ABC

＝25°，

∴∠𝐴𝑂𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶=50°，

∵ AB

是⊙O

的直径，

∴ ∠𝑃𝐴𝑂=90°，

∴∠𝑃=90°−∠𝐴𝑂𝐶=40°．

故选C．

小提示：本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．

2、已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（ ）

A．36πcm2

B．24πcm2

C．16πcm2

D．12πcm2

答案：B

分析：利用圆锥侧面积计算公式计算即可：𝑆

侧=𝜋𝑟𝑙；

𝑆

侧=𝜋𝑟𝑙=𝜋×4×6=24𝜋 cm2

，

故选B．

小提示：本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．

3、圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）

A．90°B．100°C．120°D．150°

答案：C

分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．

解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是𝑛°，

由题意得：𝑛⋅3𝜋

180=2𝜋×1，

解得𝑛=120，

则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，

故选：C．

小提示：本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．

4、如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，CD

是⊙𝑂的直径，∠𝐴𝐶𝐷=40°，则∠𝐵=（ ）

A．70°B．60°C．50°D．40°

答案：C

分析：由CD

是⊙O

的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD

第24章 圆 章末数学活动 探究四点共圆的条件（教案）2022-2023学年人教版九年级数学上册

一、教学内容

第24章 圆 章末数学活动 探究四点共圆的条件

1. 探究四点共圆的定义及性质；

2. 掌握四点共圆的判定方法；

3. 应用四点共圆性质解决实际问题；

4. 举例说明四点共圆在生活中的应用。

以人教版九年级数学上册第24章圆为基础，围绕四点共圆的概念，引导学生通过观察、分析、归纳、总结，掌握四点共圆的条件及其性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。同时，通过实际例子的讲解，让学生了解四点共圆在现实生活中的应用，提高学生的知识运用能力。

二、核心素养目标

1. 培养学生的几何直观与空间想象能力，通过探究四点共圆的条件，使学生能够理解和运用圆的基本性质，形成对圆的深入认识；

2. 发展学生的逻辑思维与推理能力，引导学生从特殊到一般，归纳总结四点共圆的判定方法，并能运用这些方法解决相关问题；

3. 增强学生的问题解决能力，通过实际案例分析，让学生学会将四点共圆的知识应用于解决现实生活中的几何问题，提高数学应用意识；

4. 培养学生的合作交流能力，在小组讨论与分享中，促进学生对四点共圆条件的理解，学会倾听、表达与协作，形成良好的学习习惯和团队精神。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 四点共圆的定义及其性质：理解四点共圆的概念，掌握其性质，如圆内接四边形对角互补、圆外接四边形对角相等。

- 四点共圆的判定方法：掌握利用圆内接四边形、圆外接四边形的性质来判定四点共圆的方法。

- 实际问题的解决：将四点共圆知识应用于解决几何问题，如求四边形面积、角度计算等。

举例：讲解四点共圆时，重点强调圆内接四边形对角互补的性质，以及如何运用这一性质解决具体问题。

2. 教学难点

- 四点共圆判定方法的灵活运用：学生对判定方法的掌握程度不同，如何运用这些方法解决不同类型的题目是教学的难点。

- 空间想象能力的培养：学生在理解四点共圆时，需要具备一定的空间想象能力，这对部分学生来说是一大挑战。

确定圆的位置确定圆的大小

圆的切线垂直于过切点的半径经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线需考虑相离与内含两种情况需考虑内切与外切两种情况以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形圆心半径在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧直径是同一圆中最长的弦三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等三角形的外接圆有且只有一个三角形内心是三角形三个角角平分线的交点，它到三角形三边距离相等三角形的内切圆有且只有一个圆内接四边形的对角互补平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度有弧中点，连中点和圆心，通过垂直平分线的相关知识解题在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径点在圆上(点P在的圆周上)点在圆内(点P在的内部)点在圆外(点P在的外部)相离（直线l与相离）相切（直线l与相切）相交（直线l与相交）性质判定从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角外离（两圆外离）外切（两圆外切）相交（两圆相交）内切（两圆内切）内含（两圆内含）若两个圆没有公共点若两个圆只有一个公共点内角和内角外角中心角弧长公式扇形面积公式圆锥体表面积公式概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径表示特点确定圆的条件概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧表示易错点概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦注意事项概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形性质概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形性质概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形性质圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线圆是中心对称图形垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论常见辅助线作法定理推论定理推论设的半径为r，圆心O到点的距离为d设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d切线的性质及判定切线长定理设的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d易错点概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形求正n边形有关的角设的半径为R，n°圆心角所对弧长为l圆弧弦三角形的外接圆三角形的内切圆圆内接四边形对称性垂径定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆周角定理点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系正多边形圆锥基础概念圆的基本性质与圆有关的位置关系正多边形与圆第二十三章 圆

第二十四章 圆

单元要点分析

教学内容

1．本单元数学的主要内容．

（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．

（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．

（3）正多边形和圆．

（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．

2．本单元在教材中的地位与作用．

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．

教学目标

1．知识与技能

（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．

2．过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

第二十四章 圆

一、圆的有关概念及表示方法

（一）圆的定义

1、描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

（二）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⨀O，读作“圆O”。

（三）圆具有的特性

1、圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）。

2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。

（四）圆的有关概念

1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。以AC为端点的弦，记作：弦AC。

注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。

2、弧

2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。以A、B为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC 。 注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。

（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。

3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。

5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。

二、圆的有关性质

（一）垂直于弦的直径

1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 2、垂径定理及其推论（知二推三）；

名称 文字语言 符号语言

1 / 10 学员姓名：_______ 年级：__________ 所授科目：___数学__________

上课时间：____ 年 月 日_ ___时 分至__ __时_ __分共 ___小时

老师签名 唐熠 学生签名

教学主题 圆

上次作业检查 完成很好

本次上课表现

本次作业

授课内容： 圆的相关概念，基础知识

板块一：圆的有关概念

一、圆的定义：

1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．

2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”．

3 同圆、同心圆、等圆：

圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.

注意：同圆或等圆的半径相等．

二、弦和弧

1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．

3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以AB、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．

5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

三、圆心角和圆周角

1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.2 直线和圆的位置关系

（第3课时）

一、教学目标

【知识与技能】

理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.

【过程与方法】

利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.

【情感态度与价值观】

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力.

二、课型

新授课

三、课时

第3课时,共3课时。

四、教学重难点

【教学重点】

切线长定理及其应用.

【教学难点】

内切圆、内心的概念及运用.

五、课前准备 课件、图片、圆规、直尺等.

六、教学过程

（一）导入新课

同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间,你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）

（二）探索新知

探究一 切线长定理及应用

教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线,可以作几条？（出示课件4）

学生思考,尝试作图并解答．

出示课件5:出示定义:

切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．

教师问：切线长与切线的区别在哪里？

学生思考后师生共同总结：

①切线是直线,不能度量.

②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量．

教师问：PA为☉O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？（出示课件6）

学生思考后,尝试利用图形轴对称性解释.

教师归纳：（出示课件7）

切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

几何语言:

∵PA、PB分别切☉O于A、B, ∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.