1-3-1-1函数的单调性

函数的单调性知识点一：函数单调性的定义、判定及证明1.单调性的定义：当x ∈ (－∞,0)，x逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当x ∈ (0，+∞)，x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的.有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性. 如y=x2 ,定义域为R，在R上没有单调性.而在M={x|x>0}上，函数 y=x2递增。

2.增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时都有f(x1)< f(x2) ( 或f(x1)>f(x2) ) ，那么称f(x)在这个区间上是增（减）函数.3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤第一步：取值.即设x1、 x2,是指定区间内的任意两个值，且x1< x2；第二步：作差变形.即作差f(x)-f(x)，并通过因式分解、配方、通分、分子有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号.确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；第四步：判断.由定义得出结论.4.判断函数单调性的常见方法（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反.③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等.(3)图像法根据函数图像的升、降情况进行判断.【思维拓展】1.一些重要函数的单调性（1）y=x+1/x的单调性：（-∞,-1﹜↗,( -1，0 )↘，（0，1）↘，﹛1，+∞﹚↗ .(2) y=ax+b/x (ab>0) 的单调性：（2.单调性与奇偶性若奇函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递增（减）；若偶函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递减（增）.知识点二函数单调区间及图像特点1.定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间。

函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．前提条件 设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆If (x )在区间D 上单调递增 f (x )在区间D 上单调递减 思考1 所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明． 答案 不是．如函数y ＝x 2，y ＝1x等．思考2 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x 1，x 2∈I ”改为“存在x 1，x 2∈I ”？举例说明．答案 不能．如对于函数y ＝－x 2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y ＝－x 2不是增函数． 思考3 ∀x 1，x 2∈D ，若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则y ＝f (x )在某个区间D 上单调递增吗？简要说明原因．答案 若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)同号，即x 2>x 1时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在D 上单调递增． 一、函数单调性的判断与证明 例1 用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 利用单调性的定义，证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．二、求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．(1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1； (3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.反思感悟 求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．跟踪训练2 借助函数图象，求函数f (x )＝|x 2－1|＋x 的单调递增区间．三、函数单调性的应用例3(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．延伸探究1．在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．2．若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．反思感悟由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．跟踪训练3(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有()A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1)C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1)(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．1．函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是()A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋13．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)4．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－125．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )，则x 的取值范围是________．1．下列函数中，在区间(0,2)上单调递增的是( ) A ．y ＝5－x B ．y ＝x 2＋2 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3]4．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (a )D ．f (a 2＋a )<f (a )5．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．6．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．7．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝mx ＋1nx ＋12(m ，n 是常数)，且f (1)＝2，f (2)＝114.(1)求m ，n 的值；(2)当x ∈[1，＋∞)时，判断f (x )的单调性并用定义证明．10．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1， ∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．11．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都单调递减，则函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增答案 B解析 由于函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上均单调递减，故a <0，b <0，故二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝－b2a <0，故函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递减．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2. 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 [4,8)解析 因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎨⎧4－a2>0，4－a2－1≤1，解得4≤a <8.14．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减， ∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1， 对称轴为x ＝－a －32a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1>0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“<”连接) 答案 f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)解析 由①知f (1)＝－f (0)，f (0)＝－f (－1)， 所以f (－1)＝f (1)． 由③知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递减， 结合②知，函数f (x )在[1,2]上单调递增， 所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)． 16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋b . (1)若b ＝1，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围． 解 (1)当b ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以函数f (x )的值域为[0，＋∞)．(2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调， 当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m ，f (n )＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝m ，n 2－2n ＋b ＝n ，等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根， 令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4b >0，g (1)＝－2＋b ≥0，32>1，解得2≤b <94；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝n ，f (n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝n ，n 2－2n ＋b ＝m ，两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0， 即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ， 由m <n 可得12<n ≤1，将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在⎝⎛⎦⎤12，1上有解， 即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在⎝⎛⎦⎤12，1上的值域问题，因为b ＝－n 2＋n ＋1＝－⎝⎛⎭⎫n －122＋54在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，所以b ∈⎣⎡⎭⎫1，54. 综上所述，b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，94∪⎣⎡⎭⎫1，54.。

A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．

4
b=
.
答案 3
解析 由单调性的定义可知函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,因此f(x)在区
间[2,b]上的最大值与最小值分别为f(b),f(2),所以有
b=3.
3
3×2 1
−
= ,解得
+1 2+1 4
增素能 精准突破
考点一
函数的单调性及单调区间(多考向探究)
考向1.证明或判断函数的单调性
1
f(1)= ,最大值为
2
8
f(4)= .
7
(2)当 x≤1 时,f(x)=x2 有最小值 0,无最大值;
当
6
x>1 时,f(x)=x+-6≥2√6-6,当且仅当
x=√6时,等号成立,f(x)有最小值
2√6-6,无最大值.
因为 2√6-6<0,所以函数 f(x)的最小值为 2√6-6,无最大值.
(3)函数 f(x)定义域为(-∞,2],令 2-=t,则 x=2-t2,t≥0.令
典例突破
例1.(1)下列函数在区间(0,+∞)上单调递减的是(
A.f(x)=ln x
)
B.f(x)=e-x
1
C.f(x)=√
D.f(x)=
2
(2)判断并证明函数f(x)=
在区间(-1,+∞)上的单调性.
+1
答案 (1)B
解析
对于 A,f(x)=ln x 为对数函数,其底数 e>1,在区间(0,+∞)上单调递增,不
√2
象的对称轴为直线 x=1,且
√2
√6
2
2
<2-
<
2