情形一：积分区域D 关于坐标轴对称
定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则
1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰ .
2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰ .
其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()D
I xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区
域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对
称
，
且
3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-
即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D
f xy y dxdy +=⎰⎰.
类似地，有：
定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则
2
2(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).
D D
f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩
⎰⎰⎰⎰
当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,D
I x ydxdy =⎰⎰其中D 为由
22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：
1
1
222
2
20
22215
x D
D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则
（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰
.
（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有
1
(,)4(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰
其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
9例7 计算二重积分()D
I x y dxdy =+⎰⎰，其中D ：1x y +≤ .
解：如图所示，D 关于x 轴和y 轴均对称，且被积分函数关于x 和y 是偶函数，即有
(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，由定理2，得
1
()4()D
D I x
y dxdy x y dxdy =
+=+⎰⎰⎰⎰
其中1D 是D 的第一象限部分，由对称性知,1
1
D D x dxdy y dxdy =
⎰⎰⎰⎰
，
故1
4()D I x y dxdy =+⎰⎰1
4()D x x dxdy =+⎰⎰1
8D x dxdy =⎰⎰4
3
=.
情形二、积分区域D 关于原点对称
定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足
1)(,)(,)f x y f x y --=时,有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
2)(,)(,)f x y f x y --=-时,有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
例8 计算二重积分33()D
x y dxdy +⎰⎰,D 为3y x =与y x =所围区
域.
解:如图所示,区域D 关于原点对称,对于被积函数33(,)f x y x y =+,有
3333(,)()()()(,)
f x y x y x y f x y --=-+-=-+=-,有定理7,得
33()0D
x y dxdy +=⎰⎰. 情形三、积分区域D 关于直线y x =±对称
定理8 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则
1)(,)(,)D
D
f x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰;
1
2
(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
2)当(,)(,)f y x f x y =-时,有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
3)当(,)(,)f y x f x y =时,有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
例9 求22
22()D
x y I dxdy a b =+⎰⎰,D 为222x y R +≤所围.
解:积分区域D 关于直线y x =对称,由定理8,得
