二重积分对称性定理的证明及应用

关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。

(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。

(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。

(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。

3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。

积分区域关于原点对称二重积分（实用版）目录1.引言2.积分区域关于原点对称的定义3.二重积分的性质4.积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法5.应用实例6.结论正文1.引言在数学中，积分是一种重要的计算工具，它能够帮助我们求解各种函数的性质。

在积分中，有一种特殊的积分形式，即二重积分。

二重积分是对一个函数在另一个函数上的积分，它的积分区域是关于原点对称的。

2.积分区域关于原点对称的定义积分区域关于原点对称，是指一个函数的积分区域在原点处对称。

也就是说，如果将积分区域围绕原点进行折叠，那么折叠前后的积分区域是完全重合的。

3.二重积分的性质二重积分具有以下几个性质：（1）线性性质：如果 f(x,y) 和 g(x,y) 是两个可积函数，那么 (f+g)(x,y) 的二重积分等于 f(x,y) 的二重积分与 g(x,y) 的二重积分的和。

（2）连续性质：如果 f(x,y) 是可积函数，那么对 f(x,y) 进行任意分割，每一部分的二重积分之和等于 f(x,y) 的二重积分。

4.积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法对于积分区域关于原点对称的二重积分，我们可以通过以下几个步骤进行计算：（1）确定积分区域：首先，我们需要确定积分区域的形状和大小，以便进行积分计算。

（2）确定被积函数：其次，我们需要确定被积函数的形式，以便进行积分计算。

（3）进行积分计算：根据积分区域的形状和大小，以及被积函数的形式，我们可以使用相应的积分公式进行积分计算。

5.应用实例假设我们要求解一个二重积分：∫∫(x^2+y^2)dydx，其中积分区域是单位圆。

由于积分区域是关于原点对称的，我们可以将其分为两个部分，分别对 x 和y 进行积分，然后再将结果相乘。

具体计算如下：（1）确定积分区域：积分区域为单位圆，半径为 1。

（2）确定被积函数：被积函数为 f(x,y)=x^2+y^2。

（3）进行积分计算：根据积分区域的形状和大小，我们可以使用极坐标系进行积分计算。

利用对称性_奇偶性计算二重积分对称性和奇偶性在计算二重积分中是非常有用的工具。

它们可以帮助我们简化计算过程，减少工作量。

首先，让我们回顾一下对称性的概念。

在二维平面上，对称性指的是一个函数在平面上的镜像对称或旋转对称性。

对称性的存在可以帮助我们缩小计算的范围，从而简化问题。

现在我们考虑奇偶性。

在数学中，一个函数的奇偶性是指函数在自身的镜像中是否保持不变。

具体来说，如果对于函数f(x)，我们有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数。

如果我们有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。

现在让我们进入实际的例子来说明如何使用对称性和奇偶性来计算二重积分。

假设我们要计算函数f(x,y)=x^2+y^2在特定区域D上的二重积分。

首先，我们可以观察到这个函数是一个关于x和y的二次多项式，它具有x和y的奇偶性。

因为平方项不受符号变换的影响，所以这个函数是一个偶函数。

这意味着如果我们把这个函数在x轴和y轴上镜像，结果是不变的。

当我们考虑计算二重积分时，我们通常可以通过对称性来简化问题。

在这个例子中，我们可以观察到函数f(x,y)在关于x轴和y轴的镜像平面上是对称的。

因此，我们可以将原始区域D沿着x轴或y轴折叠，得到两个对称的区域D1和D2、这样，我们只需要计算其中一个区域的积分，然后将结果乘以2即可。

假设我们选择将区域D沿着y轴折叠。

这样就得到了两个对称的区域D1和D2，其中D1的x坐标范围是[0,a]，y坐标范围是[c,d]，D2的x坐标范围是[0,a]，y坐标范围是[-d,-c]。

现在我们可以编写二重积分的表达式。

根据对称性，我们可以将f(x,y)视为偶函数，并将y的范围限制在非负值上。

因此，我们可以将二重积分写为：∬D(x^2+y^2)dA=2∬D1(x^2+y^2)dA= 2∫[0,a] ∫[c,d] (x^2 + y^2) dy dx接下来，我们可以使用极坐标变换来进一步简化计算。

在极坐标下，一个点的坐标可以表示为(r,θ)，其中r是点到原点的距离，θ是点与x 轴的夹角。

二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。

2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。

3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。

4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。

5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。

对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。

通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。

除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。

这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。

总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。

在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。

二重积分的奇偶对称性
二重积分的奇偶对称性是被积函数与积分区域两个因素。

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

二重积分的奇偶对称性特点。

奇偶性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否具有奇偶性，积分区间是否对称，如果奇函数则积分为0为偶函数则用对称性，二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限，本质是求曲顶柱体体积。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积平面薄片重心等，平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的有向曲面上进行积分称为曲面积分，同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。

重积分积分区域的对称性 情形一：积分区域D关于坐标轴对称

定理4设二元函数f(x, y)在平面区域D连续,且D关于x轴对称，则 1)当f(x, y) f(x, y)(即f (x, y)就是关于y的奇函数)时，有 f (x, y)dxdy 0 D

2)当f(x, y) f (x, y)(即f (x, y)就是关于y的偶函数)时,有

f ( x, y )dxdy 2 f (x, y) dxdy D Di

类似地，有: 其中Di就是由x轴分割D所得到的一半区域。

例5计算|

解：如图所示 f (x, y)

f (x, y)在平面区域D连续,且D关于y轴对称，则

即f(x,y)就 f (xy D

定理5设二元函数 f (x, y)dxdy ,当 f ( x, y) f (x, y). f (x, y)dxdy D 2 D2

0,当 f ( x, y) f (x, y).

其中D2就是由y轴分割D所得到的一半区域。

轴的偶函数，由对称性定理结论有 例6 计算 2;y I -2x x2ydxdy,其中 D为 D 由

y 2x 2及y 0

所围。

解 :如 图 所 示， D关 于y轴对称，并 且 f( x, y) 2 x y f (x, y) ,即被积分函数就是关于 x 重积分积分区域的对称性 解：如图所示，D关于x轴与 y轴均对称，且被积分函数关于

x与y就是偶函数，即有

f (x, y) f( x, y) f (x, y ),由定理2,得

D1

D!

dxdy

(x D1

情形二、

定理7 1) f(

y|)dxdy 4 ( x D1 I y )dxdy 象限部分，由对称性 I y |dxdy D1

y )dxdy 4 ( x D1 积分区域D关于原点对称 x )dxdy 8

D1

| x dxdy

设平面区域D D1 D2,且D1, D2关于原点对称，则当D上连续函数满足 x, y) f (x, y)时,有 f (x, y )dxdy D 2 f (x, y)dxdy

情况一：积分地区 D 对于坐标轴对称定理 4 设二元函数 f ( x, y) 在平面地区 D 连续，且 D 对于 x 轴对称，则1) 当f (x,y) f ( x, y) （即 f (x, y)是对于 y 的奇函数）时，有f( x , y ) dxdy0.D2) 当f ( x,y) f ( x, y) （即 f ( x, y) 是对于 y 的偶函数）时，有f ( x , y ) dxdy2 f ( x , y ) dxdy.D D1此中 D1是由 x 轴切割D所获得的一半地区。

例5 计算I( xy y 3 )dxdy，此中 D 为由y22x 与x 2 围成的地区。

D解：如下图，积分地区 D 对于 x 轴对称，且 f ( x, y)( xy y3 )f ( x, y )即 f (x, y) 是对于y的奇函数，由定理1有 f ( xy y 3 ) dxdy0 .D近似地，有：定理 5设二元函数 f ( x, y) 在平面地区 D 连续，且 D 对于 y 轴对称，则2 f ( x , y ) dxdy, 当 f ( x, y ) f ( x , y ).f ( x , y ) dxdy D 2D0,当 f ( x, y ) f ( x , y ).此中 D2是由y轴切割D所获得的一半地区。

例6计算I x 2 ydxdy , 此中 D 为由 y 2 x 2; y -2 x 2 及 y0 所围。

D解：如下图， D 对于 y 轴对称，而且 f ( x, y ) x 2 y f ( x , y ) ，即被积分函数是关于 x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：I x 2 ydxdy 2 x 21 2 x 22 ydxdy 2 .ydxdy2 dx x0015D D 1定理 6设二元函数 f ( x, y) 在平面地区 D 连续，且D 对于 x 轴和 y 轴都对称，则（1）当 f ( x , y) f ( x , y ) 或 f ( x , y ) f ( x , y ) 时，有f ( x , y ) dxdy0 .D（2）当f ( x , y ) f ( x ,y ) f ( x , y ) 时,有f ( x , y ) dxdy4 f ( x ,y ) dxdyD D 1此中 D1为由 x 轴和y轴切割D所的到的1/4地区。

积分区域关于原点对称二重积分一、引言在数学中，积分是一个重要的概念，用于描述曲线、曲面以及空间中的面积、体积等量。

而对称性也是数学中一个重要的概念，可以帮助我们简化问题的求解过程。

本文将介绍关于原点对称的二重积分，并讨论如何利用对称性简化计算过程。

二、二重积分及其性质1. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将D分成无穷多个小区域，每个小区域用Δσi表示。

在每个小区域上取任意一点(ξi,ηi)，构成面积Δσi。

当maxΔσi→0时，如果极限limmaxΔσi→0∑f(ξi,ηi)Δσi存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作∬fD(x,y)dσ2. 二重积分的性质•线性性质：设函数f(x,y)和g(x,y)在闭区域D上可积，c为常数，则有∬(f(x,y)+g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ+∬gD(x,y)dσ∬c D ⋅f(x,y)dσ=c⋅∬fD(x,y)dσ•区域可加性：若将闭区域D分成两个不相交的闭区域D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ•积分保号性：若在闭区域D上有界函数f(x,y)恒有f(x,y)≥0，则有∬fD(x,y)dσ≥0三、关于原点对称的二重积分1. 关于原点对称的定义一个闭区域或曲线称为关于原点对称的，是指当(x,y)在该区域或曲线上时，有(−x,y),(x,−y),(−x,±y)（其中±表示取正或负）也在该区域或曲线上。

2. 关于原点对称的性质•若函数f(x,y)关于原点对称，即f(x,y)=f(−x,−y)，则有∬f D (x,y)dσ=4∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于原点的一个象限。

•若函数f(x,y)关于y轴对称，即f(x,y)=f(−x,y)，则有∬f D (x,y)dσ=2∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于y轴的一侧。

二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧
二重积分是数学中一个重要的概念，它是指在一个二维平面上，将一个函数分解为两个独立的变量，通过不断积分来计算出函数的定义域。

在计算二重积分时，有一种特殊的技巧，即对称性计算技巧。

对称性计算技巧是指，当二重积分的定义域是对称的，即它的边界是对称的，我们可以利用它的对称性来提高计算效率。

例如，假设f(x,y)dxdy的定义域是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的正方形，此时，我们可以利用它的对称性，将它分解为四个独立的定义域，分别是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的两个半正方形，然后将它们的积分值相加，就可以得到f(x,y)dxdy的积分值。

因此，对称性计算技巧是一种有效的技巧，可以帮助我们提高计算效率，节省时间。

然而，我们也必须注意，这种技巧只适用于定义域是对称的情况，如果定义域不是对称的，我们就不能使用这种技巧。

因此，在使用对称性计算技巧时，我们需要仔细分析定义域，以确保它是对称的。

二重积分的轮换对称性
据了解，双重积分的轮换对称性是指在一个双重积分的系统中，通过对其中一个值进行轮
换而使另一个值的积分值保持不变的特性。

双重积分的轮换对称性在数学理论中有着很重要的作用。

举个例子，如果我们有一个具有
双重积分的函数f(x,y)，当我们轮换x和y时，积分f(x,y)dy dx = f(x,y)dx dy。

这表
明在对参数进行轮换时，积分值是不变的。

双重积分的轮换对称性在物理的应用中也很重要，比如在等离子体物理研究中，我们可以
将电场和磁场轮换，这时候就可以发现，由于熵的双重积分，这两者产生了储能效应。

双重积分的轮换对称性也在化学领域有着重要作用。

例如，对于一些特定的复杂分子，可
以分解出两个活化子，通过对这两个题者轮换，可以维持系统内全部体系的总熵保持不变。

总之，双重积分的轮换对称性可以帮助我们在不同的领域建立有用的数学模型来分析一些
复杂的问题，也可以帮助我们更好地理解物理实验中的特性。

对称性在二重积分中的应用
在数学中，“对称性”是指两个数学定义或操作之间的一种特殊关系。

它可以很容易地在函数、几何图形以及更多领域中表现出来。

“对称性”很多时候会用来解决两个数学知识体系之间的矛盾，同样也会被用于二重积分。

“对称性”在二重积分中被广泛用于对某个函数的二重积分进行求解。

若函数具有‘对称’特性，则某一坐标轴可以被忽略，也可以减少积分的面积，从而使求解的过程更加简化。

例如，函数y = x^2 具有"对称性"，则可以将积分的面积从原始的最大面积缩小为半径为2的圆区域，从而更容易求解。

“对称性”被普遍用于二重积分中求解非常复杂函数的情况。

例如，二重积分用来求解弦形曲线在某点处的法线投影长度，这是一个例子。

当函数具有“对称性”，可以非常容易地将积分从面积从直线或曲线切割成多边形时，这项工作就变得容易许多。

总之，“对称性”在二重积分中有着重要的作用。

它可以简化求解复杂函数的过程，并使积分的面积减少，这在许多应用和研究中都是很有用的。

二重积分积分区域的对称性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。

例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。

解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D f xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。

例6 计算2,DI x ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。

解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0D f x y dxdy =⎰⎰ .（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。

二重积分区域关于原点对称的结论1. 什么是二重积分？二重积分，听起来是不是有点高大上的样子？其实它就是用来计算某个区域里的面积或体积的工具。

想象一下，你要给一个大蛋糕切块，二重积分就像是帮助你计算每一块的重量。

你先得找到这个蛋糕的形状，然后用积分来“量”出每个部分的大小。

这个过程其实就像是我们生活中常常遇到的量体裁衣，把握好每一寸空间，才能确保整体效果好得不行。

2. 关于对称性2.1 原点对称的概念好吧，咱们接下来聊聊“原点对称”。

简单说，就是如果你把一个图形对折，翻过来，正好能重合，那它就是原点对称的。

就像一面镜子，正对着你，无论你怎么换姿势，镜子里的你总能完美呈现。

对称性在数学里可是个重要的概念，特别是在处理积分的时候，理解这个特性，可以让我们做事情事半功倍。

2.2 为什么重要？那么，为什么对称性对二重积分来说这么重要呢？其实，想象一下你要计算一个对称区域的积分，比如一个正方形或圆形，这样的区域通常会让计算变得简单。

对称性帮我们减少了计算的复杂性，就像在解一道题时发现了捷径，你的心里那个美呀，简直是飞上天了！如果积分区域对称，很多时候可以将某些项抵消掉，最后就省了不少麻烦。

3. 如何应用3.1 实际例子我们来举个例子，假设你有一个以原点为中心的圆形区域，半径为 R。

这个区域的积分，可以表示为∫∫_D f(x, y) dx dy，其中 D 是圆的区域。

由于这个区域关于原点对称，我们就可以利用这个特性来简化我们的计算过程。

就像把一块大拼图拆成几小块，轻松多了！3.2 计算过程中的乐趣当你在计算的时候，可以把函数 f(x, y) 拆分成奇函数和偶函数。

奇函数在原点对称的情况下，积分的结果是零，就像有些东西偏心了一样，不管你怎么加，它总是“跳过”某些值；而偶函数则会在对称性下“倍增”你的结果，正好能让你加倍收获。

这个过程中，有时你可能会觉得自己像个侦探，逐步找出每一个关键线索，最后拼凑出完整的真相，太有成就感了！4. 小结通过这些讨论，我们可以看到，二重积分和对称性之间的关系就像是相辅相成的好搭档。