高等数学 函数的单调性与极值.29页PPT

函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。

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定理2 拉格朗日中值定 y
y f (x)
理
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
证: 问题转化为证 f() f(bb) af(a) 0
ba
作辅助函数 (x) f((x)) f (b) f (a) x
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 5 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称
为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称
为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
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例如
y
f (x) 2x3 9x2 12x 3
2
为极大点 ,
是极大值 1
为极小点 ,
是极小值 o 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
一、函数单调性的判别方法
• 罗尔定理 • 拉格郎日定理 • 函数单调性的判别方法
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定理1 罗尔（ Rolle ）定
理
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续

3．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是 (_－___5_，__－__2_)_∪__(2_，____5_)____．
[解析] 因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2 ＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2或
画出函数图象如图所示． 则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝ x2＋x－6的单调递增区间为_[2_，__＋__∞__)_____，单调递减区间为 __(_－__∞_，__－__3_]__．
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
则M是y＝f(x)的最小值
知识点三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_{_k_|_k_≤_4_0_或__k≥__1_6_0_}____．
角度Ⅳ.复合函数的单调性 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log1(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函
2
数，则a的取值范围为( D ) A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4,4] C．[－4,4) D．[－4,4]
[解析]
令t＝x2－ax＋3a，则y＝log
时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(232)，b＝flog3217，c＝f( 2)的大小关系为( C )

当 x0 时 ,导数不存在 .
y 3 x2
当 x 0 时， f ( x ) 0 , 在 ( ,0 ] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
, ). 单调区间为 ( ,0] ， [0
x 0 时 , 试证 x ln( 1 x ) 成立 . 例3 当
x 则 f(x ) . f ( x ) x ln( 1 x ), 证 设 1 x
f ( x ) 在 [ 0 , ) 上连续 , 且 ( 0 , ) 可导 f ( x ) 0 ,
f ( 0 ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
x ln( 1 x ) 0 ,即 当 x 0 时， x ln( 1 x ).
0 在 ( 0 , ) 内 , y ,
函数单调增加 .
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:
(x (x 用 方f 程 )0 的 根f 及 )不 存 在 的 点 数的符 . 号
来划分函 f(x ) 数 的 定 义, 区 然间 后判断区间
O x
y x3
定理2（极值存在的一阶充分条件）
在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续，
x0为f (x)的驻点或使f (x) 不存在的点。
(i) 若当x < x0 时，f (x) > 0；当x > x0 时，f (x) < 0，
则 f (x0) 是f (x)的极大值；
f ( x ) f ( x ). 2 1
y f( x ) 在 [ a ,b ] 上单调减少 .