对称性与积分计算

浅谈定积分的对称性周莉学号:09003035（巢湖学院数学系安徽巢湖 238000）摘要：定积分在积分学中占有非常重要的位置，而且它的计算相对来说比较的麻烦，所以为了使定积分的有关计算变得简单一点，我们需要用到定积分的一些性质。

本文在原有的学习的相关知识的基础上，归纳总结了对称性在积分运算中的应用，同时也给出了对称性在定积分以及二重积分运算中的有关定理、推论和一些应用。

在本文中充分地体现了在积分运算中定积分的对称性所带来的方便，使其达到了简化积分运算的目的。

这个对于积分运算的解答和数学理论的研究来说，都有着非常重要的意义。

关键词：定积分；对称性；奇函数；偶函数On the Symmetry of the Definite IntegralZhou Li StuNo:09003035（Department of Mathematics,Chaohu college, Chaohu Anhui 238000）Abstract:The definite integral in the integral calculus occupied a very important position, andits calculating relatively trouble, so we need to use some properties of definite integral to make some more complex computation became simplified. This paper USES mathematical analysis of the integral summarized the application in the integral computation symmetry, and gives the symmetryin definite integral, the double integral operation related theorem and application. Fully embodiesthe symmetry in the integral operation bring convenience, achieved the purpose of simplified integral operation. This point for mathematical theory research and integral computation solutionsare of significance.Keyword：definite integral; symmetry; odd function; even function引言数学的对称美是解决数学难题的关键，同时也为数学研究提供了一种独特的方法。

对称法在积分计算中的应用1 引言积分学的萌芽、发生和发展经历了一个漫长的时期.古希腊的数学家阿基米德所做的工作及《抛物线求积法》是积分学产生的标志.在16世纪中叶，开普勒发展了阿基米德求面积和体积的方法，法国的帕斯卡和费马，英国的沃利斯和巴罗为积分学的发展奠定了基础.在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨最终创立了积分学.我们知道，定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的图形的面积而产生的，通过积分计算也可以求出曲顶柱体的体积，曲面的面积等.积分学不仅应用于数学，它也可以应用与经济学和物理学，比如说计算变力作功，引力和转动惯量等.积分的计算可以归结为计算具有特定结构的和式的极限.但是有时应用常规计算方法过程会很复杂.数学的对称美很多时候是解决数学难题的关键，往往可以使复杂的计算简化，使计算的准确率大幅度提高.在积分的计算中，可以通过被积函数或积分区间（区域）的对称性，找到计算积分的简洁方法.2 定积分利用对称法计算定积分，不仅可以简化对称区间上的奇、偶函数的定积分和对称区间上的非奇非偶函数的定积分的计算，还可以简化非对称区间上的定积分的计算.定理 2.1设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是连续函数，当)(x f 是奇函数时，0)(=⎰-aadx x f ；当)(x f 是偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.（证明略）例 2.1 计算积分dx xx x x I ⎰--++=112211cos 2.解 令)()()(21x f x f x f +=，221112)(xx x f -+=，2211cos )(xx x x f -+=，可知)(1x f 是偶函数)(2x f 是奇函数，由定理2.1得11211cos 11211cos 2112211211221122+-+=-++-+=-++=⎰⎰⎰⎰----dx xx dx xx x dx xx dx x x x x Iπ-=-+=--=-+=⎰⎰⎰⎰4)11(4)11(4112210210102221022dx x dx dx x x x dx xx . 定理2.2[]1 设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是不具有奇偶性的连续函数，则有[][]⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)()()()(21)(. 注：对于计算对称区间[]a a ,-上的非奇非偶函数)(x f 的定积分，只要)()(x f x f -+比)(x f 简单即可应用定理2.2.例2.2 计算积分dx exI x⎰-+=ππ1cos 2. 解 显然积分区间对称，被积函数不具有奇偶性，应用定理2.2得dx e x e e x dx e x e x dx e x I xx x x x x ⎰⎰⎰+++=+++=+=--ππππ0220222)1cos 1cos ()1cos 1cos (1cos21222cos 1cos 02+=+==⎰⎰πππdx x xdx . 定理2.3[]1 若函数)(x f 在积分区间上是连续函数，则有[]⎰⎰-++=ba badx x b a f x f dx x f )()(21)( 注：此定理应用于积分区间不对称，且被积函数不具有奇偶性的情况.例2.3 计算积分⎰+-+=312341dx x x x I .解 令t b a x -+=，由定理2.3得⎰⎰⎰+-=+-++-=+-+=31231231234621341521341dx x x dx x x x x dx x x x I ⎰⎰⎰⎰---=---=-⋅-=3131313111233123)1131(2331113dx x dx x dx x x dx x x2ln 233)12ln 2ln 1(231ln 233ln 233131-=+--=---=x x . 3 重积分3.1 二重积分利用对称法简化二重积分的计算，在一般情况下都要求积分区域D 具有对称性，且被积函数也具有对称性（即奇偶性）.但在特殊情况下，即使积分区域D 不具有对称性或者是被积函数不具有奇偶性，也能够通过一些技巧性的转化使其能够利用对称法简化积分的计算.定理3.1.1 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴对称，则 当),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰Ddxdy y x f ；当),(),(y x f y x f =-时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f （其中1D 是D 落在X 轴一侧的那部分区域）.当D 关于Y 轴对称时也有类似结论.（证明略）注：对于二元函数),(y x f ，若),(),(y x f y x f -=-，则称),(y x f 是关于变量y 的奇函数；若),(),(y x f y x f =-，则称),(y x f 是关于变量y 的偶函数.多元函数的奇偶性定义与其类似.例3.1.1 计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中1:≤+y x D . 解 显然积分区域D 关于X 轴对称，且),(),(y x f y x f -=-，由定理3.1.1得02==⎰⎰Dydxdy x I .定理3.1.2[]2设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴和Y 轴都对称（即若点D y x ∈),(则点D y x ∈-),(和D y x ∈-),(），则 当),(),(y x f y x f -=-或者),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(),(y x f y x f y x f =-=-时，⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D Ddxdy y x f dxdy y x f ，其中1D 是积分区域D 在第一象限的部分.例3.1.2 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=，其中1:≤+y x D .解 可知积分区域D 关于X 轴和Y 轴都对称，被积函数是关与x 与y 的偶函数，即有),(),(),(y x f y x f y x f =-=-.则由定理3.1.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=11144)(4D D D Dydxdy xdxdy dxdy y x dxdy y x I343232141410101010=+=+=⎰⎰⎰⎰--dx dy y dy dx x yx ， 其中0,0,1:1≥≥≤+y x y x D .定理 3.1.3 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，积分区域D 关于原点对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于原点对称.当),(),(y x f y x f -=--时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f =--时，dxdy y x f dxdy y x f D D⎰⎰⎰⎰=1),(2),(.（证明略）例3.1.3 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 显然，积分区域是圆域，关于原点对称，被积函数),(y x f 为关于变量x 和变量y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =--，由定理3.1.1和定理3.1.3得dxdy y x dxdy y x I D D )1625(4)1625(12222⎰⎰⎰⎰+=+=，其中1D 为D 在第一象限的部分利用极坐标变换：x r y x r x sin ,cos ==，可得)161251(4)16sin 25cos ()16sin 25cos (42202102220+=+=+=⎰⎰⎰πθθθθθθππd rdr r r d I . 注：此例题可等同于应用定理3.1.2，其实应用对称法简化积分计算时能应用定理3.1.2的一定能够应用定理3.1.3，但能应用定理3.1.3的不一定能应用定理3.1.2，因为若积分区域关于X 轴和Y 轴都对称则一定关于原点对称，而如果积分区域关于原点对称但不一定关于X 轴和Y 轴都对称.定理 3.1.4[]2 如果函数),(y x f 在积分区域D 上是连续函数，D 关于直线x y =对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于x y =对称.则有⎰⎰⎰⎰=DDdxdy x y f dxdy y x f ),(),(；⎰⎰⎰⎰=21),(),(D D dxdy x y f dxdy y x f ；当),(),(y x f y x f ---=时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f --=时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f .当D 关于直线x y -=对称时也有类似结论.例3.1.4计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 积分区域关于直线x y =对称，),(),(y x f y x f --=，由定理3.1.4得dxdy x y dxdy y x DD )1625()1625(2222+=+⎰⎰⎰⎰ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D dxdy x y dxdy y x dxdy y x I )1625()1625(21)1625(222222dxdy y x dxdy y x DD )()251161(21))(251161(212222⎰⎰⎰⎰++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)251161(4+=π. 对于积分区域对称而被积函数),(y x f 不具有奇偶性或者积分区域整体不具有对称性的情况，可经技巧性处理使之可利用对称法简化积分计算.例 3.1.5 计算积分⎰⎰+=Dd y x I σ)(，其中D 为抛物线2x y =、24x y =和直线1=y 所围成的区域.解 积分区域D 关于Y 轴对称，但),(y x f 是变量x 的非奇非偶函数，令y x y x f y x f y x f +=+=),(),(),(21，即x y x f =),(1，y y x f =),(2，可知 ),(1y x f 是关于x 的奇函数，),(2y x f 是关于x 的偶函数，则可由定理3.1.1得521222101===+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y D DDydx dy d y yd xd I σσσ，其中1D 为D 在Y 轴右侧的区域. 注：1. 一般积分区域D 具有对称性而被积函数为非奇非偶函数时，可以利用分项积分使之成为可用对称性简化计算.2. 一些积分区域整体不具有对称性的积分在一定条件下可将其划分为若干具有对称性的子域，则可利用对称性简化积分计算.3.2 三重积分利用对称法简化三重积分的计算大体可以分成以下几种情况：定理 3.2.1 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，Ω关于坐标平面yoz 对称，1Ω是坐标平面yoz 的前侧区域，则当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，0),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =-时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .当Ω关于坐标平面xoz 或者坐标平面xoy 对称时也有类似结论.（证明略）例3.2.1 计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于坐标平面xoy 对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.1得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 定理3.2.2[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于X 轴对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=--时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =--时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f ，其中1Ω是Ω位于X 轴一侧的区域.当Ω关于Y 轴或者Z 轴对称时也有类似的结论.例3.2.3计算积分⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z x I )(，其中Ω是由曲面22:y x Z Z +=与曲面221:y x Z Z --=所围成的区域.解 令z x z y x f +=),,(，x z y x f =),,(1，z z y x f =),,(2，可知对于),,(1z y x f ，有),,(),,(11z y x f z y x f -=-，由定理3.2.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+=+=+=zdxdydz zdxdydz xdxdydz dxdydz z x I 0)(利用球面坐标变换，得8sin cos 401220πϕϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r r d d I .定理 3.2.3[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于原点对称，即21Ω⋃Ω=Ω，1Ω，2Ω关于原点对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=---时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =---时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .例3.2.3计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于原点对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.3得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 在进行三重积分计算时，要善于观察被积函数和积分区域的特点，注意兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，恰当的利用对称法去简化计算，可以使三重积分问题的解答大大的简化.4 曲线积分4.1第一型曲线积分 定理4.1.1[]()7524P 曲线L 可以划分为两部分1L 和2L ，若点1X 和点2X 互为对称点并且分别在对称的两个部分1L 和2L 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰ds X f L当)()(21X f X f =时，⎰⎰=1)(2)(L Lds X f ds X f .例4.1.1 计算积分⎰=Lds y I 3，其中积分曲线1:=+y x L .解 积分曲线关于X 轴对称，且3),(y y x f =是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，则03==⎰ds y I L.例4.1.2 计算ds y I L⎰=，其中)()(:222222y x a y x L -=+.解 可知y y x f =),(是偶函数，并且积分曲线L 关于X 轴 和Y 轴对称，由定理4.1.1可得此积分计算时可只考虑第一象限部分的曲线积分即可，由极坐标，即θρθρsin ,cos ==y x ，则L 可以化为θρ2cos 22a =， 令42202πθπθρ=⇒=⇒=，又θθθρρd a d ds 2cos )(22='+=，则)221(42cos sin 442401-=⋅==⎰⎰a d a ds y I L θθθρπ， 其中1L 是L 在第一象限部分.4.2 第二型曲线积分定理4.2.1[]()7524P 设分段光滑的有向平面曲线L 关于X 轴对称，L 的上半平面部分1L 与下半平面部分2L 的方向相反，则当),(y x f 是关于y 的偶函数时，0),(=⎰dx y x f L；当),(y x f 是关于y 的奇函数时，ds y x f dx y x f L L⎰⎰=1),(2),(.当曲线L 关于Y 轴对称时，对于ds y x f L⎰),(有类似结论.例4.2.1 计算积分ydy x I L⎰=，其中L 是抛物线2x y =上点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧.解 因为L 是关于Y 轴对称，并且对称的两部分方向相反，被积函数是x 的偶函数，由定理4.2.1得0==⎰ydy x I L.5 曲面积分5.1 第一型曲面积分 定理5.1.1[]()7854若积分曲面S 可以分成对称的两个部分1S 和2S ，1X 和2X 对称且分别在1S 和2S 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰⎰ds X f S；当)()(21X f X f =时，ds Xf ds X f SS)(2)(1⎰⎰⎰⎰=.例5.1.1 计算积分ds xyz I S⎰⎰=，其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和平面1=z 之间的部分.解 显然积分曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称，并且被积函数是偶函数，由定理5.1.1可以只考虑积分在第一卦限的部分1S ，即⎰⎰=14S xyzds I ，由22y x z +=，x z x 2='，y z y 2='，dxdy y x ds 4412++=，则rdrr r r d dxdy y x y x xy I S ⋅+⋅⋅=+++=⎰⎰⎰⎰221220222241cos sin 4441)(41θθθπ42015125-=.5.2 第二型曲面积分定理5.2.1[]()7954设分片光滑的曲面S 关于坐标平面xoy 对称，且S 在坐标平面xoy 上半空间的部分曲面1S 取定上侧，在坐标平面xoy 的下半部分曲面2S 取定下侧，则当),,(),,(z y x f z y x f =-时，0),,(=⎰⎰Sds z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，⎰⎰⎰⎰=1),,(),,(S Sds z y x f ds z y x f .当分片光滑曲面S 关于坐标平面xoz 或者坐标平面yoz 对称时也有相似结论. 例5.2.1 计算积分dxdy zxdzdx ydydz I S⎰⎰+-=2，其中S 是锥面22y x z +=在平面1=z 和平面2=z 之间的外侧.解 显然，由定理5.2.1有0=⎰⎰Sydydz 和0=-⎰⎰Sxdzdx ，则πθπ215)(220212122222-=⋅-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤rdr r d dxdy y x dxdy z I y x S. 其实第一型曲线积分和第一型曲面积分、第二型曲线积分和第二型曲面积分应用对称性简化计算的方法很类似，而第一型曲线、曲面积分和第二型曲线、曲面积分在被积函数是奇函数或者偶函数时，相互抵消或者变为其中一部分积分区域的两倍时刚好相反，原因就在于第二型曲线积分和第二型曲面积分计算时需要考虑符号规则！6 轮换对称性定义6.1[]5 设对任意点Ω∈-),,,,(1211n n x x x x P Λ，Ω∈),,,,(1322x x x x P n Λ，······ Ω∈--),,,,(121n n n n x x x x P Λ，其中（n R ∈Ω）均成立，则称区域Ω是关于变量n x x x ,,,21Λ具有轮换对称性.例如球域2222R z y x ≤++关于z y x ,,具有轮换对称性.定义6.2[]5 若积分区域或者被积函数的表达式中，将变量z y x ,,按下列次序：y x →，z y →，x z →变换后，其表达式均不变，则称积分区域或被积函数关于变量z y x ,,具有轮换对称性.例如222z y x r ++=关于z y x ,,具有轮换对称性.轮换对称性经常应用于计算重积分和曲线积分、曲面积分中。

㊀㊀㊀１２５㊀㊀对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用Һ陈楚申１㊀廖小莲２㊀（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南㊀株洲㊀４１２０００；２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南㊀娄底㊀４１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘数学分析“是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是‘数学分析“的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．ʌ关键词ɔ二重积分；对称性；应用ʌ基金项目ɔ湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通 ２０１９ ２９１号Ｎｏ９２０）１㊀引㊀言二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在‘数学分析“中占据着重要的地位，对我们学习诸如‘概率论与数理统计“等后续课程至关重要，其在几何㊁力学等多方面都有着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２㊀文献综述积分学是‘数学分析“课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分㊁三重积分问题的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算．景慧丽㊁屈娜在文献［４］中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３㊀对称性在二重积分计算中的应用利用对称性计算二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形引理１㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０{}．例１㊀计算二重积分∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ２ｙ{}．解㊀因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．３．２㊀平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形引理２㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｙȡ０｝．㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀例２㊀计算二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解㊀由积分对区域的可加性，有∬Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．设区域Ｄ：０ɤｘɤ１，－ｘɤｙɤｘ，{区域Ｄ１：０ɤｘɤ１，０ɤｙɤｘ，{则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２是关于ｙ的偶函数，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上面的引理知，∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，所以原二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝ʏ１０ｄｘʏｘ０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．３．３㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形引理３㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０{}．例３㊀计算二重积分：∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ的范围是ｘ＋ｙɤ１．解㊀区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０｝．３．４㊀平面区域Ｄ是关于原点对称的情形引理４㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为原点一侧的部分．例４㊀计算二重积分：Ｉ＝∬Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．解㊀因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以由引理４，有：Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．下面利用极坐标计算此二重积分，得Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ＝２ʏπ２０ｃｏｓθｓｉｎθｄθʏｓｉｎ２θ０γ２ｄγ．（计算略）３．５㊀平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形引理５㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１２∬Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．例５㊀计算二重积分Ｉ＝∬Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙɤ１{}．解㊀因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ所以Ｉ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是‘数学分析“中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简㊁化难为易，提高解题效率．ʌ参考文献ɔ［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．。