22.1 比例线段(1)

l4 l5
AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
l1 l1 l2 l2 l3 l3
A
D

. P
分别过点P1、P2、 P3作直线 l1、l2、l3平行于l1， 与l5 的交点分别为P1、 P2 、 P3 .
P1
. P
C
.
3
B
E
P2 P3
P2
这时你想到了什么？
平行线等分线段定理
即 CD为所求作的线段
x
[练习] 已知：如图，l DE 2, EF 4. 1//l 2 //l 3，AB 3,
求：BC.
解： l1//l2 //l3，
B
A
D
l1 E l2
3
2
4
AB DE BC EF （平行线分线段成比例 定理）. 3 2 即 BC 4 BC 6.
Ready? 抢答 直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且 AB=BC则图中还有哪些线段相等？
A B C l5 O D M l1 l2 F l6 l3
问题一
N
E
l4
问题二
抢答
Ready?
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一条长5 厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是2:3?
三、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F A D
B
E
F
C
四、注意该定理在三角形中的应用，怎样用语言叙述？
l4 A l5 D l1
B
C
E
l2 F l3
猜 想 ：
2 AB 2 DE 若 , 那么， ？ BC 3 EF 3 3 AB 3 DE 若 ，那么, ？ BC 4 EF 4

2.比例的性质
①比例的基本性质：
a c ad bc
bd
.
a b b2 ac
bc
比例式变形： a c
bd
bd
a c d b
b d c a
ac
练习1—1：
如果
PA PB
=
PC PD
，
那么 PA·PD= PB·PC；
如果
CD EB =
DF AD
，
那么 AD·CD=EB·DF；
如果
x ＝ 12.8× 10 x ＝ 168
答：李奶奶家上个月的水费是16元．
怎样检验这道题做得是否正确呢？
我们家上个月用了8吨 水,水费是12.8元.
我上个月的水费 是19.2元.
张大妈
李奶 奶
王大爷
王大爷家上个月用了多少吨水?
解：设王大爷家上个月用水 x 吨
12.8 ＝ 8
19.2
x
12.8 x＝ 19.2× 8
练习3—5：
如图，已知
BE CF AB = AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
AB = AC
AB AC BE = CF
AB–BE BE
=
AC–CF CF
AE AF
有没有简单BE方=法C？F
BE CF AE = AF
有！
AAEBEA+=EBAAEFC=
AF+ACEF AAFB =
我们家用了10吨 水.
张大妈
李奶奶
李奶奶家上个月的水费是多少元?
想 这道题中涉及哪三种量？
每吨水的价钱、水费和用水的吨数． 哪种量是一定？

探索新知1 (1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
的值吗？如果 AB AC ,那么 AB BD 与 AC CE有怎
BD CE
BD CE
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知a，b，c，d四个数.
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
比例的基本性质2
a c ab cd 如果 , 那么 . b d b d a c m a c m a 如果 (b d n 0), 那么 . b d n b d n b
经典例题 例3.
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求 与 ； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 . 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
经典例题 例1.如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m， 按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形 彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原
AE AD 绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a AD AB
的值应当是多少？
例2.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（ EF为折痕），得到两个全等的小矩形。如果小 矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边 的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少?
6. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC 上的点，且 DE∥AC, AB = AC , AB = 5
AB 求 . BD
BE EC AC 3
B
C
课堂小结
1.比例的基本性质；

九年级上学期数学课时练习题（22.1 比例线段）一、精心选一选1﹒若y x ＝34，则x y x+的值为（ ） A .1 B .47 C .54 D .742﹒下列判断正确的是（ ）A .所有的等腰三角形都相似B .所有的等腰直角三角形都相似C .所有的矩形都相似D .所有的菱形都相似3﹒在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm ，则甲、乙两地间的实际距离是（ ）A .1250kmB .125kmC .12.5kmD .1.25km 4﹒如果a ＝3，b ＝2，且b 是a 和c 的比例中项，那么c 等于（ ）A .±23B .23C .43D .±435﹒下列长度的各组线段中，能组成比例线段的是（ ）A .2，5，6，8B . 3，6，9，18C .1，2，3，4D . 3，6，7，9 6﹒如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点（其中AC ＞BC ），则下列结论中正确的是（ ） A .AB 2＝AC 2+BC 2 B .BC 2＝AC BAC .BC AC D .AC BC7﹒如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交11，l 2，l 3于点A 、B 、C ，直线DF 分别交11，l 2，l 3于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为（ ）A .12B .2C .25D .35第7题图 第8题图 第9题图 第10题图8﹒如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为（ ） A .1 B .2 C .3 D .49﹒如图，AB 与CD 相交于点O ，AB ∥CD ，若AO ＝2，DO ＝3，BC ＝6，则CO 等于（ ） A .2.4 B .3 C .3.6 D .4 10.如图，△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是（ ）A .AE EC ＝BF FC B .AD DB ＝DE BC C .BF BC ＝EF AD D .EF AB ＝DEBC 二、细心填一填11.已知4c ＝5b ＝6a ≠0，则b c a +的值为_________. 12.已知x y ＝23，则x y x y -+＝________. 13.已知实数x 、y 、z 满足x +y +z ＝0，3x －y －2z ＝0，则x ：y ：z ＝_______.14.如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC .若BD ＝4，AD ＝2，BC ＝5，则EC ＝________. 15.如图，点D 是△ABC 边BC 上的中点，点E 在边AC 上，且AE EC ＝13，AD 与BE 相交于点O ，则AOOD＝_________.第14题图 第15题图 第16题图16.如图，已知△ABC 中，D 为BC 中点，E ，F 为AB 边三等分点，AD 分别交CE ，CF 于点M ，N ，则AM ：MN ：ND 等于______________. 三、解答题17.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且a +b +c ＝36，3a ＝4b ＝5c，求△ABC 的三边长.18.如图，已知D 为△ABC 的边AC 上的一点，E 为CB 的延长线上的一点，且EF FD ＝ACBC. 求证：AD ＝EB .19.如图，已知E 为平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上的一点，DE 分别交AC 、BC 于G 、F ，试说明：DG 是GE 、GF 的比例中项.20.已知：如图，D为△ABC的边AC上一点，且ADDC＝23，E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求BFBC的值.21.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，DE交BC于点G，GF∥AE交CE于点F.求证：EF AE＝BE EC.22.如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC的平分线交BC于点E，取BC的中点D，作DF∥AE交AC于点F.求CF的长.23.如图，已知在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，E为BC的中点，连接AE，∠ABC的平分线BF交AC于点F.求证：AB＝2DE.22.1《比例线段》课时练习题参考答案一、精心选一选1﹒若y x ＝34，则x y x+的值为（ ） A .1 B .47 C .54 D .74解答：∵y x ＝34，∴x y x+＝344+＝74，故选：D .2﹒下列判断正确的是（ ）A .所有的等腰三角形都相似B .所有的等腰直角三角形都相似C .所有的矩形都相似D .所有的菱形都相似解答：A .所有的等腰三角形不一定相似，故A 错误；B .所有的等腰直角三角形都相似，故B 正确；C .所有的矩形不一定相似，故C 错误；D .所有的菱形不一定相似，故D 错误. 故选：B .3﹒在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm ，则甲、乙两地间的实际距离是（ ）A .1250kmB .125kmC .12.5kmD .1.25km 解答：根据比例尺＝图上距离：实际距离，可列比例式， 设甲、乙两地间的实际距离为x cm ，则： 15000＝25x ，解得：x ＝125000cm ＝1.25km ， 故选：D .4﹒如果a ＝3，b ＝2，且b 是a 和c 的比例中项，那么c 等于（ ）A .±23B .23C .43D .±43解答：由题意知：b 2＝ac ，∵a ＝3，b ＝2，∴22＝3c ，∴c ＝43，故选：C .5﹒下列长度的各组线段中，能组成比例线段的是（ ）A .2，5，6，8B . 3，6，9，18C .1，2，3，4D . 3，6，7，9 解答：∵3×18＝6×9，∴3，6，9，18四条线段能构成比例线段， 故选：B .6﹒如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点（其中AC ＞BC ），则下列结论中正确的是（ ） A .AB 2＝AC 2+BC 2 B .BC 2＝AC BAC .BC AC ＝12 D .AC BC＝12解答：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分∴BC AC＝12，故选：C .7﹒如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交11，l 2，l 3于点A 、B 、C ，直线DF 分别交11，l 2，l 3于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为（ ）A .12 B .2 C .25 D .35 解答：∵AG ＝2，GB ＝1， ∴AB ＝AG +BG ＝3， ∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝ABBC＝35，故选：D .8﹒如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4 解答：∵D E ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC，即63＝4EC ，解得：EC ＝2， 故选：B .9.如图，AB 与CD 相交于点O ，AB ∥CD ，若AO ＝2，DO ＝3，BC ＝6，则CO 等于（ ） A .2.4 B .3 C .3.6 D .4 解答：∵AB ∥CD ，∴AO DO ＝BOCO， ∴AO DO DO +＝BO CO CO +，即233+＝6CO ，∴CO ＝3.6， 故选：C .10﹒如图，△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是（ ）A .AE EC ＝BF FCB .AD DB ＝DE BC C .BF BC ＝EF AD D .EF AB ＝DE BC解答：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴四边形DEFB 是平行四边形， ∴DE ＝BF ，BD ＝EF ，∵DE ∥BC ， ∴AD AB ＝AE AC ＝BF BC，∴EF AB ＝CE AC ＝BCDE ， ∵EF ∥AB ， ∴AE EC ＝BF FC ，CE AE ＝CF BF ， ∴AE EC ＝BF FC ， 故选：A .二、细心填一填11. 32； 12. －15； 13. 3：1：(－4)；14. 53； 15. 23； 16. 5：3：2；11.已知4c ＝5b ＝6a ≠0，则b ca +的值为_________.解法一：∵4c ＝5b ＝6a≠0，∴c ＝23a ，b ＝56a ，∴b c a +＝5263a aa +＝32， 解法二：设a ＝6k ，b ＝5k ，c ＝4k ， 则b c a +＝546k k k +＝96＝32，故答案为：32.12.已知x y ＝23，则x y x y -+＝________. 解答：∵x y ＝23，∴可设x ＝2k ，y ＝3k ， ∴x y x y -+＝2323k k k k -+＝5k k -＝－15， 故答案为：－15. 13.已知实数x 、y 、z 满足x +y +z ＝0，3x －y +2z ＝0，则x ：y ：z ＝_______. 解答：x +y +z ＝0 ①，3x －y +2z ＝0 ②，①+②得：4x +3z ＝0，∴z ＝－43x ，②－①×2得：x －3y ＝0，∴y ＝13x ，∴x ：y ：z ＝x ：13x ：(－43x )＝3：1：(－4)， 故答案为：3：1：(－4).14.如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC .若BD ＝4，AD ＝2，BC ＝5，则EC ＝________.解答：∵DE ∥AC ， ∴BD AD ＝BE EC ， ∴BD AD AD +＝BE EC EC +＝BC EC ，即422+＝5EC，解得：EC ＝53，故答案为：53.15.如图，点D 是△ABC 边BC 上的中点，点E 在边AC 上，且AEEC＝12，AD 与BE 相交于点O ，则AO OD＝_________. 解答：过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ，则EF ＝FC ＝12EC ，∵AE EC ＝13，∴AE EF ＝23， ∵OE ∥DF ， ∴AO OD ＝AE EF ＝23， 故答案为：23.16.如图，已知△ABC 中，D 为BC 中点，E ，F 为AB 边三等分点，AD 分别交CE ，CF 于点M ，N ，则AM ：MN ：ND 等于______________. 解答：如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ， ∵D 为BC 的中点， ∴PD ：BF ＝1：2，∵E ，F 为AB 边三等分点， ∴PD ：AF ＝1：4，∴DN ：NA ＝PD ：AF ＝1：4，∴ND ＝15AD ，AQ ：AD ＝QE ：BD ＝AE ：AB ＝1：3，∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ，∴AM ＝AQ +QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ， ∴AM ：MN ：ND ＝5：3：2． 故答案为5：3：2． 三、解答题17.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且a +b +c ＝36，3a ＝4b ＝5c，求△ABC 的三边长. 解答：∵3a ＝4b ＝5c ， ∴a ＝35c ，b ＝45c ，∵a +b +c ＝36， ∴35c +45c +c ＝36， 解得：c ＝15，∴a ＝35c ＝9，b ＝45c ＝12，答：△ABC 的三边长分别为9，12，15.18.如图，已知D 为△ABC 的边AC 上的一点，E 为CB 的延长线上的一点，且EF FD ＝ACBC. 求证：AD ＝EB .解答：过点D 作DG ∥AB 于点G ，则EF FD ＝EB BG ，AC BC ＝ADBG ， ∵EF FD ＝AC BC ∴EB BG ＝AD BG ， ∴AD ＝EB .19.如图，已知E 为平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上的一点，DE 分别交AC 、BC 于G 、F ，试说明：DG 是GE 、GF 的比例中项.解答：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AE ，∴DGGE＝CGAG，∵AD∥BC，∴GFDG＝CGAG，∴DGGE＝GFDG，∴DG2＝GE GF，即DG是GE、GF的比例中项.20.已知：如图，D为△ABC的边AC上一点，且ADDC＝23，E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求BFBC的值.解答：∵ADDC＝23，AD+DC＝AC，∴ADAC＝25，过点D作DG∥AF交BC于点G，则FGFC＝ADAC＝25，∵E是BD的中点，∴BF＝FG，∴BFFC＝25，∴BFFC BF+＝252+＝27，即BFBC＝27.21.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，DE交BC于点G，GF∥AE交CE于点F.求证：EF AE＝BE EC.解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∵GF∥AE，∴EF EC ＝EG ED， ∵BG ∥AD ， ∴BE AE ＝EG ED， ∴EF EC ＝BE AE， ∴EF AE ＝BE EC .22.如图，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点E ，取BC 的中点D ，作DF ∥AE 交AC 于点F .求CF 的长.解答：过点E 作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AB 于H ，则EG ＝EH ， ∵ABEAEC S S ∆∆＝1212AB EH AC EG ＝AB AC ＝12，ABE AEC S S ∆∆＝BE CE ， ∴BE CE ＝12， ∵DF ∥AE ，CD ＝BD ＝12BC ， ∴CF CA ＝CD CE ＝12×BC CE ＝12×BE CE CE +＝12(BE CE +1)＝12(12+1)＝34， ∴CF ＝34×CA ＝34×2＝32. 23.如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为BC 的中点，连接AE ，∠ABC 的平分线BF 交AC 于点F .求证：AB ＝2DE .解答：证明：连接EF ，∵∠ABC ＝2∠C ，BF 是∠ABC 的平分线，∴∠FBC ＝∠C ＝12∠ABC ， ∴BF ＝CF ，又∵BE ＝CE ，又∵AD⊥BC，∴EF∥AD，∴AFFC＝DEEC,∵BF是∠ABC的平分线，∴ABBC＝AFFC，∴ABBC＝DEEC，∴AB＝BC×DEEC＝2EC×DEEC＝2DE，即AB＝2DE.。