积分对称性

重积分计算中对称性的应用二重积分的对称性质一般的本科教材中都末具体给出，但在计算积分中经常用到，现补充如下： 结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线x y ,对称，则⎰⎰⎰⎰=DDd x y f d y x f σσ),(),(三重积分的对称性，可类似给出。

二、补充例题例1. 利用二重积分性质，估计积分 ⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22的值，其中D 是图形区域：422≤+y x 解法1. 首先求94),(22++=y x y x f 在D 上的最小值m 和最大值M 由于x x f 2=∂∂，y yf 8=∂∂，令0=∂∂x f ，0=∂∂y f 得驻点），00(，9)0,0(=f D 的边界422=+y x ，此时94494),(2222++-=++=y y y x y x f2313y +=402≤≤y 25),(13≤≤∴y x f25}25,13,9max{==∴M ，9}25,13,9min{==m ，25),(9≤≤y x f σσσ25)9(922≤++≤⎰⎰Dd y x πσ4= ，ππ10036≤≤∴I 解法2：由积分中值定理，在D 上至少D ∈∃),(ηξ，使 σηξσ)94()94(2222++=++=⎰⎰Dd y x I 其中πσ4=，且422≤+ηξ（4:22≤+y x D ）9)(494)94(222222++≤++≤++ηξηξηξ 2591694922=+≤+η+ξ≤ π≤≤π100I 36 例2求σ-=⎰⎰d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解： 如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x ,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰d x y d y x d xy I 21D 2D 2D2()()⎰⎰⎰⎰--=-⋅+-⋅=1122112221513xx dy x y dx dy y xdx例3证明⎰⎰⎰-=xa b abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证： 左端=⎰⎰x ab ady y f dx )(，⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，⎩⎨⎧≤≤≤≤b y a bx y D 左端==⎰⎰xa b ady y f dx )(⎰⎰b ybadx y f dy )(⎰=-=bady y b y f ))((右端，证毕！注： 本题还可这样证明：令⎰⎰⎰--=taxatadx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=⇒='t F t F例4 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明⎰⎰->b ab aa b dx x f dx x f 2)()(1)(证： 设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称⎰⎰⎰⎰=∴b a b a b ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b dxdy dxdy y f x f y f x f dxdy y f x f y f x f dxdy x f y f y f x f dxdy x f y f dxdy y f x f DDD D DD-==≥+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 计算[]⎰⎰++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

解： 如图，作曲线3x y =，则积分区域被分为1D 和2D ，1D 关于x 轴对称，2D 关于y 轴对称。

由于被积函数是x 的奇函数，故有[]0)(1222=++⎰⎰D dxdy y xyf x ，由于)(22y x xyf +的奇函数，故有[]=++⎰⎰1)(122D dxdy y x yf x ⎰⎰⎰⎰⎰----=-==+0140152)(22031dx x dy xdx xdxdy x D例6 计算⎰⎰⎰+=vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面 2=z ，8=z 所围区域。

解： 旋转面方程为z y x 222=+，积分区域{}82,2),,(22≤≤≤+=z z y x z y x V⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=vD zdxdy y x dz dv y x I 822222)()(ππθπ33628228220203===⎰⎰⎰⎰dz z dr r d dz z注： 本题若采用先一后二法，将较麻烦! 例7 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v⎰⎰⎰++=)()(222，其中{}H z t y x z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和20)(lim t t F t → 解： V 在xOy 平面上投影D 为圆222t y x ≤+，于是⎰⎰⎰++=vdv y x f z t F ))(()(222⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛+=++=tt HDd f H t H d H f H d dzy x f z dxdy 022320230222)(23)(31))((ρρππρρρθπ当0>t 时有：)(23223t Htf t H dt dF ππ+= 当0<t 时有： )(23223t Htf t H dt dF ππ+= 且0=t 时，有dt dF F t 0lim )0(→='，所以)(23223t Htf t H dt dF ππ+= 从而 tt f H t H t t F t t 2)(232lim )(lim 23020++=→→ππ)0(3)(lim 33203Hf H t Hf H t ππππ+=+=→例8 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积 V解： 不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面22y x z +=的一块，一个是切平面的一块，首先确定立体在xOy 平面上投影区域y x D ,由于切平面的法向量是}1,2,2{}1,,{0--=-=M y x z z n，切平面方程：0)3()1(2)1(=--+--z y x z ，即122--=y x z从而切平面与曲面22y x z +=的交线是⎩⎨⎧--=+=12222y x z y x z ，消去z ，可得投影1)1()1(:22≤++-y x D xy ，注意到在D 上，22122y x y x +≥--，所以()[][]⎰⎰⎰⎰+---=+---=DDdxdy y x dxdy y x y x V 2222)1()1(1122⎰⎰=-=ππθ20122)1(rdr r d例9 设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？解： 可设∑的方程为2222)R a z y x =-++（，从而两球面的交线是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+a R a z R a a R y x 224422222222，于是1∑的方程为222y x R a z ---= 1∑在xy 在投影为()22222244:R a aR y x D -≤+1∑的面积为⎰⎰⎰⎰--=++=DDy x dxdyyx R R dxdy z z R S 222221)(aR R rdr rR R d R a a R322042022222ππθπ-=-=⎰⎰-234)(R a R R S ππ-=' ，得驻点01=R ，a R 342= R aR S ππ64)(-=''，04)(2<=''πR S ∴当a R 34=时，1∑的面积最大。

例10有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点密度与驻 点到0P 距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心位置。

解法1： 证所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为原点O ，射线0OP 为正x 轴建立直角坐标系，则点0P 的坐标为)0,0,(R 球面方程为2222R z y x =++设Ω的重心位置为),,(z y x ，由对称性得：0=y ，0=z ，[][]d vz y R x k dv z y R x k x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++-++-⋅=222222)()(，而[]()dv R dv z y x dv z y R x k ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+++=++-2222222)(520200522153234sin 8R R dr r r d d R ππϕϕθππ⎰⎰⎰=+⋅=[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=++-dv x R dv z y R x x 22222)( ()622215832R dv z y x R π-=++-=⎰⎰⎰Ω 4R x -=∴因此球体Ω的重心位置为⎪⎭⎫⎝⎛-0,0,4R 。

解法2：设所考虑的球体为Ω，球心为O ~，以定点0P 为原点，射线O P ~0为正z 轴建立直角坐标系，则球面方程为：Rz z y x 2222=++。

设Ω的重心位置为),,(z y x ，由对称性得：0=y ，0=x ，()()d vz y xk dv z y x kz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++++=222222()=++⎰⎰⎰Ωdv zy x22252020cos 2041532sin 4R dr r d d R πϕϕθππϕ⎰⎰⎰=而()=++⎰⎰⎰Ωdv z y x z 222⎰⎰⎰2020cos 205cos sin 4ππϕϕϕϕθR dr r d d6207638sin cos 364R d R πϕϕϕππ⎰==故R z 45=，因此球体Ω的重心位置为⎪⎭⎫ ⎝⎛R 450,0，。