积分对称性定理

轮换对称性在积分中的应用秦勇【摘要】This article has proved some conclusions about cyclosymmetric property and introduced appli-cations of cyclosymmetric property in integral.%证明了轮换对称性的有关结论，并阐述了其在积分中的一些应用。

【期刊名称】《常州工学院学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P62-65)【关键词】轮换对称性;积分;区域;变量;双射【作者】秦勇【作者单位】常州工学院理学院，江苏常州 213002【正文语种】中文【中图分类】O172利用对称性计算积分在一般“高等数学”的教材中均未提及，主要在一些考研数学辅导书或数学竞赛辅导书上有介绍。

了解用对称性计算积分对改进“高等数学”的教学、简化积分的计算过程及提高学生的解题运算能力都有着实际的意义。

对称性计算积分主要包括两方面[1]：一是积分区域关于坐标面、坐标轴和原点对称情况下被积分函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分。

对于第1种情况比较好理解，因为多元函数的积分可以视为定积分在对称区间上积分的推广，而对于第2种情况则没有简单的理解方法且有关的结论也没有给出证明。

本文给出积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下积分的有关结论并给出证明，最后介绍其在计算积分中的一些应用。

定义设Ω⊆R3，如果∀(x,y,z)∈Ω，都有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，则称区域Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性。

引理设区域Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性，则存在Ω上的一个一一变换[2]。

证明因为Ω关于x,y,z具有轮换对称性，所以∀(x,y,z)∈Ω，有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，定义σ(x,y,z)=(z,x,y)∈Ω。

∀(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)∈Ω,若(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2)，则有x1=x2，y1=y2，z1=z2，从而(z1,x1,y1)=(z2,x2,y2)，即σ(x1,y1,z1)=σ(x2,y2,z2)，所以σ是Ω到Ω的一个映射，从而σ是Ω上的一个变换。

积分求解的几种方法
积分求解的几种方法有：
求积分的四种方法是：换元法、对称法、待定系数法、分部积分法。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。

通常分为定积分和不定积分两种。

求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。

它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。

它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

定积分对称性公式：f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式，只要x有一个正一个负，就有对称性。

至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。

如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

创新教育科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald242DOI：10.16660/ki.1674-098X.2018.14.242对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别①孟泽红(浙江财经大学数据科学学院 浙江杭州 310018)摘 要：利用对称性求解曲线积分可以大大简化曲线积分的求解，但学生在利用对称性求解第一型曲线积分和第二型曲线积分时很容易弄错使用条件，因此，本文针对这些情况，从曲线的同向对称和异向对称的定义开始介绍，接下来给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分对称性使用的定理，并给出了一些例题来对比这些定理的使用条件，并对第二型曲线积分对称性求解的例题进行了正确和错误两种解法来进行分析归纳总结定理的使用条件。

关键词：对称性 第一型曲线积分 第二型曲线积分 异向 同向中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2018)05(b)-0242-02①作者简介：孟泽红（1978—），女，汉族，浙江杭州人，博士，副教授，研究方向：反问题与不适定问题的研究，高等数学 课题研究。

曲线积分的求解是高等数学里面本科生必须熟练掌握的，也是全国研究生入学考试中的重点内容。

利用积分区域对称性和函数的奇偶性可以简化积分运算，在教学过程中发现，由于第一型曲线积分和第二型曲线积分一个与方向无关，一个与方向有关，因此在使用中，一旦使用不当，会造成对问题的错解，为了让学生在学习过程中注意到这个陷阱，本文通过具体的例题把错误的结题方法和正确的解题方法进行比较，并对这两种积分的对称性使用进行了简要的总结。

1 预备知识定义1：有向曲线L 成两段有向弧L 1和L 2，如果观察者沿L 1行到L 2时方向不发生改变，就称L 1与L 2同向，否则称异向。

定义2：如果有向积分曲线课分为关于点A 对称的两段弧L 1和L 2，L 1和L 2同向，则称该积分曲线关于点A 同向对称，否则，L 1和L 2异向，则称该积分曲线关于点A 异向对称。

一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。

轮换对称性在多元微分学中的应用重积分是多元微积分中的一个重点模块，经常会出现在一些较为困难的计算题与证明题中。

此外，在物理学中也经常能见到重积分的身影。

在各大高校的研究生入学试题以及期末测试题中，重积分往往也是不可忽视的一部分。

本文在默认读者有着熟练计算二重积分的基础上，旨在通过几个例题来介绍一类典型的重积分问题：“具有轮换对称性的重积分”。

希望可以帮助到各位微积分学习者！我们首先先关注区域 D 的轮换对称性。

这里直接给出它的定义“若区域 D 关于直线y=x 对称，那么对于区域内的任意一点P1(x,y) ,都有P2(y,x)∈D,我们称这样的区域 D 具有轮换对称性。

”那么什么是二重积分的轮换对称性呢？这里有一个定理：“若 D 有轮换对称性，则∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy .”通过这个定理，我们可以解决很多关于二重积分的计算与证明题。

【例.1】求积分I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy 的值，其中D:x2+y2≤R2. 解：注意到区域 D 具有轮换对称性，故I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy=∬D(y2a2+x2b2)dxdy考虑求和，等式变为I=12[∬D(x2a2+y2b2)dxdy+∬D(y2a2+x2b2)dxdy]化简提出公因式，则变成I=12(1a2+1b2)∬D(x2+y2)dxdy此时后面的二重积分已经可以计算出，最终结果为I=πR44(1a2+1b2)【例.2】设f(x) 在[0,1] 上连续，且∫01f(x)dx=A,求积分I=∫01dx∫x1f(x)f(y)dy的值.解：遇见二次积分，第一反应先把它转化为二重积分，I=∬Df(x,y)dxdy ，其中 D 为直线x=0 ,直线y=x ,直线y=1 围成的区域。

显然，区域 D 是正方形：0≤x≤1, 0≤y≤1的对角线上半部分，我们将这个正方形区域补齐,考虑到正方形区域具有轮换对称性，所以有等式I=∫01dx∫1xf(x)f(y)dy所以这个二次积分满足I=12∫01dy∫01f(x)f(y)dx=12∫01f(y)dy∫01f(x)dx=12A2。

积分表24个公式积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算曲线下的面积，解决各种数学和物理问题。

在本文中，我将介绍24个与积分相关的常见公式。

这些公式涵盖了微积分中的不同应用领域，帮助我们理解积分的重要性和灵活性。

1. 定积分的定义公式：∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]区间内的定积分，表示曲线下的面积。

2. 反导数公式：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C，其中C为常数。

3. 线性性质公式：∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx。

4. 反函数求积分公式：若F(x)是f(x)的一个反函数，则∫f(x) dx = F^{-1}(x) + C。

5. 分部积分公式：∫u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx，可以将一个积分转化为另一个积分。

6. 第一类换元积分公式：∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du，u = g(x)。

7. 第二类换元积分公式：∫f(g(x)) dx = ∫f(u) |g'(x)| dx，u = g(x)。

8. 倒置积分公式：∫[a, b] f(x) dx = -∫[b, a] f(x) dx，改变积分区间时改变积分符号。

9. 对称性公式：若f(x)在某区间关于x轴对称，则∫[-a, a] f(x) dx = 0。

10. 积分中值定理公式：若f(x)在[a, b]上连续，则存在c∈(a, b)，使得∫[a, b] f(x) dx = f(c)(b-a)。

11. 反常积分定义公式：若f(x)在[a, b]上有界，则∫[a, b] f(x) dx = lim_{n→∞} ∫[a,b] f(x) dx。

12. 曲边梯形面积公式：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)((f(a)+f(b))/2)，对应梯形近似法则。

一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FF t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F Ft ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11 ()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()Fnn Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw tw w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()nn n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17 []()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()t F w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2 （6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。

第３卷第２期　Ｖ０１．３　Ｎｏ．２　吕梁学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌ￣ｉｌｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　２０１３年４月　

Ａｐｒ．２０１３　

・教材教法研究・　

关于积分中的对称性问题　张润玲　（吕梁学院数学系，山西离石０３３０００）　

摘要：函数的奇偶性与区域的对称性，不仅能简化积分运算，而且能解决一些积分的特殊问题．本文详细给　出函数的奇偶性与区域的对称在定积分、二重积分中应用的条件与结论．　关键词：对称性；定积分；二重积分　中图分类号：０１７２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５—１８５Ｘ（２０１３）０２—００７９—０３　

１　关于定积分中的对称性　定义１　若满足　‰一　）＝，（　。＋　），则称　）　关于直线　＝　。对称；若　）在定义域内有　Ｘｏ一　）　＝一　‰＋　），则称　）关于直线　＝　。反对称；若满　足，（％一　）＋　。＋　）＝２ｆ（　。），则称　）关于点　（　。ｓ　（％））对称　定理１　设　）可积　１．若　）关于直线　＝　。反对称，则对Ｖ口＞　

０，有Ｊ　厂（　）ｄｘ＝０；　Ｊ　ｘｏ～Ⅱ　２．若　）关于直线　＝　对称，则Ｖ　ａ＞０　

Ｉ　厂（　）ｄｘ＝２　Ｉ　）ｄｘ；　３．若－厂（　）关于点（（　，，（　。））对称，则Ｖ　＞０　有Ｉ，（　）ｄｘ＝２　。）．　Ｊ　ｘｏ—ｎ　

证明：因为Ｊ　）ｄｘ　Ｊ　ｘｏ一　

＝ｆ　）ｄｘ＋ｆ　）ｄｘ．　

令ｔ＝２ｘ０一　．　　）：广ｆ（ｄｘ　２ｘ（一ｄｔ）：厂　ｆ　）　＝ｆ　。一　）（一　）＝ｆ　Ｘｏ—ｎ　ｘｏ＋ｎ　ｘｏ　＋（　ｏ—ｔ））ｄ￡　

（１）又因为　）关于直线　＝　反对称　

．・．

＿厂（　。＋（　。一ｔ））：一　。一（　。一ｔ））＝－ｆ（￡）．　

ｒ　广　＋　ｒ　＋　所以ｌ　，（　）ｄｘ＝一Ｉ　，（　）ｄｔ：一ｌ　，（　）ｄｘ．　

ｘｏ一Ⅱ　ｘｏ　ｘｏ　所以』　）ｄｘ＝０　Ｊ　ｘｏ—ａ　（２）因为　）关于直线　＝　。对称　

ｏ＋（　０一ｔ））：　ｏ一（　０一ｔ））＝　ｔ）．　所以广，（　）　：广　）　：广　）ｄｘ　ｘｏ一０　ｘｏ　ｘ０　所以Ｊ，（　）ｄｘ＝２　Ｊ　）ｄｘ．　

第，３卷第２期　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．２　２０１３年５月　

Ｍａｙ．２０１３　河北民铗师范学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ　

对称性与积分计算　李长江　（河北民族师范学院数学与计算机系，河北　承德０６７０００）　摘要：数学中的对称性，．－ｑ－￣提供某种解题信息，帮￣Ａ．４ｔｌ寻找最佳解题策略，使复杂的问题得到简化。由此，利　用对称知识与换元法，讨论一组当积分区间（区域）具有某种对称性的定积分与重积分的计算公式。　关键词：对称；化简；积分区间；积分区域；定积分；重积分　中图分类号：０１３　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５—３７６３（２０１３）０２一ＯＯＯｌ一０３　

笔者借助于对称知识与换元法，对积分区间（区　域）具有某种对称性的定积分与重积分的计算问题　作出以下探讨。为减少篇幅，文中只证明前三个定　理，并且在重积分的举例中仅指出积分区域的对称　方式，不具体作图。　§１　有关对称点知识　下面描述对称点的５个命题可参考文【１】．　命题ｌ数轴上任一点Ｘ关于点ａ的对称点为　２ａ—Ｘ．　命题２平面上任一点（ｘ，ｙ）关于点（ａ，ｂ）的对称　点为２ａ－ｘ，２ｂ－ｓ）．　命题３平面上任一点（ｘ，ｙ）关于直线Ａｘ＋Ｂｙ＋　Ｃ＝０的对称点为（ｘ～２Ａ（ＡＡｘ２＋＋ＢＢ２ｙ＋Ｃ）＿，Ｙ～２Ｂ（ＡＡｘ２＋＋ＢＢ２ｙ＋Ｃ），．　

命题４空间内任一点ｘ，Ｙ，ｚ）关于点ａ，ｂ，ｃ）的对　称点为（２ａ－ｘ，２ｂ－ｙ，２ｅ－ｚ）．　命题５　空间内任一点（ｘ’ｙ，ｚ）关于平面Ａｘ＋Ｂｙ＋　ｃｚ＋Ｄ＝０的对称点为（ｘ＿＿２Ａ（ＡＡｘ　＋＋ＢＢ２ｙ＋＋ｃＣ２ｚ＋Ｄ＿）＿，Ｙ一　

里ｌ＿（　苎±坠　±　兰±　）　一　２Ｃ（Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ））　Ａ２＋Ｂ２＋Ｃ　’。　Ａ２＋Ｂ２＋Ｃｚ　。　

§２定理及其证明　２．１任意区间上的定积分　ｒ　ｂ　定理１设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］可积，则ｊ　ｆ（ｘ）　

对称性在积分计算中的应用-中学数学论文对称性在积分计算中的应用高春香内蒙古财经大学统计数学学院010051者简介:高春香，女。

内蒙古财经大学统计数学学院。

职称：副教授。

研究方向：高等数学教学及其教改的研究）【摘要】结合高等数学积分中的教学实践，阐述了对称性在定积分、二重积分、三重积分计算中的应用, 归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分. 运用对称性方法计算积分,一定要仔细验证积分区域和被积函数所满足的对称性质,否则,将会造成对称性方法的不当使用。

关键词对称性定积分重积分平面区域积分在数学分析中占有很重要的地位,积分的计算方法有很多种,许多文献和书籍都对其有较深的探讨,但是对利用对称性来计算积分的方法研究的不多.笔者通过多年的教学实践，深知对称性在积分运算中有着很重要的意义,通常可以简化计算.本文研究了对称性在积分运算中的应用,归纳总结出利用平面区域的对称性来计算定积分、二重积分、三重积分的方法.1.定积分的对称性定理利用积分区间关于原点的对称性和函数的奇偶性,有:若x∈［-a,a］,则小结这个例子运用换元法,将非积分上下限对称问题变形为积分上下限对称问题,巧妙运用定理对问题进行了解答。

小结用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题。

通过上面的举例分析,可以发现对称性方法是积分计算中一种常用且有效的方法,利用对称性技巧,可以大大简化积分的运算。

只要积分域是对称的,就可以用上面介绍的方法进行积分计算.在进一步明确了被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化积分的计算之后，则可以应用上述定理对各类积分进行奇偶性化简之后计算.但是,运用对称性方法计算积分,一定要仔细验证积分区域和被积函数所满足的对称性质,各类定理适用的条件，否则,将会造成对称性方法的不当使用。

参考文献［1］谭泽光,刘坤林.微积分（下）［M］.清华大学出版社,2006.［2］孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008. ［3］张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008. ［4］温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.。