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b
o a
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设y f ( x )在 [a , b] 上连续，在(a , b)内可导.
（1） 若在(a , b)内f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加； ( 2)若在 (a , b)内 f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
三、曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理2 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数, 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.
1 (x ) x4 x4 4 (x ) 4! 8 12 x4 1 lim lim x 0 x 0 x4 1 ( x2 ) 6 2 2 x (x ) 2 2 x2
4
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
）
f ( x ) 0
三、曲线凹凸的判定
例5 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解： y 3 x 2 , y 6x , 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 . 点
则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少 .
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:4.函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点 处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
一、单调性的判别法
例2 讨论函数 y
3
x 的单调性.
2
解： D : (,). 2 y 3 , ( x 0) 3 x
四、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.( x0 , f ( x0 )) 2.拐点的求法
定理 如果 在 内存在二阶导 . 数,则点 是拐点的必要条件是
证： f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
一、单调性的判别法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 定义:使导数为零的点叫做函 f ( x ) 的驻点. 数
注 5. 函数的单调区间是由导数等于零的点或
导数不存在的点分割成的.
6.求函数的单调区间的方法:
用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点来划分 函数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间内导数的 符号.
故曲线的拐点为
(
4
,0) (
4
,0)
四、曲线的拐点及其求法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
四、曲线的拐点及其求法
例8
f ( x )在x0取得极值, 由可导函数取得极值的 条件,
f ( x ) 0.
四、曲线的拐点及其求法
拐点判别方法:
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导且f ( x0 ) 0, ,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
x y f ( x) f ( y) 从 而x , y ( , ), f ( ) 2 2
即e
x y 2
e e 2
x
y
( x y)
五、小节 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结 论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定.
图形上任意弧段位于 所张弦的上方
二、曲线凹凸的定义
定义
设f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x ) 在 I 上的图形是 )凹的(或凹弧） (向上 ;
x 0时,
3
y 3 x2
x2 3 0 1 li m y li m 3 不 存 在 x 0处不可导. . x0 x0 x0 x
在( ,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加 .
( ,0]， , ). 单调区间为： [0
第四讲
函数的单调性 与曲线的凹凸性
cos x e 计算 lim 2 x 0 x [ x ln( 1 x )]
x2 2
解：应用泰勒公式
x2 2 ( ) x2 x4 x2 2 ( x 4 )] [1 ( x 4 )] [1 ( ) 2! 4! 2 2! 原 式 lim x 0 ( x )2 2 x { x [( x ) ( x 2 )]} 2
改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b) 内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ，其中
x0 (a, b) ，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为曲线 f ( x ) 的拐点？
举例说明.
思考题解答
因为 f ( x0 ) 0只是( x0 , f ( x0 ))为拐点 的必要条件，故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
解
y cos x sin x ,
令 y 0,
y sin x cos x 2 sin(x ) , 4 3 7
4 无二阶导数不存在的点 得 x1 , x2 4 .
3 7 在（0， ）与（ ，）内， ( x) 0 f 4 4 3 7 在（ , ）内， ( x ) 0 f 4 4 3 7
四、曲线的拐点及其求法
例6
求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及 凹、凸的区间.
解： D : ( , )
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
3 2
x
f ( x )
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 当 解： x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
一、单调性的判别法
例3 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间. 解： D : ( ,).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
tan x x f ( x ) f (0) 0,
0 x 时 ， (tan x x ) sec x 1 0, 2
得证！
二、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线
的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于所 张弦的下方
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为(,1]， [1,2]， [2, ).
一、单调性的判别法
注 1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的
重要应用.
2. 定理中的区间换成其它有限或无限区间
结论仍然成立.
3. 应用：利用函数的单调性可以确定某些
方程实根的个数和证明不等式.
一、单调性的判别法
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解： y e x 1. 又 D : ( ,).
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
四、曲线的拐点及其求法
例9 利用曲线的凹凸性证明不等式：
x y ex ey e 2 2
( x y)
